板壳理论课程设计.docx
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板壳理论课程设计
变z可以不
板壳理论课程设计
第一部分综述
这学期我们学习了板壳理论，也就是弹性力学的下册。
经过这学期的学习，我对弹性力学的概念也越发的清晰，也认识到自己在公式推导方面的不足。
不过作为一名力学专业的学生，这是最基本的数学素质要求。
通过学习板壳理论，我对弹性力学问题的分析思路更加清晰，尤其是对薄板问题的处理，有了更好的认识和理解。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，根据问题的性质，忽略一些很小的次
要因素，对物体的材料性质采用了一些基本假定，即弹性力学的基本假定，主要有连续性、完全弹性、均匀性、各向同性，符合以上假定的物体，就称为理想弹
性体。
弹性体是变形体的一种，在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，出去外力后，除去外力后物体即恢复原状。
在板壳理论中，这一原则的应用
则更加广泛。
在薄板的小挠度弯曲理论中，垂直于中面方向的正应
计；应力分量zx,zy,z所引起的变形可以不计；薄板中面内的各点都没有平行
于中面的位移，这是以三个计算假定为基础的。
例如在薄板弯曲问题中，一定载荷引起的弯应力和扭应力，在数值上最大，因而是主要的应力；横向切应力在数值上较小，是次要的应力；挤压应力在数值上更小，是更次要的应力。
因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩，横向剪力一般都无须计算。
这学期板壳理论的学习，让我在上学期弹性力学上册的基础上有了新的收获。
上学期弹性力学的学习，我感觉整本书就讲了十五个控制方程解十五个未知数。
而剩下的问题就是如何求解这些方程的问题，这也是数学和力学结合最紧密的地方。
而求解的方法无外乎两种:
基于位移的求解和基于应力的求解，而前人的研究大部分都是如何使这些方程求解起来更方便。
弹性力学思路清晰，但是方程和公式复杂。
例如,应力函数的引入就是因为同时满足平衡方程和应力表达的
相容方程是很难找到的。
这学期，我们学习了伽辽金法的应用及其举例，认识了伽辽金位移函数它使得原本要求的方程（非齐次微分方程）转化为求拉普拉期方
程,而拉普拉斯方程在数学上（复变函数）已经研究的很透彻，因而大大简化了
求解的难度。
而近代即二十世纪以来发展起来的能量法更是如此:
对位移的变分
方程代替了以位移表达的平衡方程及应力边界条件，对应力的变分代替了相容方
程及位移边界条件这无疑都大大简化了弹性力学基本方程的求解过程。
随着计算机的发展，各类软件也应用在了各行各业，这学期我们还学习了
ABAQUS和ANSYS两类有限元软件。
此外，通过数学软件Matlab和Mathematica
与有限元软件的结合应用，使得求解速度大大加快，便于方便实验，这也使得许
多从前很难解决的问题基本上都能获得满足工程精度的解答。
在传统理论解和有
限元方法共同合作下，弹性力学的发展会更加迅速，它的应用范围更加广泛，前
景是非常可观的。
第二部分解答
题目：
四边为夹支边的正方形薄板受均布荷载集度的解法
1.里茨法
设有一个正方形薄板，边长为a=1m,厚度=0.015m如图所示，四
边均为夹支边，在薄板受有均布荷载的作用，q0100000N/m2。
取坐标轴
如图所示，则有位移边界条件为
（w）
（w）
（w）
（w）
x0
xa
y0
ya
0,
（
w
）
x
0,
（
w
）
x
0,
（
w
）
y
0,
（
w
）
y
x0
xa
y0
ya
0;
0;
0;
0;
在薄板的弯曲问题中，一定荷载引起的弯应力和扭应力，在数值上最大，因而是主要的应力；横向切应力在数值上较小，是次要的应力。
因此在计算
薄板的内力时i，主要是计算弯矩和扭矩，横向剪力一般都无需计算。
而由基尔霍夫指出，薄板任一边界上扭矩都可以变换为等效的横向剪力，和原来的横向剪力合并，内力表达式为
M
M
M
F
2
w
2w
）,
x
D（
2
y2
x
2
w
2w
）,
y
D（
2
x2
y
xy
Myx
D（1
2w
）,
xy
Sx
D
4w,FSy
D
4w,
x
y
在里茨法中，内力边界条件可忽略，因此将挠度的表达式取为
wC1w1
C1*x（x
a）y（y
a）sin
x
sin
y
a
a
（a）
则上列位移边界条件都能满足，同时，式（
a）在薄板的四边还满足了
内力边界条件，即弯矩不等于零。
薄板的形变势能表达式为：
V
1
（
xx
yxyxy
xy）dxdydz
1
（
xyxy
yz
yz
zx
zx）dxdydz（b）
2
2
在薄板的小挠度弯曲问题中，按照计算假定，
z,yz,zx形变分量不计，于
是
形
变
势
能
的
表
达
式
简
化
为
2w
2w
（
2w）2
dxdy
（w
2w）
（
w
2w）dxdy
x2
y2
xy
xxy2
yxxy
V
1
xy）dxdydz
（
x
x
yxy
xy
（c）
2
x
Ez
2
（
2w
2w）,
x
z
2w
1
x
2
y
2
2
x
根据物理方程
Ez
（
2w
2w
z
2w
代入式（c）
y
1
2
y
2
x
2）,
y
y
2
xy
1
Ez
2w,
xy
2z
2w
xy
xy
整理后得
V
E
2
（
22
2（1
）
2w2w
2w
）
2
dxdydz
2
）
z
w）
2
2
（
2（1
x
y
xy
各项与Z无关
V
1
D（
2
w）
2
2（1
）
2w2w
（
2w
2
dxdy
2
2
2
）
（d）
x
y
xy
在等厚度薄板中，D是常量，
D
E
3
式（d）可以写为
12（1
2）
D
22
2w2w
2w
2
V
2
（
w）
2
（1）
x2
y2
（xy
）
dxdy
（e）
或写为V
D
（
2
2
）D
2w2w
（
2w
2
dxdy（f）
2
w）dxdy（1
2
2
）
x
y
xy
其中
2w2w
（
2w
）
2
dxdy
w2w
（
w
2w
x
2
y
2
xy
（
2
）
）dxdy
xxy
yxxy
由格林定理
x
P（x,y）
Q（x,y）
dxdy
Q（x,y）dx
P（x,y）dy.
y
得
2w2w
（
2w
dxdy
w
2w
w2w
dy
其中右边的积
x
2
y
2
x
）
x
dx
x
y
2
y
xy
分是沿薄板的边界进行的。
本题中薄板全部边界条件都是夹支边，有
w
0
x
式（f）可以简化为V
D
（2w）2dxdy
（g）
2
按式（a）求挠度w对于坐标的二阶导数，得到
2w
4C1*sin
2
xy2（
a
y）
2
2C1sin2（a
x）y2（
a
y）
2
x2
a2
a2
2w
4C1*sin
2
x2（
a
x）y
2
2C1sin2x2（
ax）（
a
y）
2
y2
a2
a2
得V
D
（
2w）2dxdy
D*176a6C1
2sin4
4
2
2
1575
从而
V
D*C1*176a6
sin4
4
C1
1575
（h）
qwdxdy
1
a6sin2
2
m
144
（i）
由式（h）和（i）
求出C1
，C1
2.98e5
代入式（a）,得
w
2.98e
8*x（x
a）y（y
a）sin
x
sin
y
a
a
由题意知薄板中心
a
a
处挠度最大，为
max
1.8625e6m
2
2
w
2.差分法
2.1
用4*4
网格求解
h
a
。
由于对称，只有
3个独立的未知值，即
4
w1,w2,w3，取坐标如下所示
o
X
一般来说，夹支边外一行虚结点
3
2
处的挠度，就等于边界内一行相对
3
结点处的挠度，但计算精度较低，
2
1
2
有时引起很大误差。
对夹支边来
说，
假定w在边线上按三次式变化，
3
2
3
即AB（x）C（x）2
D（x）3
h
h
h
以边界结点
4为原点，则有边界条
件
Y
图1
w
（w）x
0
0,（
x）x
0
0,（w）xh
w3,（w）x
2hw2
求得A0,B0,C
2w3
w2,D
w3
w2
4
4
从而得出w
（2w3
w2）（x）2
（w3
w2）（x）3
4
h
4
h
据此边界外虚结点a,b,c,
的挠度表达式分别为
wa
3w3
w2；
wb
3w2
w1；wc
3w3
w2
2
2
2
为结点1,2,3
建立差分方程如下：
20w1
8（4w2）
2（4w3）
a
）
4
q0
（
D
4
20w2
8（w1
2w3）2（w2）（w2
wb）（a）4q0,
4D
20w3
8（2w2）
2w1
2w3
2（wc）
（a）4q0,
4
D
带入得到
20w1
8（4w2）
2（4w3）
（a）4q0,
4
D
20w
8（w
2w）
2（w）
（w
3w
w1）
（a）4q0,
2
1
3
2
2
2
2
4
D
20w3
8（2w2）
2w1
2w3
2（3w2
w2）
（a）4q0,
2
4
D
整理得出关于w的线性方程组矩阵如下：
20
32
8
w1
1
8.5
28
16
w2
=
2.60099e
61
2
16.5
28
w
1
由此得到该
3个结点处的挠度为（单位
m）：
w12.162e
6
，w2
1.378e
6
，w30.878e6
其中最大挠度为wmax
w1
2.162e6
2.2用8*8的网格求解
h
a
。
由于对称，取
1
薄板为研究对象，建立如
8
4
下坐标系，并标注结点如图所示
o1
2
3
7
11
2
4
5
8
12
3
5
6
10
13
7
8
10
9
14
11
12
13
14
15
.
.
同4*4网格差分法，边界外虚结点a,b,c,d,e的挠度分别为：
a
wa
w2
；
.
3w3
.b
X
2
.c
wb
3w8
w5；wc3w10
w6；
.d
2
2
.e
.
Y
w
3w
w10；w
3w
w13
d
9
e
15
2
2
为结点建立差分方程如下：
图2
20w
8（4w）
2（4w）
4w
（a）4q0
1
2
4
3
8
D
20w
8（w
w
w
w）
2（w
w
w
w）
2w
w
w（a）4
q0,
2
4
3
4
1
2
5
5
2
5
2
7
8
D
20w3
8（w2
2w5
w7）
2（2w4
2w8）
2w6
w11
w1
（a）4
q0,
8
D
20w4
8（2w5
2w2）2（w1
2w3
w6）
2w4
2w8
（a）4q0,
8
D
20w5
8（w3
w6
w4
w8）
2（w2
w7
w10
w5）
w2
w12
w10
20w6
8（2w5
2w10）
2（w4
w8
w8
w9）2w3
2w13
a
）
4
q0
（
D
8
20w7
8（2w8
w3
w11）2（2w5
2w2）
w2
2w10
wa
a
）
4
q0
（
D
8
20w8
8（w5
w7
w10）
2（w3w6）
w4
w8
wb
w9
（a）4q0,
8
D
20w9
8（w10
w10）
2（w6）
2w8
2wd
（a）4
q0,
8
D
w15（a）4q0,8D
20w108（w8w6w9）2（w5w10）w5wcw7
（a）4
q0.
8
D
整理得出关于w的线性方程组矩阵如下：
20
324
8
0
0
0
0
0
0
w1
1
825
816
6
0
1
0
0
0
w2
1
1
8204
162
8
4
0
0
w3
1
2
164
22
162
0
2
0
0
w4
1
0
3
8
823
8
2
8
0
3
w5
0.162562e
1
0
0
2
2
16200
4
2
16
w6
6
1
0
1
8.50
4
0
23
16
0
2
w7
1
0
0
2
1
8.52
8241
8
w8
1
0
0
0
0
0
2
0
2
23
16.5
w9
1
0
0
0
0
3
8.51
8825
w10
1
由此得到10个结点挠度如下（单位m）：
w12.003e6,
w21.794e6,
w31.218e6,
w41.609e6,
w51.096e6,
w60.754e6,其中最大挠度为w12.003e6
w70.466e6,
w80.422e6,
w90.128e6,
w100.298e6
3有限元解法
3.1建立一个三维实体正方形薄板，边长为1m，厚度0.015m
3.1.1建模分网（3D实体）
3.1.2定义荷载及边界条件（四边夹支）
3.1.2求解查看结果
结果：
方板中心处挠度最大，最大挠度为wmax1.960e6m
3.2建立一个二维壳，边长为1m，厚度0.015m，与三维实体条件一样，
求解并查看结果如下
结果：
方板中心处挠度最大，最大挠度为wmax2.006e6m
三种解法的解法比
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