胡不归问题专题.doc
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金牌教育一对一个性化辅导教案
学生
学校
文汇中学
年级
九年级
学科
数学
教师
王老师
日期
20180
时段
次数
1
课题
胡不归问题专题
一．选择题（共2小题）
1．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s．
2．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
二．填空题（共1小题）
3．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B．（友情提醒：
消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）
三．解答题（共5小题）
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
5．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
6．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在
（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
7．
（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
8．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；
（3）如图2，在
（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．
2018年05月25日187****4779的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s．
【分析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AQ的长，接着求出A点和B点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标，从而得到AQ的长，然后计算爬行的时间．
【解答】解：
过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，
∵EH∥AB，
∴∠HEB=∠ABE，
∴tan∠HED=tan∠EBA==，
设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，
∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，
作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，
∴AD+DH的最小值为AQ的长，
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，
∴OC=4，则C（0，4），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，
∴直线BE的解析式为y=﹣x+4，
解方程组得或，则E点坐标为（﹣，），
∴AQ=，
∴蚂蚁从A爬到G点的时间==（s），
即蚂蚁从A到E的最短时间为s．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点：
把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等．
2．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．
【解答】解：
假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，
设D坐标为（0，y），则AD=2﹣y，CD==，
∴设t=+，
等式变形为：
t+y﹣=，则t的最小值时考虑y的取值即可，
∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2=y2+1，
∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1=0，
△=（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0，
∴t的最小值为，
∴y=，
∴点D的坐标为（0，），
故选D．
解法二：
假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，
总时间t=+=（+CD），要使t最小，就要+CD最小，
因为AB=AC=3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以==3，所以=DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD=CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以=，即=，所以OD=，
所以点D的坐标应为（0，）．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．
二．填空题（共1小题）
3．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B．（友情提醒：
消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）
【分析】要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，可以设在公路上行驶x千米，根据题意，找出可以运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解．
【解答】解：
如图所示，公路上行驶的路线是AD，草地上行驶的路线是DB，设AD的路程为x千米，
由已知条件AB=10千米，BC=5千米，BC⊥AC，知
AC==15千米．
则CD=AC﹣AD=（15﹣x）千米，
BD==km，
设走的行驶时间为y，则
y=+．
整理为关于x的一元二次方程得
3x2+（160y﹣120）x﹣6400y2+1200=0．
因为x必定存在，所以△≥0．即
（160y﹣120）2﹣4×3×（1200﹣6400y2）≥0．
化简得102400y2﹣38400y≥0．
解得y≥，
即消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．
故答案为：
．
【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形构建直角三角形是关键，根据一元二次不等式的求解，可以计算出解的最小值，以便求出最短路程．
三．解答题（共5小题）
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 5 个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
【分析】
（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．
（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．
（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．
②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．
【解答】解：
（1）由题意解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，
∵y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，
∴顶点坐标（，﹣）．
（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时PB+PD最小．
理由：
∵OA=1，OB=，
∴tan∠ABO==，
∴∠ABO=30°，
∴PH=PB，
∴PB+PD=PH+PD=DH，
∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，
∴sin60°=，
∴DH=，
∴PB+PD的最小值为．
故答案为．
（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，
故答案为5．
②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO==，
∴∠ABO=30°，
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，
以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．
则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，
∵EB==，
∴OE=OB﹣EB=，
∵F（，t），EF2=EB2，
∴（）2+（t+）2=（）2，
解得t=或，
故F（，），G（，），
∴t的取值范围≤t≤
【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．
5．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
【分析】
（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．
【解答】解：
（1）连接OC，如图1，
∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，
由题可得CH=h．
在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，
∴h=OC•sin60°=OC，
∴OC==h，
∴AB=2OC=h；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，
则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，
此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，
则OF=4，AB=2OF=8．
∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．
6．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在
（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【分析】
（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；
（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：
t=AF+DF．如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．
【解答】解：
（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），
令y=0，解得x=﹣2或x=4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），
∴﹣×4+b=0，解得b=，
∴直线BD解析式为：
y=﹣x+．
当x=﹣5时，y=3，
∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，
∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，
∴k=．
∴抛物线的函数表达式为：
y=（x+2）（x﹣4）．
即y=x2﹣x﹣．
（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，
∴C（0，﹣k），OC=k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：
，
∴y=x+k．
∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：
x2﹣6x﹣16=0，
解得：
x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴，即，
解得：
k=．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠ABC=tan∠PAB，即：
=，
∴y=x+．
∴P（x，x+），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）=x+，整理得：
x2﹣4x﹣12=0，
解得：
x=6或x=﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（6，2k）．
∵△ABC∽△PAB，
=，
∴=，
解得k=±，
∵k＞0，
∴k=，
综上所述，k=或k=．
（3）方法一：
如答图3，由
（1）知：
D（﹣5，3），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan∠DBA===，
∴∠DBA=30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：
t=AF+DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：
y=﹣x+，
∴y=﹣×（﹣2）+=2，
∴F（﹣2，2）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA=30°，
∴∠BDH=30°，
∴FH=DF×sin30°=，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，
点M在整个运动中用时为：
t=，
∵lBD：
y=﹣x+，
∴FX=AX=﹣2，
∴F（﹣2，）．
【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第
（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．
7．
（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
【分析】
（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出==，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．由PD﹣PC=PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似
（1）；
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似
（1）；
【解答】解：
（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．
∵==2，==2，
∴=，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴==，
∴PG=PC，
∴PD+PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．
∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．
∵==，==，
∴=，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴==，
∴PG=PC，
∴PD+PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==．
∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG=．
故答案为，
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．
∵==2，==2，
∴=，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴==，
∴PG=PC，
∴PD+PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CD•sin60°=2，CF=2，
在Rt△GDF中，DG==
∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG=．
故答案为，．
【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
8．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于
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