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胡不归问题专题

金牌教育一对一个性化辅导教案

学生

学校

文汇中学

年级

九年级

学科

数学

教师

王老师

日期

20180

时段

次数

课题

胡不归、可题专题

一.选择题（共2小题）

1.如图，抛物线y=X-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，

且tan/EBA^，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的

点D处，再以1.25单位/S的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最

2.如图，△ABC在直角坐标系中，AB=ACA（0,血）,C（1,0）,D为射线

A0上一点，一动点P从A出发，运动路径为A-"C点P在AD上的运动速度

是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）

C.（0,¥）D.（0,乎）

二•填空题（共1小题）

3.如图，一条笔直的公路I穿过草原，公路边有一消防站A,距离公路乐千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是1^千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火.若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地

小时可到达

上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过居民点B.（友情提醒：

消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.）

三.解答题（共5小题）

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1,0），B（0，^），C（2,0），其对称轴与X轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标;

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD,贝』PB+PD的最小值为

芒I

（3）M（X，t）为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，贝U这样的点

5.如图，在△ACE中，CA=CE/CAE=30,OO经过点C,且圆的直径AB在线

段AE上.

（1）试说明CE是OO的切线；

（2）若^ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示OO的直径AB;

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接0D,当丄CD+OD的最小

值为6时，求OO的直径AB的长.

6.如图，已知抛物线y韦（X+2）（X-4）（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=-Mlx+b与抛物线的

另一交点为D.

（1）若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B，P为顶点的三角形与△

ABC相似，求k的值；

（3）在

（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点

M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒

2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过

程中用时最少?

（1）如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD丄PC的最小值和PD-丄PC的最大值；

（2）如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的

一个动点，那么PDZfC的最小值为,PD-ZfC的最大值为.

（3）

B上的一个动点，那么P的最小值为

如图3,已知菱形ABCD的边长为4,/B=60,圆B的半径为2,点P是圆

PD-yFC的最大值

为

（3）

&如图1,抛物线y=aX+（a+3）x+3（a^0）与x轴交于点A（4,0）,与y轴交于点B,在x轴上有一动点E（m,0）（0Vmv4）,过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM丄AB于点M.

求a的值和直线AB的函数表达式;

（2）

好PMN的周长为C,△AEN的周长为Q,若号专，求m的值;

如图2,在

（2）条件下，将线段0E绕点0逆时针旋转得到0E,旋转角

2018年05月25日187****4779的初中数学组卷

参考答案与试题解析

1.选择题（共2小题）

1.如图，抛物线yrX2-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan/EBA县，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的

点D处，再以1.25单位/S的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是里S.

【分析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，

如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan/HED=tanZEBA塑4，设

EH3

DH=4m,EH=3m贝UDE=5m,则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D

爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/S的速度爬到

线段BE上的点D处，再以1.25单位/S的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/S的速度爬到D点，再从D点以1单位/S速度爬到H点的时间,利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AQ的长，接着求出A点和B点

坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析

式所组成的方程组确定E点坐标，从而得到AQ的长，然后计算爬行的时间.

【解答】解：

过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点

H，如图,•••EH//AB，

•••/HEB=/ABE

•••tan/HED=tanZEBA罟冷，

设DH-4m,EH-3m贝UDE-5m,

•蚂蚁从D爬到E点的时间4J-4（S）

k25

若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/S,则蚂蚁从D爬到H点的时间晋-4

（S）,•••蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等,•••蚂蚁从A出发，先以1单位/S的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位

/S的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/S的速度爬到D点，再

从D点以1单位/S速度爬到H点的时间,作AG丄EH于G,贝UAD+DH》AH>AG,•••AD+DH的最小值为AQ的长，

当y=0时，X2-2x—3=0,解得X1=-1,X2=3,则A（-1,0）,B（3,0）,

直线BE交y轴于C点，如图，

在RfOBC中「tan/CBOf^，•••0C=4则C（0,4）,

设直线BE的解析式为y=kx+b.

把B（3,0）,C（0,4）代入得Pk+ZQ,解得k=—,

I口b=4

•••直线BE的解析式为y=-2x+4,

•aq=t

•蚂蚁从A爬到G点的时间-冒（S）,

即蚂蚁从A到E的最短时间为邑S.

故答案为罟

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点：

把求二次函数y=a）^+bx+c（a,b,c是常数，aM0）与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程.解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等.

2.如图，△ABC在直角坐标系中，AB=ACA（0,血）,C（1,0）,D为射线

AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A-"C点P在AD上的运动速度

是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）

A.（0,伯B.（0,誓）C.（0,誓）D.（0,

【分析】假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1,首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标.

【解答】解：

假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1,设D坐标为（0,y）,则AD=M-y,CD否妒,

「•设t=^+佔,

等式变形为：

t^y-警，则t的最小值时考虑y的取值即可,...t2+（鉀警）t+申-攀勻2+1,

•4y2+（警-自）y-12伴t+1=0,

t+1）>0,

△=（土厘-Zt）2-4（-t2+土色

93■

•••t的最小值为

普），

y爭

•••点D的坐标为（0,故选D.

解法二：

假设P在AD的速度为3V,在CD的速度为IV，

总时间t=^+Q■二丄（如+CD）,要使t最小，就要坐+CD最小，

3VVV33

因为AB=AC=3过点B作BH丄AC交AC于点H,交OA于D,易证△ADH^AACO,所以些3=3,所以^=DH,因为△ABC是等腰三角形，所以BD=CD所以要

0CDH3

如+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了.因为△AOC

3sAbod,所以型竺，即囚2丄-，所以OD迈,

0B0D10D4

所以点D的坐标应为（0,平）.

【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）

判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大.

2.填空题（共1小题）

3.如图，一条笔直的公路I穿过草原，公路边有一消防站A,距离公路千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10伍千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火.若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过_■!

_小时可到达居

民点B.（友情提醒：

消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.）

1啰+"命

【分析】要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，可以设在公路上行驶

x千米，根据题意，找出可以运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解.

【解答】解：

如图所示，公路上行驶的路线是AD,草地上行驶的路线是DB,设

AD的路程为x千米,

由已知条件AB=1^千米，BC=^千米，BC丄AC,知

ac^^-BC^=15千米.

贝UCD=AC-AD=（15-X）千米,

设走的行驶时间为y,则

工十&5+（15-幻2

8040

整理为关于X的一元二次方程得

3X2+（160y-120）X-6400y2+1200=0.

因为X必定存在，所以0.即

（160y-120）2-4X3X（1200-6400y2）>0.化简得102400y2-38400y>0.

解得y》一，

□

即消防车在出发后最快经过鲁小时可到达居民点B.

故答案为：

鲁.

【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形构建直角三角形是关键，根据一元二次不等式的求解，可以计算出解的最小值，以便求出最短路程.

3.解答题（共5小题）

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=aX2+bx+c的图象经过点A（-1,0）,B（0,-（^）,C（2,0）,其对称轴与X轴交于点D

（1）

（2）

求二次函数的表达式及其顶点坐标；

若P为y轴上的一个动点，连接PD,贝』PB+PD的最小值为色伍

2—4

M（x,t）为抛物线对称轴上一动点

N共有5个;

①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，贝U这样的点

此时尹涉PD最小.最

M,由此即可解决问题.

a-b+c=O

【解答】解：

（1）由题意*匚二灯5解得*

4a+2b+c=0

（2）如图1中，连接AB,作DH丄AB于H,交0B于P,

小值就是线段DH,求出DH即可.

（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点

②作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则/AEB=120,以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G.则/AFB=ZAGB=60，从而线段FG上

的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题.

f品

•••抛物线解析式为y誓X2-爭x-d^,

-y书八省X-届省（x-*）2-竽，

•顶点坐标（*,-普）

（2）如图1中，连接AB,作DH丄AB于H,交0B于P,

此时由PD最小.

乙

理由：

•••OA=1,OB£，

•••tan/ABO型巫,

OB3

•••/ABO=30,

•PH»PB,

•••*PBi_PD=PHPD=DH

•••此时丄PB+PD最短（垂线段最短）.

在RtAADH中，•••/AHD=90，AD卫，/HAD=60，

•••sin60=M,

AD•••DH^^,

•丄P由PD的最小值为凶1.

故答案为凶I.

（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点,以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点,线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，

所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个,故答案为5.

②如图，RfAOB中，；tan/ABO霁书•••/ABO=30，

作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA则/AEB=120,

以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G.

则/AFB=ZAGB=60，从而线段FG上的点满足题意,

•••EB-丁-2^cos30*3'

•OE-OB-EB誓，

•-F（*,t）,eF^-EE2，

•••（丄）2+（t+逅）2=（也）2,

233

解得t=&迺L或暫玄L,

故F（丄，進遁），G（丄，港迺L）,

262G

【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题.

5.如图，在△ACE中,CA=CE/CAE=30,OO经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.

（1）试说明CE是OO的切线;

（2）若^ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示OO的直径AB;

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接0D,当+CD+OD的最小

乙

值为6时，求OO的直径AB的长.

【分析】

（1）连接0C,如图1,要证CE是OO的切线，只需证到/OCE=90即

可;

（2）过点C作CH丄AB于H,连接0C,如图2,在RtAOHC中运用三角函数即

可解决问题;

（3）作OF平分/AOC,交O0于F,连接AF、CFDF,如图3,易证四边形AOCF

是菱形，根据对称性可得DF=DO过点D作DH10C于H，易得D埠DC,从而

有丄CC+OD=DHfFD.根据两点之间线段最短可得：

当F、D、H三点共线时，DH+FD

（即IcD+OD）最小，然后在RtAOHF中运用三角函数即可解决问题.

VCA=CE/CAE=30,

【解答】解：

（1）连接OC,如图1,

•••/E=/CAE=30,/COE=NA=6ff,•••/OCE=90,•••CE是OO的切线;

（2）过点C作CH丄AB于H,连接OC,如图2,

由题可得CH=h.

在RtAOHC中，CH=OC?

si/CO”

•h=OC?

sin60°OC,

•OC^^h,

Vs3

•AB=2OC^Ih;

（3）作OF平分/AOC交OO于F,连接AF、CFDF,如图3,

则,AOFNCOF*/AOC专（180-60°=60：

•••OA=OF=OC•••△AOF△COF是等边三角形,

AF=AO=OC=F,C

•四边形AOCF是菱形,•••根据对称性可得DF=DO过点D作DH丄OC于H,

VOA=OC•/OCA=/OAC=30,

•DH=DC?

sit/DCH=DC?

sin3°=DC,•-CC+OD=DHfFD.

根据两点之间线段最短可得:

当F、D、H三点共线时，DH+FD（即寺CD+OD）最小,此时FH=OF?

sin/FOH誓OF=6,

则OF=^,AB=2OF=^.

•当+CD+OD的最小值为6时，OO的直径AB的长为8品.

厶

【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把丄CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键.

6.如图，已知抛物线y土（x+2）（x-4）（k为常数，且k>0）与x轴从左至右

依次交于A,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=-亚x+b与抛物线的

另一交点为D.

（1）若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△

ABC相似，求k的值；

（3）在

（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF,一动点

M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【分析】

（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；

（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以/ABP为钝角.因此若两个三角

形相似，只可能是△ABBAAPB或△AB3APAB如答图2，按照以上两种情

况进行分类讨论，分别计算;

（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间：

t=AF号DF.如答图3,作辅助线，将AF+^DF转化为AF+FG;再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点.

【解答】解：

（1）抛物线y^^（x+2）（x-4）,

令y=0,解得x=-2或x=4,

•A（-2,0）,B（4,0）.

•••直线y=-豆x+b经过点B（4,0）,

•••-返X4+b=0，解得b,

•直线BD解析式为：

沪-並x+亚

当x=-5时，y=3j5,•••D（-5,3品）.

•••点D（-5,3^5）在抛物线y专（x+2）（x-4）上,•冷（-5+2）（-5-4）=37^,

•k=^

•抛物线的函数表达式为：

Y蛋（x+2）（x-4）.

即y巫X2-迟-盛

999

（2）由抛物线解析式，令x=0,得y=-k,•••C（0,-k）,OC=k

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以/ABP为钝角.

因此若两个三角形相似，只可能是△AB3AAPB或^AB3APAB

①若△AB3AAPB,则有/BAC=/PAB,如答图2-1所示.

设P（x,y）,过点P作PN丄x轴于点N,则ON=x,PN=y.tan/BAC=tan/PAB即：

号毛^，

•••y±x+k.

•-P（X,号x+k）,代入抛物线解析式y寺（x+2）（x-4）,

得上（x+2）（x-4）=JLx+k,整理得：

x2-6x-16=0,82

解得：

x=8或x=-2（与点A重合，舍去），

•••P（8,5k）.

•••△AB3AAPB,

•AC_AB即

…丽讦，6

则有/ABC玄PAB如答图2-2所示.

得鱼（x+2）（x-4）丄x+上，整理得：

x2-4x-12=0,

842

解得：

x=6或x=-2（与点A重合，舍去），

•••P（6,2k）.

•••△AB3APAB

AE=CE

而衍，

6V16+k^

解得k=±V^,

•••k>0,

•-k吨,

综上所述，k=^或虽.

（3）方法一:

如答图2-2,过点D作DN丄x轴于点N,则DN=V3,0N=5,BN=%5=9,•••tan/DBa£=出巫,

BN93

•••/DBA=30.

过点D作DK//x轴，贝KDF=ZDBA=30.过点F作FG丄DK于点G,则FG寺DF.

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间：

t=AF^DF,

•••t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.过点A作AH丄DK于点H,则t最小=AH,AH与直线BD的交点，即为所求之F点.

•••A点横坐标为-2,直线BD解析式为：

y=-

•••y=^^x（-2）+竽=2^^,

•••F（-2,）.

综上所述，当点F坐标为（-2,）时，点M在整个运动过程中用时最少.

方法二:

作DK//AB,AH丄DK,AH交直线BD于点F,

V/DBA=30,•••/BDH=30,

•••FH=DF

•••当且仅当AH丄DK时，AF+FH最小，

点M在整个运动中用时为：

上=理^^婕+FH，

vIbd：

y=-亜x+虫！

二Fx=Ax=-2,

•••F（-2,必）.

【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大.第

（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k,增加了计算的难度，注意解题过

程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会.

（1）如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD丄PC的最小值和PD-丄PC的最大值；

（2）如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么PDZpc的最小值为_姮|_,PD-Zpc的最大值为_亟|_.

（3）如图3,已知菱形ABCD的边长为4,/B=60,圆B的半径为2,点P是圆

PC的最小值为_姮—,PD-yPC的最大值为

出巴=匹=丄，推出PG丄PC,推出PCH■丄PC=DPPG,由DP+PG>DG,当D、G、PCPB222

F共线时，PD+^PC的值最小，最小值为DG胡

2+32=5.由PD-专PC=PD~PG

PD-丄PC的值最大（如图2中），最大值为

DG=5;

【解答】解：

（1）如图1中，在BC上取一点G,使得BG=1.

•••△FBaACBF

•PG_BG_1

•PC，

•PG寺PC,

•PD+丄FC_DRPG,

•/DF+PGADG,

•••当D、G、P共线时，PD+^PC的值最小，最小值为DG时护+32=5.乙

•••pd4pc=p》pg

当点F在DG的延长线上时，PD-+PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5.

3中，在BC上取一点G,使得BG=4

（2）如图

•喘舊•••/PBG=/PBC

•••△PBaACBP

•PG_BG_2

•PC话帀，

•PG台PC,

•••PD+ZpC_DR

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