公平席位的分配(韩文斌).doc

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公平席位分配模型

班级：

09数学

（2）班姓名：

韩文斌学号：

0907022011

摘要：

通过建立人数比例模型、最大剩余法模型及Q值法模型解决了公平席位的分配问题。

比较三种模型分配的结果方案，我发现了Q值法模型是解决公平席位分配问题较公平的方法。

关键词：

公平分配绝对不公平程度Q值法模型

正文

1问题的提出

某学校有3个系共100名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。

1.1若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是什么？

1.2现在丙系有6名学生转入甲乙两系（其中3人转入甲系，3人转入乙系），现在该如何分配呢？

1.3因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:

10的结局，会议决

定下一届增加1席。

在问题二中人数发生改变后的情况下，这1席又该分给哪个

系呢？

2合理假设与变量说明

假设3个系的总人数不再发生变动，各个系的人数除了问题二中人数的改动之外，不再发生任何改变。

符号

符号说明

3个系的总人数

系的人数=1,2,3

3个系的总席数

系的席数=1,2,3

的余数

系与系的绝对不公平程度

系与系的相对不公平程度

3模型建立

3.1人数比例模型

公平标准,=1,2,3…通过计算总席位与总人数、各系席位数与各系总人数的比例相等，来确定各系的席位数的分配方案。

3.2最大剩余法模型

记…的余数，越大说明系分一个席位代表人数就越多，为了公平降低，则剩余席位优先分给最大的系。

3.3Q值法模型[1]

当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。

3.3.1不公平指标

为简单起见考虑,两系分配席位的情况。

设两方人数分别为,，占有席位分别为,,则比值,为两方每个席位所代表的人数。

显然仅当分配时才算完全公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常，分配不公平，并且对比值较大的一方不公平。

不妨设,不公平程度可用衡量。

如设,，，则，它衡量不公平的绝对程度，常常无法区分不公平程度明显不同的情况。

如当双方人数增至，、不变时，则。

即不公平的绝对程度不变，但是常识告诉我们，后面这种情况的不公平程度比起前面来已经大为改善了。

为了改进上述的绝对标准，自然想到用相对标准。

仍设，定义

（1）

（1）即为A方的相对不公平度。

若，定义

（2）

（2）即为对B方的相对不公平度。

3.3.2分配原则

假设A,B两方已经占有席位、。

利用相对不公平度,讨论当总席位增加1席时，应该分配给A还是B

不失一般性可设，大于号成立时对A不公平。

若增设1席分配给A，就变为，分配给B就有，原不等式可能出现以下3种情况（只需讨论不等号的情况，一旦等号出现，按等式状况分配即可）

（1），说明即使A增加1席仍对A不公平，则这一席显然该分给A。

说明即使A增加1席仍对A不公平，则这一席显然该分给A。

（2），说明A增加1席对B不公平。

由

（2）可得出对B的相对不公平度为

（3）

3.3.3，说明B增加1席将对A不公平。

参

（1）可得出对A的相对不公平度为

（4）

在使相对不公平度尽量小的分配原则下，如果（5）

则增加的1席应该分给A，反之分给B。

由（3）（4）两式，（5）式等价于

（6）

同时不难证明上述第1种情况，也会导致（6）式，于是我们的结论是：

当（6）式成立时增加1席位应分给A，反之分给B。

这种方法可推广到有m方分配席位的情况。

设第i方人数为，已占有个席位，i=1,2,3……当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。

4模型的求解

问题1.1；

模型一的求解：

结果为:

模型二的求解：

结果为：

模型三的求解：

当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。

结果为：

问题1.2；

模型一的求解：

结果为:

模型二的求解：

，比较的余数，发现应该把多出的一席分给3系。

结果为

模型三的求解：

当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。

结果为：

问题1.3；

模型一的求解：

结果为:

模型二的求解：

，得到的结果为，然后比较的余数大小。

结果为

模型三的求解：

当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。

结果为：

5模型的检验

对于模型三中的第一种情况，即增加的1席分配给A方，变为，

又因为

结合上述两式，得到，即

按照相对不公平度尽量小的原则，增加的一席应该分配给A方，即对第一种情况，仍然包含在中，这说明模型三是正确的。

6应用与推广

值分配法可以用于一系列的席位分配。

7优缺点分析

当总席位=21时，模型三的求解结果为：

，模型三的求解结果为：

，3系保住了按照比例+惯例模型将会失掉的1席。

但是当总席位=20时，模型三的求解结果为：

，模型三的求解结果为：

，所以很难说值分配法对3系有利还是不利。

虽然从值分配法和比例+惯例模型对这个具体问题不同的分配结果看，难以对二者进行评价，但是值分配法有明确的不公平度指标，并且它是每增加1席的计算值，所以值分配法比比例+惯例模型更科学。

参考文献

[1]姜启源，谢金星.数学模型（第四版）[M]北京：

高等教育出版社，2011：

278-281.