高一同步讲义 直线与圆的位置关系问题.docx

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高一同步讲义直线与圆的位置关系问题

授课主题

直线与圆、圆与圆的位置关系

教学目的

掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

1能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系.

②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

教学重点

直线与圆的位置关系问题

教学内容

.复习检查

1．圆的切线问题

（1）过圆x2＋y2＝r2（r＞0）上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2；

（2）过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M（x0，y0）引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切线长公式为|MT|＝

＝

（其中C为圆C的圆心，r为其半径）．

2．求圆的弦长的常用方法

（1）几何法：

设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则

2＝

（2）代数方法：

运用根与系数的关系及弦长公式：

|AB|＝

注意：

常用几何法研究圆的弦的有关问题．

1.已知圆O：

x2＋y2＝4，则过点P（2，4）与圆O相切的切线方程为________________．

2.（必修2P115练习1改编）已知圆（x－1）2＋（y＋2）2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．

3.（必修2P115练习4改编）若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．

4.过直线x＋y－2

＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．

5.（必修2P107习题4改编）以点（2，－2）为圆心并且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相外切的圆的方程是________．

1．（2013·陕西高考）已知点M（a，b）在圆O：

x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是（　　）

A．相切　　　　　　　B．相交

C．相离D．不确定

2．（2014·江南十校联考）直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（　　）

A．－3＜m＜1B．－4＜m＜2

C．0＜m＜1D．m＜1

变式练习：

1　已知圆C：

（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：

（2m＋1）x＋（m＋1）y－7m－4＝0（m∈R）．

（1）求证：

不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时直线l的方程．

2已知圆x2＋y2－6mx－2（m－1）y＋10m2－2m－24＝0（m∈R）．

（1）求证：

不论m取什么值，圆心在同一直线l上；

（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离．

判断直线与圆的位置关系常见的方法

（1）几何法：

利用d与r的关系．

（2）代数法：

联立方程随之后利用Δ判断．

（3）点与圆的位置关系法：

若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

1　[典例]　

（1）（2013·山东高考）过点（3,1）作圆（x－1）2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　）

A．2x＋y－3＝0　　　　　B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0

（2）过点（3,1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长为________．

变式练习

已知圆C：

（x－3）2＋（y－4）2＝4，直线l1过定点A（1，0）．

（1）若l1与圆相切，求l1的方程；

（2）若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：

x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？

若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

1．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．

2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．

1（2014·郑州一检）若⊙O1：

x2＋y2＝5与⊙O2：

（x＋m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．

变式练习

1.与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有（　　）

A．1条B．2条

C．3条

D．4条

2.求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．

3.自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：

x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切．求：

（1）光线l和反射光线所在的直线方程；

（2）光线自A到切点所经过的路程．

1在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________．

2.已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是________．

变式练习

1.直线y＝kx＋3与圆（x－2）2＋（y－3）2＝4相交于M，N两点，若MN≥2

，则k的取值范围是________．

2.若直线y＝x＋b与曲线y＝3－

有公共点，则b的取值范围是________．

1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．

2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．

1.圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0

位置关系为（　　）

A．相离　　　　　　　　　　B．相切

C．相交D．以上都有可能

2.圆O1：

x2＋y2－2x＝0和圆O2：

x2＋y2－4y＝0的位置关系是（　　）

A．相离B．相交

C．外切D．内切

3.（2013·安徽高考）直线x＋2y－5＋

＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为（　　）

A．1B．2

C．4D.4

4．过点（1,1）的直线与圆（x－2）2＋（y－3）2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）

A．2

B．4

C．2

D．5

5．（2013·福建模拟）已知直线l：

y＝－

（x－1）与圆O：

x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于________．

6．以圆C1：

x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：

x2＋y2＋12x＋16y－25＝0公共弦为直径的圆的方程为______________．

7.已知圆C的圆心与点P（－2,1）关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．

8.已知点M（3,1），直线ax－y＋4＝0及圆（x－1）2＋（y－2）2＝4.

（1）求过M点的圆的切线方程；

（2）若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．

第Ⅱ卷：

提能增分卷

1．（2013·枣庄月考）已知：

圆C：

x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：

ax＋y＋2a＝0.

（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；

（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2

时，求直线l的方程．

2．（2013·湛江六校联考）已知圆C：

x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？

若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

3．（2013·江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0,3），直线l：

y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．