直线与圆的位置关系一对一讲义Word格式.doc
《直线与圆的位置关系一对一讲义Word格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线与圆的位置关系一对一讲义Word格式.doc（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
点在圆外；
点在圆上；
点在圆内.
如下表所示：
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
点在的外部.
点在圆上
点在圆周上
点在圆内
点在圆的内部
确定圆的条件
1.圆的确定
确定一个圆有两个基本条件：
①圆心（定点），确定圆的位置；
②半径（定长），确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．
2.过已知点作圆
⑴经过点的圆：
以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．
⑵经过两点的圆：
以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．
⑶过三点的圆：
若这三点共线时，过三点的圆不存在；
若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
⑷过个点的圆：
只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
3.定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：
⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．
4.三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；
直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；
钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.
二、直线与圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：
相离
直线与圆没有公共点．
直线与相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．
直线与相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．
直线与相交
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
直线和圆的位置关系
公共点个数
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
割线
切线
二、切线的性质及判定
1．切线的性质：
定理：
圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2．切线的判定：
定义法：
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离法：
到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3．切线长和切线长定理：
⑴切线长：
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
①切线的判定定理
设OA为⊙O的半径，过半径外端A作⊥OA，则O到的距离d=r，∴与⊙O相切．因此，我们得到：
切线的判定定理：
注：
定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：
只满足题设的一个条件不是⊙O的切线．
证明一直线是圆的切线有两个思路：
（1）连接半径，证直线与此半径垂直；
（2）作垂线，证垂足在圆上
②切线的性质定理及其推论
切线的性质定理：
我们分析：
这个定理共有三个条件：
一条直线满足：
（1）垂直于切线
（2）过切点（3）过圆心
定理：
①过圆心，过切点垂直于切线
过圆心，过切点，则
②经过圆心，垂直于切线过切点
③经过切点，垂直于切线过圆心
三、三角形内切圆
1．定义：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2．多边形内切圆：
和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
3．直角三角形的内切圆半径与三边关系
（1）
（2）
图
（1）中，设分别为中的对边，面积为
则内切圆半径
（1），其中；
图
（2）中，，则
重点：
切线的判定定理；
切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．
难点与关键：
由点和圆的位置关系迁移到运动直线，导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．
易错点：
圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间
【例1】已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（）
A．2 B．6 C．12 D．7
【巩固】一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为______．
【例2】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，）。
试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系。
1.切线的证明
【例3】如图，中，，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。
求证：
是的切线。
【例4】如图，已知是的直径，为的切线，切点为，平行于弦，。
（1）求证：
是的切线；
（2）求的值；
（3）若，求CD的长。
【巩固】如图，已知是的直径，是和相切于点的切线，过上点的直线，若且，则。
【巩固】如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。
CD是半圆的切线；
（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为，点A到直线CD的距离为，试求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
【例5】如图，为的直径，是外一点，交于点，过点作的切线，交于点，，作于点，交于点。
（2）。
例6.如图，割线与相交于、两点，为上一点，为的中点，交于，交于，。
（2）如果，求的半径。
2.切线长定理及切线性质的应用
【例6】在中，，点在上，以为圆心的分别与、相切于、，若，，则的半径为（）
A、B、C、D、
【例7】如图，，，与以为直径的相切于点，，，则四边形的面积为。
【例8】如图，过外一点作的两条切线、，切点分别为、，连结，在、、上分别取一点、、，使，，连结、、，则（）
A、B、C、D、
【例9】如图，已知中，，（定值），的圆心在上，并分别与、相切于点、。
（1）求；
（2）设是延长线上的一个动点，与相切于点，点在的延长线上，试判断的大小是否保持不变，并说明理由。
【例10】如图，为的内切圆，点、、为切点，若，，则的面积为。
【例11】正方形中，切以为直径的半圆于，交于，则（）
A、1∶2B、1∶3C、1∶4D、2∶5
【巩固】如图，以正方形的边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为，切半圆于，交于，交的延长线于，。
（1）求的余弦值；
（2）求的长。
【例12】如图，是半的直径，点是半径的中点，点在线段上运动（不与点重合），点在半上运动，且总保持，过点作的切线交的延长线于点。
（1）当时，请你对的形状做出猜想，并给予证明；
（2）当时，的形状是三角形；
（3）则
（1）
（2）得出的结论，请进一步猜想，当点在线段上运动到任何位置时，一定是三角形。
【巩固】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动， PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC=2.5。
（1）当CE正好是⊙O的半径时，PT=2，求⊙O的半径；
（2）设，，求出与之间的函数关系式；
（3）△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？
若能，请求出△PTC的面积；
若不能，请说明理由。
1．“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（）
A、经过半径外端点的直线是圆的切线；
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；
C、垂直于半径的直线是圆的切线；
D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2．两个圆的圆心都是O，半径分别为、，且＜OA＜，那么点A在（）
A、⊙内B、⊙外C、⊙外，⊙内D、⊙内，⊙外
3．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）
A、2.5cm或6.5cmB、2.5cmC、6.5cmD、5cm或13cm
4．三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（）
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定
5．已知、是的切线，、是切点，，点是上异于、的任一点，则
6．如图，已知的直径为，，，
7．请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论
8．（除外）：
①；
②；
9．③；
④。
10．若圆外切等腰梯形的面积为20，与之和为10，则圆的半径为。
11．如图，AB是⊙O直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，求证：
AC2=AD·
AB。
12．如图，AB是⊙O的弦，AB=12，PA切⊙O于A，PO⊥AB于C，PO=13，求PA的长。
解题指导：
1．如图⊿ABC中∠A＝90°
，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：
DE是⊙O的切线。
2．如图，AB是⊙O直径，DE切⊙O于C，AD⊥DE，BE⊥DE，求证：
以C为圆心，CD为半径的圆C和AB相切。
3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，⊙O分另与AB、BC、CD、AD相切于E、F、G、H，求证：
⊙O直径是AD，BC的比例中项。
4．已知：
AB是⊙O的直径，AC和BD都是⊙O切线，CD切⊙O于E，EF⊥AB，分别交AB，AD于E、G，求证：
EG＝FG。
升级会员 