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……他们没有创造的才能尚可谅解，但是我们向他们说明的论证，他们竟不理解，在我们看来是十清楚亮的闪光出如今他们面前时，他们竟视而不见，这是多么奇怪的事呀〞〔［１］Ｐ４２４〕。
彭加勒认为，“这是一个不容易解决的问题，但是它应当引起所有献身于数学的人的注意〞〔［１］Ｐ４２４〕。
那么彭加勒自己是如何解答这一问题的呢？
这里我们先来看看彭加勒对“理解〞一词是如何理解的。
在彭加勒看来，理解首先意味着弄清一个定理的每一步的演绎推理，搞清它的正确性，它与数学规那么、逻辑规那么的一致性；
以及弄清楚一个定义的全部意义。
这是最浅层的理解，是对概念和定理“知其然〞的理解。
这种理解事实上是远远不够的，对于大多数学习数学的人来说，不仅要知道一个定理是怎样证明的，而且更重要的是要知道这个定理为什么要这样证明，是怎样想到用这个方法、这个原理来证明的。
这是彭加勒关于理解一词的又一解释，是“知其所以然〞意义上的理解。
在学生心目中，老师证明一个定理似乎具有很大的任意性，他们不理解老师为什么这样来证，他们不知道一个定理的“所以然〞。
另外，彭加勒对理解还作了直观理解和抽象理解的区分〔尽管彭加勒没有明确使用这两个词〕。
他说：
对于一个数学概念，一般人“都希望提出明显的图象；
定义必须唤起这个图象，以致在证明的每一个步骤中，他们可以看到它的变换和进展。
只有在这一条件下，他们才能理解和记住〞。
“假如他们在理论中或自然界中找不到它们，他们将不能理解这样的数学概念的正当理由〞〔［１］Ｐ４２５—４２６〕。
这显然指的是一种直观的形象的理解。
除此之外，我们还有“把空洞的形式组合起来的定义，这些形式是完全不可理解的、纯粹不可理解的〔指不可作直观的理解——引者注〕，抽象剥去了全部内容〞〔［１］Ｐ４２６〕。
这就要求理解是一种抽象的理解。
在理解了彭加勒关于理解的意义之后，我们来看看彭加勒是怎样解答自己提出的这个问题。
彭加勒答复数学为什么难以理解这一问题，是结合着另一个与之亲密相关的问题展开的，即数学推理为何会出错？
在他看来数学推理出错的原因是多方面的，其中之一在于一个人的记忆力和注意力出了问题，他认为，在一个长系列的三段论推理过程中，人们很可能把一个开场是结论而随后不久又作为前提的命题忘掉，或记错它的意义，于是错误就由此而来。
另外，对于常常使用的数学法那么，在开场证明的时候，人们还可以清楚地理解它的意义和使用范围，但后来假如对其的意义记忆不清了就会把它用错。
〔［１］Ｐ３７５〕不过彭加勒并不把记忆力和注意力的欠缺看成是数学推理出错和数学难以理解的主要原因，他指出：
“数学证明不是演绎推理的简单并列，它是按某种次序安置演绎推理，这些元素安置的顺序比元素本身更为重要。
假如我具有这种次序的感觉，也可以说这种次序的直觉，以便一眼就觉察到作为一个整体的推理，那么我已无需害怕我忘记这些元素之一，因为它们之中每一个都在排列中得到它的指定位置，而且不要我本人费心思记忆〞〔［１］Ｐ３７６〕。
可见，有没有这种数学次序的感觉或直觉，被彭加勒看作是数学推理睬不会出错和能不能理解数学的关键。
因为根据这种数学次序的感觉或直觉，就可以以在数学推理过程中隐藏着的各种命题和法那么之间的和谐关系，推测出所需的命题和法那么，而不要死记硬背它们。
由于这种直觉“并不是每一个人都具有的。
有些人或者没有这种如此难以定义的微妙的感觉，或者没有超常的记忆力和注意力，因此，他们绝对不可能理解较高级的数学〞〔［１］Ｐ３７６—３７７〕。
更重要的是，在彭加勒看来，只有超常的记忆力和注意力，而没有数学直觉的人，他们可以理解数学，有时还能应用数学，但不能创造数学；
而具有这种特殊的数学直觉的人，尽管记忆力和注意力毫无非同寻常之处，他们也能理解数学，并且可以成为数学创造者。
另外，数学直观不仅能帮助人们推测出数学证明所需的但又记忆不清的命题和法那么，而且更重要的是可以帮助人们从整体上或全局上选择一条走向成功的道路。
彭加勒正确地指出，你假如只能辩认一个推理过程是否正确，而不知道为什么要选择这种推理而不是那种推理，那么你便会陷入困境。
而逻辑只能告诉我们一个推理是否正确，“但是它不会告诉我们那一条路能到达目的。
为此，必须从远处了望目的，教诲我们了望的才能是直觉〞〔［１］Ｐ４３３〕。
可见，彭加勒认为，缺乏数学直觉是数学为什么难以理解的根本原因。
最后，数学直觉还有一个作用，它能使完全抽象的、符号化的数学思维依附于一定的形象思维、直观思维。
彭加勒认为，“正是通过直觉，数学世界才能仍然与真实世界保持接触，……以填平把符号与实在分隔开的鸿沟〞〔［１］Ｐ４３２〕。
人们〔尤其是学生〕的思维往往负担不起形式化较高的抽象思维，需要有一种形象的直观的实在作为抽象思维的依附，数学直觉在此就起到一种“桥梁〞的作用。
不过彭加勒也没有过高地看重直觉的这层作用，因为在他看来，过于依赖形象与直观，是造成数学出错和数学难以理解的又一原因。
其理由是，形象的、直观的东西往往是粗糙的、不可靠的，而数学需要的是严格与精神；
数学推理也常常不顾人的直观想象，推论出与直观相违犯的结论。
我们认为还有一条同样重要的理由，即长期过于依赖形象的直观的思维方式，会使这种思维方式成为一个人的思维定式，从而严重影响这个人的抽象思维才能的开展。
最后，彭加勒认为，缺乏正确的推理技艺也是数学出错与数学难以理解的一大原因。
指出“数学老师首先应当培养正确推理技艺，……我们应该不断地仿效和赞美这些形式〔指数学家已经给出的数学推理形式——引者注〕〞。
认为要“有足够的时机使学生练习数学那一局部中的正确推理〞〔［１］Ｐ４３３〕。
在此彭加勒非常强调了练习的重要性。
经过以上阐述，我们认为，彭加勒把数学推理为何会出错以及数学为什么难以理解的原因归结为以下四点了：
１．记忆力和注意力较差；
２．缺乏数学直觉；
３．过于依赖形象思维、直观思维；
４．缺乏正确的推理技艺。
其中缺乏数学直觉是最根本的原因。
对于这个解答，我们认为它局部地解决了数学为什么难以理解这个问题，但也存在着需要进一步完善的地方。
无疑，这是一个难解而又具有重大教育学意义的问题。
二、数学困难与数学素质
对于绝大多数人，数学〔尤其是高深的现代数学〕是难以理解的，数学推理是容易出错的〔数学家也犯错误〕，这是众所公认的事实。
但数学为什么难以理解、为什么容易出错，很少有人对此作过深化的考虑。
彭加勒明确地提出了这一问题，并为解决此问题做出了重要奉献，我们愿在此根底上提出自己的几点浅见。
为此，我们想先提出“数学困难〞和“数学素质〞这两个根本概念。
因为数学的难以理解和易于出错就是由于数学困难的存在，而数学困难的存在那么在于人们数学素质的相对低下。
需要说明的是，本文所说的数学困难和数学素质只是相对于一般人理解数学而言的，而不泛指数学家创造数学的困难和所需素质。
当然二者之间也可能有共同的地方。
我们认为，数学困难有以下三种不同的分类：
一是合理性困难，指对一个数学推理或一个概念等的合理性的辩认困难。
如常常有学生搞不清楚在一个推理过程中从这一步到下一步的理由是什么；
也有的学生对一个数学概念的意义不理解，对一个公理或定理的使用条件、范围搞不清楚。
二是抽象性困难，指运用或进展符号的形式化的抽象思维的困难。
如很多人学习抽象性较弱而直观性较强的初等数学时很容易，而学习抽象性较强而直观性较弱的高等数学时很困难。
三是选择性困难，指对一个数学问题解决的方法、途径等的选择性困难。
如常常有学生面对一个数学问题不知如何下手，不知道应该选择〔应用〕哪一个公里、定理，甚至不理解别人为什么这样做而不那样做。
这三种困难中，合理性困难是最根本的〔具有较大合理性困难的人往往就是数学成绩较差的人〕，抽象性困难是高一层次的困难，可以克制这一层困难的人，一般对所学的东西都能自如的掌握〔将来至少是个应用数学的好手〕，选择性困难是最高层次的困难，能不能克制这层困难，将决定一个人能不能在数学上有较大的开展。
当然，这三种数学困难是互相关联、互相促进的。
另外，数学困难也是相对的，即同一个数学问题对于不同的人，其困难程度和困难类型是不同的，即使对于同一个人，同一个数学问题在他的不同时期，困难程度和困难类型也是不同的。
因此，对于人们具有的数学困难，要根据其困难的不同类型和程度给予详细地解决，否那么就是无的放矢。
这在数学教育上有重要意义。
产生数学困难的主要原因是人的智力因素。
下面我们就分别将三种困难的形成原因作一简单讨论，同时也将说明人的数学素质或才能具有哪些方面的内容。
首先，我们认为，数学合理性困难的产生是基于人的理解力、逻辑推理才能、想象力、记忆力和注意力的相对低下，所谓理解力主要是指对概念、性质和关系的辩认、分类才能，寻找逻辑关系或类比的才能。
假如一个人的理解力等不高，那么在他学习数学的过程中就会遇到种种合理性的困难。
他会无法理解许多数学概念、无法发现命题之间的逻辑关系。
面对一个如“蜡烛的长度为１５ｃｍ，烛影的长度比它长４５ｃｍ，问烛影的长是蜡烛的几倍〞这样的问题，他或者是不会解答，或者是答复“是三倍〞。
即使给他再三提示，他也不会看出其答复的错误来。
因此，我们认为，数学合理性困难首先是由于理解力相对低下而引起的。
另外，记忆力和注意力相对低下也是引起数学合理性困难的一大原因。
尽管具有一定的理解力，一时理解了的概念、命题和法那么，由于记忆力等不够强、随后也会象彭加勒所说的那样，忘记或混淆了概念、命题和法那么的内涵，以及使用它们的条件和范围。
这种误差只要有一点点，结果就会是错的。
其次，数学抽象性困难是由人们长期形成的直观思维定式所造成的。
绝大多数人擅长形象的直观的思维，对于抽象的数学符号人们往往驾御不了。
假如他们在理论中或现实世界里找不到数学符号的“原型〞，他们就将无法理解这样的数学概念，他们总希望能唤起一种形象的直观的东西。
当这种依赖形象和直观事物的思维形式成为一个人的思维定式以后，他就会对不断抽象的数学越来越无法理解。
具有较好直观性的初等数学有更多的人可以理解，而具有更高抽象性的高等数学没有太多人可以理解，就说明了这一情况，最后，数学的选择性困难，我们认为这是由于彭加勒所说的数学直觉的缺乏而造成的。
数学直觉是一个很难定义的概念，本文暂且以彭加勒的看法为根底对此作个简要的描绘，即数学直觉是对数学符号的特定排列次序的一种突发性的整体的感觉或领悟。
由于“它并不是每一个人都具有的〞，因此有些人“不可能理解较高级的数学〞，便也不是什么奇怪之事了。
通过以上阐述，我们把数学困难的存在，或者数学为什么难以理解的原因，归结为人们数学素质或才能的相对低下了，于是，剩下的任务便就成理解决这种素质或才能为什么低下的问题。
这里我们无法对数学素质下个确切的定义，但以为它应该包括以下两个方面的内容：
１．抽象思维才能〔确切地说应该是驾御形式符号的才能〕；
２．数学直觉。
注意：
这里我们没有把逻辑推理才能、理解力、想象力、记忆力和注意力等包括在数学素质和才能的范围内，这是因为这些才能均是一些更根本更一般的才能，它们不仅是理解数学所必须的，也是理解其它各门科学所必须的，只是具有这些素质和才能还远远缺乏以理解数学。
如律师和法官具有较强的逻辑分析和推理才能，诗人和画家具有较强的想象力，但他们均可能理解不了微积分。
这不是因为他们不具有根本的素质和才能，而是因为他们不具有理解数学所特有的素质和才能。
我们认为，理解数学特有的才能应该是抽象思维才能的数学直觉。
彭加勒把数学直觉当作了最主要的原因，我们以为这是他出于数学创造这一更大背景来考虑的，假如单纯从理解数学这一点上来说，那么抽象思维才能或许是比数学直觉更重要的原因。
在我们看来，数学是唯一的符号科学，这到不是因为其他学科中没有符号，而是因为只有数学符号是没有“内容〞的，物理符号、化学符号都是有所指的，至少指称一种理想物、想象物。
因此，要理解数学必须具有驾御形式符号这一特殊才能。
从小学算术到中学代数这个超越，是一局部学生数学成绩突然下降的关口；
而从初等代数到高等代数这个超越，更是大多数人无法越过的关卡，其根本原因就是抽象性的不断进步。
法官们可以作出逻辑性极强的分析和推理，但他们不会驾御形式符号，艺术家们可以作出令数学家也赞叹的艺术想象，但他们不会想象形式符号。
他们所能驾御和想象的是直观的形象的详细事物。
下面我们就来看看人的根本素质或才能，尤其是人的数学素质或才能何以会相对的低下。
对于这个问题我们要分两局部来答复。
一、就人的根本素质或才能的相对低下而言，我们认为首先是人的先天遗传因素引起的，神经心理学告诉我们，任何一种心理活动、认知活动都是以相应的神经生理活动为根底，有没有一个健全的兴旺的脑神经机能组织，将决定一个人能不能正常地理解一切事物。
脑发育正常的人，他可以理解日常生活中的各种事物，可以理解一般的科学知识，甚至可以在某些学科上做出一定的奉献，对于少数脑发育超常的人，那么可以在科学史上作出划时代的出色奉献〔如爱因斯坦〕。
相反，对于脑发育有不同程度不良现象的人，他们往往不仅对理解数学是困难的，对理解其它各门学科也是困难的。
当然，除了先天遗传因素外，后天教育，尤其是早期教育也是一个重要的因素。
后天教育不得当，就是先天条件比拟好的人，在以后的学习过程中也会受到不同程度的影响；
反之，后天教育很得当，先天条件就是有点弱，也会有所补偿。
但更重要的还是先天条件。
二、对于我们更主要的问题还是，为什么那些先天条件正常。
即具备根本素质和才能的人也理解不了较高深的数学。
这些人中不乏高智商的人，他们可以在其各行各业作出出色的成绩，但就是理解不了较高深的数学，我们认为，造成这一现象的主要原因是一种先天的才能上的个性差异，心理学告诉我们，人们先天的才能的个性差异是客观存在的，这种差异不仅表如今量上即开展的程度，大小和早晚上，而且也表如今质上即不同的人具有不同的特殊才能，以及对完成同一种活动可能采取不同途径和方法的倾向。
重要的是，人的才能的个性差异是有其神经生理根底的，尽管人的才能的个性差异并不是单方面地由神经生理根底决定，而是由人的神经生理系统和外在环境影响下后获得的暂时神经联络系统决定的，但一切暂时神经联络系统都是在一个人特有的神经生理根底上形成的，故这些暂时神经联络系统就都不可防止地要带上一个人的神经生理类型的独特色彩，使不同人的才能具有个性差异。
如有的人善长艺术想象，而有的人善长形式推理；
有的人善长形象记忆，而有的人善长符号记忆。
理解数学所特需的才能；
对形式符号的抽象思维，对形式符号排列次序的整体直觉，就是一类非常特殊而典型的个性化才能。
我们认为，就是这种才能的上下，决定了一些人可以理解高深的数学、甚至是创造高深的数学，而另一些人那么无法理解它。
当然，后天对于数学素质或才能的强化培养与训练，在一定程度上是有效的，但这要以一定的先天素质或才能为根底。
先天素质或才能较差，是不可能成功地进展培养和训练的。
经过以上的阐述，我们还得出这么一个根本认识，即数学是一门对人的先天素质或才能有独特要求的学科。
大家知道，体育教练非常重视运发动的先天素质，一个先天素质优良的运发动，经过刻苦地训练就可以获得优异的成绩，甚至是创造世界记录。
而一个先天体质较差的人，就是再苦练也不会创造出令世人赞扬的好成绩，即决不是每一个人经过训练就可以创世界记录的。
同样，也决不是每一个人经过学习就可理解高深的现代数学的。
同体育一样，数学对人的先天素质有着极特殊的要求。
世界著名的心理学家马斯洛也认为：
“伟大的天才不仅多少赖于性格的优良和安康，而且也有赖于我们对之理解很少的某种东西。
例如，有些证据说明，伟大的音乐天才和数学天才，更多地是通过遗传而来，而不是后天获得的〞〔［２］Ｐ２４３〕。
以上我们主要是从人的智力因素方面考察了数学为什么难以理解的原因。
这固然是主要的一面，但有些非智力因素也可能是造成某些人不能理解较高深数学的重要原因。
非智力因素很多，这里我们主要想就一个人的兴趣、需要和意志三方面来谈谈这个问题。
兴趣是最好的老师。
作为人对客体特殊的认识倾向的兴趣，无疑在人的认识过程中发挥着重要作用，兴趣这种认识倾向性除了它的持久性和稳定性特征外，对于主体来说，总是与快乐、喜欢和满意等情感体验相伴随的，即主体总是带着“唯乐主义〞的情感去认识自己感兴趣的对象。
因此，对数学感兴趣的学生，总是可以主动地去克制一时遇到的各种困难，并在克制困难的同时感到更大的乐趣。
他们也能体验到一种数学的美感：
数和形的和谐，几何学的雅致。
当数学一再引发起一个人愉快的情感体验时，那么他对数学的兴趣就不仅仅是一种简单的喜欢了，而是会上升为一种内在的精神需要。
这时他就会把对数学的学习和研究看作是自己生命〔精神〕的一局部，学习数学是一件非常主动而情愿的事，就是不学反而感到失落、痛苦的一件事。
这种人往往不怕困难，并且通常是主动地进攻困难。
许多中学数学爱好者愿挑难题去作就说明这一点。
相反，一个对于学习数学没有内在需要、甚至毫无兴趣的人，尽管他的素质和才能可能并不差，但真正遇到困难时他就很难主动地持久地去攻克困难，于是一时的困难就成了他永久的困难。
更主要的是这很快就会造成一种恶性循环，前面的没有弄懂，后面的就更难明白了。
可见，有没有对学习数学的兴趣和需要，是一个人能不能主动地持久地去克制自己所遇到的数学困难的关键。
另外，一个人的意志品质的好坏也是其能否克制数学困难的一个重要因素。
好的意志品质具有自觉性、坚持性、自制性和果断性，它可以帮助一个人自觉地去完成其学习任务，可以在遇到困难时坚持学习并克制困难，可以有效地控制和支配自己的行为而不受各种干扰和影响。
相反，一个人的意志品质较差，他就难以坚持其学习，尤其是在遇到各种困难，或者受到某些因素的干扰和影响时，他就很有可能放松学习、半途而废。
现实中对数学理解有困难的人，往往并不是其素质和才能不行，而是他们对数学没有兴趣。
认为数学是枯燥乏味的，并且其克制困难的意志、毅力也不强，因此造成了一大批对数学敬而远之的人。
我们估计，因非智力因素而无法理解数学的人并不会比因智力因素而无法理解数学的人少。
假如再考虑到非智力因素的其他方面，情况可能更加如此。
关于彭加勒问题本文已经给出了自己的解答。
概括起来可以用如下形式予以表示：
单靠“死〞记还不行,还得“活〞用,姑且称之为“先死后活〞吧。
让学生把一周看到或听到的新颖事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即稳固了所学的材料,又锻炼了学生的写作才能,同时还培养了学生的观察才能、思维才能等等,到达“一石多鸟〞的效果。
彭氏问题→数学困难→素质和才能→先天条件和后天教育即我们认为，数学之所以难以理解，最终原因在于一个人的先天条件对数学学习的不适应和后天教育的相对落后。
另外，非智力因素在其中也起到了重要作用。
要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察才能，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、开展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察才能和语言表达才能的进步。
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