第十二章 全等三角形单元备课.docx

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第十二章全等三角形单元备课

第十二章全等三角形单元备课

一、本单元教材分析

本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。

本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。

第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。

在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明。

二、本单元教学整体目标

1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。

2、探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。

3、了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。

三、学习重难点

1、重点：

全等三角形的性质和条件以及所学知识的综合应用

2、难点：

让学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，并能灵活运用。

四、课时安排

第十二章全等三角形共11课时

12.1全等三角形………………………………………………1课时

12.2全等三角形的判定………………………………………5课时

12.3角平分线的性质…………………………………………4课时

小结…………………………………………………………1课时

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

学习目标：

1.了解全等三角形的定义。

2.掌握全等三角形的性质。

重点：

全等三角形的定义。

难点：

应用三角形的性质解决相关问题。

一阅读课本，独立完成

活动1忆一忆

1、△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=如图12-1-1，若△A1B1C1是由△ABC平移得到的，且∠A=110°，∠B=40°，则∠C=

图12-1-1

活动2做一做

1、将两张纸重合剪纸，得到如图12-1-2的两个图形，其大小、形状。

2、如图12-1-3，△DEF是△ABC经过平移后得到的，△ABC和△DEF是否重合？

（填“是”或“否”）；若重合，则AB=，∠ABC=

图12-1-2

3、如图，△DEF和△ABC是经过翻折后得到的△ABC和△DEF是否重合？

（填“是”或“否”）；若重合，则AB=，∠ABC=

图12-1-3

知识点一全等三角形的概念

全等形：

能够的两个图形叫做等形。

知识二：

全等三角形的定义和表示方法

全等三角形：

能够的两个三角形叫做全等三角形。

对应元素：

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

表示方法：

“全等三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。

知识点全等三角形的性质

性质：

全等三角形的对应边，全等三角形的对应角。

重难探究，解决问题

二、合作探究，知识交流

探究问题一找全等三角形的对应元素

找对应边、对应角的方法：

（1）在两个全等三角形中最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角；

（2）对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角；（3）重合的边（角）是对应边（角），公共边（角）是对应边（角），对顶角是对应角

注意：

对应边与对边，对应角与对角不同，对应边和对应角是相对两个三角形的而言的，是两条边、两个角的关系，而对边与对角则是指一个三角形中的边与角的位置关系。

例1如图所示，△ABC≌△DEF，点A点D,点B和点E是对应顶点，说出两个三角形中的对应边和对应角，除此之外还有其他相等的线段和角吗？

探究问题二运用全等三角形的性质解决问题

用途:

（1）求角的度数；

（2）说明两个角相等；

（3）求线段的长度；

（4）说明两条线段相等；

（5）判断两条直线的位置关系；

例2如图所示，△ABC绕着点B顺时针旋转90°得到△DBE，且∠ABC=90°。

（1）△ABC和△DBE上否全等？

若全等，指出对应边的对应角；

（2）直线AC、DE有怎样的位置关系？

探究问题三全等变换

变换方式

图形

对应点

对应边

对应角

将△ABC沿AB所在的直线翻折180°得到△ABD

A→A

C→D

B→B

AB=AB

AC=AD

BC=BD

∠BAC=∠BAD

∠C=∠D

∠ABC=∠ABD

将△ABC沿BC的方向平移，得到△DEF

A→D

B→E

C→F

AB=DE

AC=DF

BC=EF

∠A=∠D

∠B=∠DEF

∠ACB=∠F

将△ABC绕点C旋转，得到△EDC

A→E

B→D

C---C

AB=ED

AC=EC

BC=DC

∠A=∠E

∠B=∠D

∠ACB=∠ECD

三、巩固训练、拓展拔高

把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C落在四边形ABCD内部的点C′处,如图所示,试探究∠C与∠1+∠2之间的数量关系；

四、小结与反思

12.2三角形全等的判定

第1课时三角形全等的判定

（一）（SSS）

学习目标：

1.探究三角形全等的判定

（一）

2.掌握三角形全等的判定（SSS）

重点：

掌握全等的判定

（一）

难点：

综合应用三角形全等的判定（SSS）解决问题

学习过程：

一、阅读课本，独立完成

活动1忆一忆

如图，△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E分别是对应顶点，∠B=42°，∠A=48°，AB=13cm则∠F=，DE=cm。

活动2画一画

（1）已知三角形的三条边分别是4cm，5cm,7cm，画出这个三角形，把所画三角形剪下来，并与其他同学比一比，这些三角形能重合吗？

（2）已知三角形的三条边分别是6cm，8cm，10cm，画出这个三角形，把所画三角形剪下来，并与其他同学比一比，这些三角形能重合吗？

（3）如图，已知三条线段a,b,c（其中任意两条线段的和都大于第三条线段）。

在硬纸片上画出△ABC，使BC＝a，AC=b,AB=c,并把所画的三角形与其他同学比一比，这些三角形能重合吗？

综上，试概括你发现的结论。

活动3说一说

已知两个三角形的三条边对应相等，你能判定这两个三角形全等吗？

二、合作探究，知识交流a

知识点一已知，画三角形

作图：

已知三条线段a,b,c，画△ABC。

b

（1）作线段AB=a；c

（2）分别以A、B为圆心，线段b,c为半径画弧，画弧交于点C;

（3）连接线段AC,BC.

知识点二全等三角形的判定

1、如果两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等，那么它们全等。

2、满足三角形三角三边六个条件中的一个或两个不能保证两个三角形全等。

知识点三三角形全等的“边边边”判定方法

判定：

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）

重难探究解决问题

探究问题一三角形全等的判定方法-----SSS

1、运用SSS证明两个三角形全等时，注意题目隐含的条件（例如公共边、线段的中点等）

2、根据问题的需要可以添加适当的辅助线构造全等三角形，注意辅助线要画成虚线。

例1如图所示，点E,F在BC上，AB=DC,AF=DE,BE=CF求证：

△ABF≌△DCF.

例2如图所示，已知AB=CD,DA=BC,

求证：

∠BAD=∠DCB.

三、巩固训练、拓展拔高

已知：

如图，AB=AD，BC=DC，求证：

△ABC≌△ADC

四、小结与反思

第2课时三角形全等的判定

（二）（SAS）

学习目标：

1.探究三角形全等的判定

（二）

2.掌握三角形全等的判定（SAS）

重点：

掌握全等的判定

（一）

难点：

综合应用三角形全等的判定（SAS）解决问题

学习过程：

一阅读课本、独立完成

探究新知

活动1忆一忆

已知在△ABC和△DEF中，AB=12cm，DF=8cm,BC=10cm.

（1）若△ABC≌△DEF，则AC=cm,EF=cm;

（2）当AC=cm,EF=cm,DE=cm时，△ABC≌△DEF。

活动2画一画

1、读句画图：

（1）画∠DAE=45°;

（2）在AD、AE上分别取B、C，使AB=3cm,AC=2cm;

（3）连接BC,得△ABC；

（4）按上述画法再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB,A′C′=AC,∠A′=∠A

2、把△A′B′C′与△ABC剪下来放到△ABC上，观察△A′B′C′与△ABC是否能够完全重合？

3、综上，试概括你发现的结论

活动3忆一忆

通过活动2的学习，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等吗？

知识点一已知两边和它们的夹角，画三角形

画法：

尺规作图

【注意】已知两边和它们的夹角，能确定三角形

知识点二三角形全等的“边角边”判定方法

判定：

两边和它们的分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）

【注意】此方法包含“边”和“角”两种元素，“角”必须是两边的夹角，而不是“对角”，角是其中一边的对角时，两三角形不一定全等。

探究问题一利用“SAS”证明三角形全等

（1）公共边（角）、对顶角等隐含条件不可忽视;

在书写两个三角形全等全等的条件时，一定定要，一定要把夹角相等写在中间，以突出此角是两边的夹角；

例1如图所示，在△ABC中AB=ACAD平分∠BAC.

求证：

△ABD≌△ACD.

二合作探究、展示交流

灵活运用三角形全等的判定方法证明三角形全等

方法归纳：

（1）首先，从已知出发，探究要证明的相等的线段或分别在哪两个全等三角形中；

（2）其次，分解图形----将所证全等三角形从“复合”图形中分离出来；（3）再次，“移植”条件-------将已知转移至图形，根据已知条件及隐含条件寻求恰当的证明方法；

例2如图所示，已知AB=DC,AC=DB,OB=OC,图中有哪些三角形全等？

为什么？

三、巩固训练、拓展拔高

如图，已知AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,

证明：

∠B=∠E

四、小结与反思

第3课时三角形全等的判定（三）（ASA,AAS）

学习目标：

1.探究三角形全等的判定（ASA,AAS）

2.掌握三角形全等的判定（ASA,AAS）

重点：

掌握全等的判定（ASA,AAS）

难点：

综合应用三角形全等的判定解决问题

一阅读课本、独立完成

探究新知

活动画一画

1、已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形。

按下面步骤画出图形；

（1）画一线段AB，使它等于4cm;

（2）画∠MAB=60°，∠NBA=40°,MA与NB交于点C,△ABC即为所求；

把你画的三角形都全等吗？

并根据你发现的结论。

2．运用上面的结论，试说明“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”

二、合作探究、展示交流

知识点一已知两角及夹边画三角形

画法：

尺规作图

【注意】已知两角及夹边的三角形形状唯一确定

知识点二三角形全等的“角边角”判定方法

判定方法：

两角和它们的分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）;

知识点三三角形全等的“角边角”判定方法

判定方法：

两个角和其中一个角的分别相等的两个三角形全等（可以简与成“角角边”或“AAS”）

探究问题一利用“角边角”或“角角边”证明两个三角形全等

（1）已知两个三角形的两组角对应相等，要证明这两个三角形全等，应选择判定方法ASA或AAS;

（2）在应用ASA或AAS判定全等时，同样要注意题目的隐含条件，例如公共边、公共角、对顶角等；（3）在应用ASA或AAS判定全等时，经常与平行线结合，利用平行线的性质得到两角相等或互补，再证明全等；

例2如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF、AB//DE,∠ACB=∠F

求证：

△ABC≌△DEF,.

探究问题二利用三角形全等证明线段或（角）相等

证线段（或角）相等往往转化为证线段（或角）所在的两个三角形全等，当需证的两个三角形全等条件不足时，还要添加辅助线，构造全等三角形。

例2如图，点P在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：

AC=AD.

探究问题三运用全等三角形证明线段的和差问题

证明线段的和差问题通常采用的方法有等量代换法和截长补短法；

例3如图12-2-11所示在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,过A作任一条直线AN,分别过B,C作BD⊥AN于D,CE⊥AN于E，求证：

DE=BD-CE.

三、巩固训练、拓展拔高

已知：

点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。

求证：

BD=CE

四，小结与反思

第4课时直角三角形全等的判定（HL）

学习目标：

1.探究直角三角形全等的判定

2.掌握直角三角形全等的判定

重点：

掌握直角三角形全等的判定

难点：

综合应用直角三角形全等的判定解决问题

一、阅读课本、独立完成

探究新知

活动1忆一忆

1、判定两个三角形全等的方法：

、、、。

2、如图12-2-12，Rt△ABC中，直角边是、、斜边是.

活动2说一说

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

知识点一已知一直角边和斜边，作直角三角形

画法：

尺规作图

[注意]已知一直角边和斜边的直角三角形形状唯一确定。

知识点二直角三角形全等的判定方法

判定：

斜边和分别相等的两个直角三角形全等（可以简写面“斜边、直角边”或“HL”）

[注意]由于直角三角形是特殊的三角形，它不仅具有一般三角形的性质，而且还具有一般三角形所不具备的性质，因而不仅可用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”来判定直角三角形全等，还可用它特有的方法“HL”来判定。

二、合作探究、展示交流

探究问题一用“HL”判定直角三角形全等

注意：

判定两个三角形全等的特殊方法（“HL”），只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用。

例1如图12-2-14所示，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D

求证：

∠1＝∠2.

探究问题二综合运用各种方法证明直角三角形全等

判定两个三角形全等时，要注意对应边、角的相对位置关系，然后按照以下思路寻求解题方法：

找夹角→SAS

1、已知两边找直角→HL

找第三边→SSS

找夹边→ASA

找一角的对边→AAS

2、已知直角

3、已知一边一角

边为角的邻边→找一角→AAS

找夹边的另一角→ASA

边为角的邻边找边的对角→AAS

找夹角的另一边→SAS

例2如图12-2-15所示，在△ABC中，AB=AC,D点是BC的中点，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点,则图中全等三角形共有（）

A、2对B、3对C、4对D、5对

三、巩固训练、拓展拔高

如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？

四、小结与反思

全等三角形复习

教学目标：

1、通过全等三角形的概念和识别方法的复习，让学生体会辨别、探寻、运用全等三角形的一般方法，体会主动实验，探究新知的方法。

2、培养学生观察和理解能力，几何语言的叙述能力及运用全等知识解决实际问题的能力。

3、在学生操作过程中，激发学生学习的兴趣，培养学生主动探索，敢于实践的精神，培养学生之间合作交流的习惯。

重点：

运用全等三角形的识别方法来探寻三角形以及运用全等三角形的知识解决实际问题。

难点：

运用全等三角形知识来解决实际问题。

教学过程设计：

一、阅读课本，独立完成

某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全相同的玻璃，那么你认为它应保留哪一块？

复习回顾：

练习1、将两根钢条AA/、BB/中点O连在一起，使AA/、BB/绕着点O自由转动，做成一个测量工具，则A/B/的长等于内槽宽AB，判定△OAB≌△OA/B/现由（）

练习2、已知AB//DE，且AB=DE，

（1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，

你添加的条件是

（2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF

二、合作探究，知识交流

师：

请同学们将两张纸叠起来，剪下两个全等三角形，然后将叠合的两个三角形纸片放在桌面上，从平移、旋转、对称几个方面进行摆放，看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系？

例1、如图一张矩形纸片沿着对角线剪开，得到两张三角形纸片ABC、DEF，再将这两张三角形纸片摆成右图的形式，使点B、F、C、D处在同一条直线上，P、M、N为其他直线的交点。

（1）求证：

AB⊥ED

（2）若PB=BC，请找出右图中全等三角形，并给予证明。

例2、

（1）已知OP为∠AOB平分线，请你利用该图画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

（2）利用上图作全等三角形方法，在△ABC中,∠B=600，∠ABC是直角，AD、CE是∠BAC，∠DCA的平分线，AD、CE相交于F，请判断FE与FD间数量关系。

三、巩固训练、拓展拔高

1、在例2中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其他条件不变，请问：

你在

（1）中所得结论能成立吗？

若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

2、如图，AB=CD，AC=DB。

求证:

①∠B=∠C;②OA=OD。

四、小结与反思

12.3角平分线的性质

第1课时角平分线的画法

学习目标：

1.经历作已知角的角平分线的过程

2.掌握作已知角的角平分线的方法

重点：

掌握角平分线的画法

难点：

综合应用角平分线的有关知识解决问题

学习过程：

一、阅读课本，独立完成

活动1

1.如图，△ABC的角平分线AD，中线BE相交于点O，则

AO是△ABE的角平分线；

BO是△ABD的中线；

DE是△ADC的中线；

ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（）

A．1个B.2个C.3个D.4个

图1

图2

2.如图2，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=

活动2

工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OD、OE，且OD=OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。

你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？

已知：

∠AOB

求作：

∠AOB的平分线OC

作法：

以为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N.

分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点.

画射线，射线即为所求.

思考：

.作法

中，为什么要以适当的长为半径画弧？

2.作法

中，为什么要以大于为半径画弧？

为什么两弧的交点要在角的内部找？

3.作法

中，为什么不说成“连接OC”？

4.为什么OC为∠AOB的角平分线？

你会证明吗？

三、合作探究，知识交流

例1.已知∠BOA，试作∠AOC，使OC是∠AOB的平分线

例2.如图，点O是直线AB上的一点，你能用尺规作图的方法过点O作出直线AB的垂线吗？

三、巩固训练、拓展拔高

1.在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A的角平分线与∠B的角平分线交于点D,则∠ADB=.

2.一个三角形的三条角平分线的交点在（）

A.三角形内部B.三角形外部

C.可能在内部，也可能在外部D.可能在一条边上

3.角平分线的尺规作图的理论依据是（）

A.SASB.SSSC.ASAD.AAS

4.如图，已知∠AOB，求作射线OM，使射线OM在∠AOB内部且∠MOB=

∠AOB

四、小结与反思

第2课时角平分线的性质

学习目标：

1.经历探究角平分线的性质的过程

2.掌握角平分线的性质

3.能应用角平分线的性质进行有关证明或计算

重点：

角平分线的性质的探究

难点：

角平分线的性质的应用

学习过程：

一、阅读课本、独立完成

活动1

如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：

AB=AD

活动2

如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，可以得出：

∠AOB的平分线是且点P在上；PDOA，PEOB，PDPE

二、合作探究、展示交流

例1.如图所示，已知OD平分∠AOB，在直线OA、OB上截取线段OA=OB，P在OD上，且PM⊥BD于M，PN⊥AD于N.求证：

PM=PN

例2.如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD=5，△ABC的周长为20，求△ABC的面积

三、巩固训练、拓展拔高

1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE的长.

2.如图：

在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，

BD=DF.求证：

CF=EB

四、小结与反思

第3课时角平分线的判定

学习目标：

1.经历角平分.线的判定定理的探究过程

2.掌握角平分线的判定定理的内容、证明方法

3.能应用角平分线的判定定理进行有关计算或证明

重点：

角平分线的判定定理的探究、证明

难点：

角平分线的判定定理的应用

学习过程:

一、阅读课本、独立完成

探究:

现有如图所示的三条公路l1，l2，l3，•要想在三条公路围成的区域内建一个加油站，使它到每条公路的距离都相等．你能找到这个位置吗？

把角平分线性质反过来可得：

。

已知：

CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC

求证：

OC平分∠AOB

二、合作探究、展示交流

例1．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，EC平分∠BCD交AB于E，且BE=AE.求证：

DE平分∠CDA

例2．如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝2cm，AB＝9cm，BC＝6cm，求△ABC的面积。

三、巩固训练、拓展拔高

1．下面哪个点到三角形三边的距离相等（）

A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三角形内任意一点

2.如图，△ABC的两个外角平分线交于点P，则下面结论正确的是（）

A.BP不平分∠ABCB.BP平分∠ABCC.BP平分∠APCD.PA=PC

第2题

第3题

3.如图，△ABC的三条边AB、BC、AC的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为O，则S△ABP:

S△BCO:

S△ACO=.

4.如图，B是CAF内一点，D在AC上，E在AF上，且DC=EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：

AB平分∠CAF

四、小结与反思

12.3角平分线性质和判定（复习课）

学习目标：

1、.理解角平分线的性质和判定的区别与联系；

2、能综合运用角平分线的性质和判定解决实际问题。

学习重点：

角平分线的性质和判定.

学习难点：

角平分线的性质和判定的综合应用.

学习过程：

一、阅读课本，独立完成

1、角平分线上的点到的距离相等；

反之，到角两边距离相等的点在上.

2、①角的内部任意一点到角两边的距离相等；

②角的平分线上任意一点到角的两边距离相等；

③△ABC中，∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等.