实战演练数学答案Word文档下载推荐.docx

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＋2＝－5×

＝－.

（解法2）取BC中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则B（－1，0）、C（1，0）．设A（0，m），由＝，得D，＝，＝（1，－m）．由·

＝－，得－＝－，解得m＝2.这样E，则＝，＝（－1，－2），所以·

本题考查向量的有关概念、向量的数量积等运算能力及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．

12.[0，2＋2]

解析：

PF1＋PF2＝4，＝，

a－c≤PF1≤a＋c，a＝2，c＝2，

－2－2≤2－≤2－2，∈[0，2＋2]．

本题考查椭圆的有关概念及性质、函数的单调性及绝对值等基础知识及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．

13.－1　解析：

设f（y）＝lny－＋ln，则f′（y）＝－＝.当y∈（0，2）时，f′（y）>

0；

当y∈（2，＋∞）时，f′（y）<

0，所以y＝2时，f（y）取最大值1，所以f（y）＝lny－＋ln≤1；

又由基本不等式得≥2，当且仅当4cos2（xy）＝时取等号，即cos2（xy）＝，

所以log2≥1，

所以log2[4cos2（xy）＋]＝lny－＋ln成立，

则所以cos4x＝－，ycos4x＝－1.

本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识，考查函数与方程、不等式的思想，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于难题．

14.

在直角坐标系中分别画出函数f（x）在区间[0，2]，

[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根为t一定在区间

（3，4）内，g（t）＝t2－6t＋7是二次函数，对称轴方程为

4＞t＝＞3，g（t）的最小值为g＝－，

直线y＝kx（k＞0）与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故<

k2<

，而k2＝时，直线与半圆相切，

由得（1＋k2）x2－6x＋8＝0，

取k2＝，得x2－6x＋7＝－1，t<

x，

所以g（t）＝t2－6t＋7＜－1.

本题考查分段函数、函数的周期、直线方程等知识，考查函数与方程、数形结合及转化的思想，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力，属于难题．

15.证明：

（1）因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以A1B1∥AB.（3分）

而A1B1平面ABD，AB平面ABD，

所以直线A1B1∥平面ABD.（6分）

（2）因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以BB1⊥平面ABC.

因为AB平面ABC，

所以AB⊥BB1.（8分）

因为AB⊥BC，BB1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，且BB1∩BC＝B，

所以AB⊥平面BB1C1C.（11分）

又AB平面ABD，

所以平面ABD⊥平面BB1C1C.（14分）

16.解：

（1）因为cos＝sinA，

即cosAcos－sinAsin＝sinA，

所以cosA＝sinA.（4分）

显然cosA≠0，

否则，由cosA＝0，得sinA＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾，

所以tanA＝.

因为0＜A＜π，

所以A＝.（7分）

（2）因为cosA＝，4b＝c，

根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝15b2，

所以a＝b.（10分）

因为cosA＝，

所以sinA＝＝.

由正弦定理，得＝，

所以sinB＝.（14分）

17.解：

（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时，即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．（2分）

由C（0）＝＝24，得k＝2400.（4分）

因此F＝15×

＋0.5x＝＋0.5x，x≥0.（7分）

（2）由

（1）知，F＝＋0.5x＝＋0.5（x＋5）－2.5

≥2－2.5

＝57.5.（10分）

当且仅当＝0.5（x＋5）＞0，即x＝55时取等号．

所以当x为55时，F取得最小值为57.5万元．（14分）

（说明：

第

（2）题用导数求最值的，相应给分）

18.解：

（1）由e＝，得＝＝，即a2＝9b2，

故椭圆的方程为＋＝1.（3分）

又椭圆过点M（3，），

所以＋＝1，解得b2＝4.

所以椭圆C的方程为＋＝1.（5分）

（2）①记△MAF2的外接圆的圆心为T.

因为直线OM的斜率kOM＝，

所以线段MA的中垂线方程为y＝－3x.

又由M（3，）、F2（4，0），得线段MF2的中点为N.

而直线MF2的斜率kMF2＝－1，

所以线段MF2的中垂线方程为y＝x－3.

由解得T.（8分）

从而圆T的半径为＝，

故△MAF2的外接圆的方程为＋＝.（10分）

该圆的一般式方程为x2＋y2－x＋y－20＝0.）

②设直线MA的斜率为k，A（x1，y1）、B（x2，y2）．

由题意知，直线MA与MB的斜率互为相反数，故直线MB的斜率为－k.

直线MA的方程为y－＝k（x－3），

即y＝kx＋－3k.

由方程消去y，整理得

（9k2＋1）x2＋18k（1－3k）x＋162k2－108k－18＝0.（*）

由题意知，方程（*）有两解3，x1，

所以x1＝－3＝－3.

同理可得x2＝－3.（13分）

因此x2－x1＝，x2＋x1＝－6.

又y2－y1＝－kx2＋＋3k－（kx1＋－3k）

＝－k（x2＋x1）＋6k

＝－＋12k

＝，

所以直线AB的斜率kAB＝＝＝，为定值．（16分）

19.解：

（1）因为函数f（x）＝x－1在区间[－2，1]上单调递增，

所以当x∈[－2，1]时，f（x）的取值范围为[－3，0]．（2分）

而[－3，0][－2，1]，

所以f（x）在区间[－2，1]上不是封闭的．（4分）

（2）因为g（x）＝＝3＋.

①当a＝3时，函数g（x）＝3，显然{3}[3，10]，故a＝3满足题意；

②当a＞3时，在区间[3，10]上，函数g（x）单调递减，此时g（x）的取值范围为.

由[3，10]，得解得3≤a≤31，故3＜a≤31；

（7分）

③当a＜3时，在区间[3，10]上，有g（x）＝3＋＜3，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是区间[3，31]．（9分）

（3）因为h（x）＝x3－3x，

所以h′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1）．

因为当x＜－1或x＞1时，h′（x）＞0；

当x＝－1或1时，

h′（x）＝0；

当－1＜x＜1时，h′（x）＜0，

所以h（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，1]上单调递减，在区间[1，＋∞）上单调递增．

从而h（x）在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2.（11分）

解法1：

①当a＜b≤－1时，因为h（x）在区间[a，b]上单调递增，

所以

即

解得此时无解．

②当a≤－1＜b≤1时，因为h（－1）＝2＞b，与“h（x）在区间[a，b]上封闭”矛盾，即此时无解．

③当a≤－1且b＞1时，

因为h（－1）＝2，h

（1）＝－2，

故

由

解得从而

④当－1≤a＜b≤1时，h（x）在区间[a，b]上单调递减，

所以（*）

又a、b∈Z，所以或或

分别代入（*）检验，均不合要求，即此时无解．

⑤当－1≤a≤1且b≥1时，因为h

（1）＝－2＜a，与“h（x）在区间[a，b]上封闭”矛盾，即此时无解．

⑥当1≤a＜b时，因为h（x）在区间[a，b]上递增，

所以

此时无解．

综上所述，a＝－2，b＝2.（16分）

解法2：

由题意知，

解得

因为a＜b，

所以－2≤a≤0，0≤b≤2.

又a、b∈Z，故a只可能取－2，－1，0，b只可能取0，1，2.

①当a＝－2时，因为b＞0，故由h（－1）＝2，得b≥2.

因此b＝2.

经检验，a＝－2，b＝2满足题意．

②当a＝－1时，由于h（－1）＝2，故b＝2，此时h

（1）＝－2，不满足题意．

③当a＝0时，显然不满足题意．

20.

（1）解：

因为{an}是等差数列，

所以an＝（6－12t）＋6（n－1）＝6n－12t（n∈N*）．（2分）

因为数列{bn}的前n项和为Sn＝3n－t，

所以当n≥2时，bn＝（3n－t）－（3n－1－t）＝2×

3n－1.

又b1＝S1＝3－t，故bn＝（4分）

（2）证明：

因为{bn}是等比数列，

所以3－t＝2×

31－1，解得t＝1.

从而an＝6n－12，bn＝2×

3n－1（n∈N*）．

对任意的n∈N*，

由于bn＋1＝2×

3n＝6×

3n－1＝6（3n－1＋2）－12，

令cn＝3n－1＋2∈N*，则acn＝6（3n－1＋2）－12＝bn＋1，

所以命题成立．（7分）

从而数列{cn}的前n项和Tn＝2n＋＝×

3n＋2n－.（9分）

（3）解：

由题意得dn＝

当n≥2时，dn＋1－dn＝4（n＋1－2t）·

3n＋1－4（n－2t）·

3n＝8·

3n.

①若2t－＜2，即t＜时，dn＋1＞dn.

由题意得d1≤d2，即6（3－t）（1－2t）≤36（2－2t），

解得≤t≤.

因为＜，

所以t∈.（12分）

②若2≤2t－＜3，

即≤t＜时，dn＋1＞dn（n∈N，n≥3）．

由题意得d2＝d3，即4（2t－2）×

32＝4（2t－3）×

33，

解得t＝.

③若m≤2t－＜m＋1（m∈N，m≥3），

即＋≤t＜＋（m∈N，m≥3）时，

dn＋1≤dn（n∈N，2≤n≤m）；

dn＋1≥dn（n∈N，n≥m＋1）．

由题意得dm＝dm＋1，即4（2t－m）×

3m＝4（2t－m－1）×

3m＋1，解得t＝.

综上所述，t的取值范围是{t|≤t≤或t＝，m∈N，m≥2}．（16分）

南通市2013届高三第一次调研测试

1.（－∞，－1]　解析：

∵A＝{x|x>

－1}，U＝R，∴∁UA＝（－∞，－1]．

2.三　解析：

z＝＝＝－2－3i.本题考查复数的基本概念及运算、复数的几何意义等基础知识，属于容易题．

3.48　解析：

正四棱锥的斜高为＝4，故S侧＝×

（6×

4）×

4＝48.

由已知，f（x）是以2为周期的周期函数，故f（2013）＝f（2×

1007－1）＝f（－1）＝4－1＝.本题考查函数关系与函数的性质等基础知识，属于容易题．

5.否命题　解析：

命题p与q符合互为否命题的关系．

6.－＝1　解析：

圆心（5，0），也是双曲线的焦点，即c＝5.又e＝＝，则a＝，b＝2，故该双曲线的标准方程为－＝1.本题考查圆的方程、圆锥曲线的方程和几何性质等基础知识，属于容易题．

7.±

4　解析：

由已知得即故a5与a7的等比中项为±

＝±

4.

由流程图知，当输入x时，各次循环输出的结果分别是2x＋1，2（2x＋1）＋1＝4x＋3，2（4x＋3）＋1＝8x＋7，此时退出循环．由解得6≤x≤9，故输出的x不小于55的概率为P＝＝.

9.　解析：

∵|＋|＝||，|＋|＝|－|，∴|＋|2＝|－|2，即||2＋||2＋2·

＝||2＋||2－2·

，即·

＝0，∴⊥，即AB⊥AC.又AB＝1，AC＝，∴BC＝＝2，cosB＝，∴·

＝||||cosB＝1×

2×

＝1，故＝.

10.－2　解析：

因为0＜a＜1，所以原不等式等价于即画出可行域（如图），考查z＝x＋y的取值范围，由得解为（－1，－1），从而z>

－1－1＝－2，故满足λ＜x＋y的λ的最大值为－2.本题主要考查线性规划知识、等价转化及数形结合等数学思想，属于中等题．

11.y＝ex－　解析：

由已知得f（0）＝，∴f（x）＝ex－x＋x2，∴f′（x）＝ex－＋x，

∴f′

（1）＝e－＋1，即f′

（1）＝e，从而f（x）＝ex－x＋x2，f′（x）＝ex－1＋x，∴f

（1）＝e－，f′

（1）＝e，故切线方程为y－＝e（x－1），即y＝ex－.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义，考查等价转化、函数与方程等数学思想，属于中等题．

12.－1.5　解析：

因简谐振动的物体的位移s与时间t之间的函数关系为s＝Asin（ωt＋φ），且由题意，A＝3，＝3，所以ω＝，s＝3sin.又当t＝0时，s＝3，所以3＝3sinφ，即sinφ＝1，φ＝2kπ＋（k∈Z），所以s＝3sin＝3cost.故当t＝5时，s＝3cos＝－.

13.（－1，0）∪（0，2）　解析：

由题意，圆心C（－1，0），点P（x0，2x0）．因为PA＝PB，所以CP⊥AB，从而有kCPkAB＝－1，所以·

a＝－1，即a＝－.又把y＝ax＋3代入x2＋y2＋2x－8＝0，得（a2＋1）x2＋（6a＋2）x＋1＝0，则有Δ＝（6a＋2）2－4（a2＋1）＝8a（4a＋3）>

0，解得a>

0或a<

－，所以－＞0或－<

－.由此解得－1<

x0<

0或0<

2.本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系及不等式的有关知识及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力，属于难题．

14.（2，3）　解析：

∵m＝＋＝＋＝6＋＋，又x>

，y＝x2－1>

2，∴x－1>

0，y－2>

0，∴＋≥2，当且仅当＝时等号成立，即y＝x＋1，与y＝x2－1联立，解得故m的最小值为8，此时点P（2，3）．本题主要考查函数的性质及基本不等式的运用，考查函数与方程、等价转化等数学思想，属于难题．

（1）连结A1B和A1C.因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C的对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点．所以EF∥BC.（3分）

又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC.（6分）

（2）因为三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，所以A1A⊥平面ABC，所以BC⊥A1A.故由EF∥BC，得EF⊥A1A.（8分）

又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD.

故由EF∥BC，得EF⊥AD.（10分）

而A1A∩AD＝A，A1A、AD平面A1AD，

所以EF⊥平面A1AD.（12分）

又EF平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD.（14分）

（1）因为tanC＝，即＝，

所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，

得sin（C－A）＝sin（B－C）．（4分）

所以C－A＝B－C，或C－A＝π－（B－C）（不成立）．

即2C＝A＋B，得C＝.（7分）

（2）由C＝，设A＝＋α，B＝－α，0＜A、B＜，知－＜α＜.

因为a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB，（8分）

所以a2＋b2＝sin2A＋sin2B＝＋

＝1－＝1＋cos2α.（11分）

由－＜α＜，知－＜2α＜，－＜cos2α≤1，

故＜a2＋b2≤.（14分）

（1）由题意，AB＝x，BC＝2－x.

因为x＞2－x，故1＜x＜2.（2分）

设DP＝y，则PC＝x－y.

因为△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.

由PA2＝AD2＋DP2，得（x－y）2＝（2－x）2＋y2y＝2，1＜x＜2.（5分）

（2）记△ADP的面积为S1，则

S1＝（2－x）（6分）

＝3－≤3－2，

当且仅当x＝∈（1，2）时，S1取得最大值．（8分）

故当薄板长为m，宽为（2－）m时，节能效果最好．（9分）

（3）记凹多边形ACB′PD的面积为S2，则

S2＝x（2－x）＋（2－x）＝3－，

1＜x＜2.（10分）

于是S2′＝－＝＝0x＝.（11分）

关于x的函数S2在（1，）上递增，在（，2）上递减．

所以当x＝时，S2取得最大值．（13分）

故当薄板长为m，宽为（2－）m时，制冷效果最好．（14分）

18.

（1）解：

令n＝1，则a1＝S1＝＝0.（3分）

由Sn＝，即Sn＝，　①

得Sn＋1＝.　②

②－①，得（n－1）an＋1＝nan.　③

于是nan＋2＝（n＋1）an＋1.　④

③＋④，得nan＋2＋nan＝2nan＋1，即an＋2＋an＝2an＋1.（7分）

又a1＝0，a2＝1，a2－a1＝1，

所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．

所以，an＝n－1.（9分）

假设存在正整数数组（p，q），使b1、bp、bq成等比数列，则lgb1、lgbp、lgbq成等差数列，于是＝＋.（11分）

所以q＝3q.（*）

易知（p，q）＝（2，3）为方程（*）的一组解．（13分）

当p≥3，且p∈N*时，－＝＜0，故数列（p≥3）为递减数列，于是－≤－＜0，所以此时方程（*）无正整数解．

综上，存在唯一正整数数对（p，q）＝（2，3），使b1、bp、bq成等比数列．（16分）

19.

（1）解：

依题设c＝1，且右焦点F′（1，0）．

所以，2a＝EF＋EF′＝＋＝2，b2＝a2－c2＝2，

故所求的椭圆的标准方程为＋＝1.（4分）

（2）解：

设A（x1，y1）、B（x2，y2），则

＋＝1，①＋＝1.②

②－①，得＋＝0.

所以k1＝＝－＝－＝－.（9分）

（3）证明：

依题设，k1≠k2.

设M（xM，yM），直线AB的方程为y－1＝k1（x－1），即y＝k1x＋（1－k1），亦即y＝k1x＋k2，代入椭圆方程并化简得（2＋3k）x2＋6k1k2x＋3k－6＝0.

于是xM＝，yM＝.（11分）

同理xN＝，yN＝.

当k1k2≠0时，直线MN的斜率k＝＝＝.（13分）

直线MN的方程为y－＝，

即y＝x＋，

亦即y＝x－.此时直线过定点.（15分）

当k1k2＝0时，直线MN即为y轴，此时亦过点.

综上，直线MN恒过定点，且坐标为.（16分）

20.解：

（1）因为f（x）在（1，＋∞）上为减函数，

所以f′（x）＝－a≤0在（1，＋∞）上恒成立．（2分）

所以当x∈（1，＋∞）时，f′（x）max≤0.

又f′（x）＝－a＝－＋－a＝－＋－a，

故当＝，即x＝e2时，f′（x）max＝－a.

所以－a≤0，于是a≥，故a的最小值为.（6分）

（2）命题“若x1、x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）＋a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max＋a”．（7分）

由

（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max＝－a，

∴f′（x）max＋a＝.

问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”．（8分）

①当a≥时，由

（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，

则f（x）min＝f（e2）＝－ae2≤，故a≥－.（10分）

②当a＜时，由于f′（x）＝－＋－a在[e，e2]上为增函数，

故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即.

（ⅰ）若－a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，

于是，f（x）min＝f（e）＝e－ae≥e＞，不合．（12分）

（ⅱ）若－a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）＝0，且满足：

当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当x∈（x0，e2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

所以，f（x）min＝f（x0）＝－ax0≤，x0∈（e，e2）．

所以，a≥－＞－＞－＝，与0＜a＜矛盾，不合．（15分）

综上所述，实数a的取值范围为a≥－.（16分）

苏州市2013届高三调研测试

1.{－1，2}　解析：

根据交集的意义得A∩B＝{－1，2}．

2.1　解析：

由z（2＋i）＝1－2i，得z＝＝＝＝－i，故|z|＝1.本题主要考查复数的基本概念及基本运算、复数的模等基础知识，属于容易题．

3.2　解析：

样本的平均数为＝（8＋12＋10＋11＋9）＝10，所以s2＝[（8－10）2＋（12－10）2＋（10－10）2＋（11－10）2＋（9－10）2]＝2.

不妨设成等差数列的5个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d（d>

0），则这5个数的和为5a＝15，即a＝3，从而这5个数中小于3的数有2个，故从这5个数中随机抽取一个数小于3的概率是.

5.　解析：

设过坐标原点作函数y＝lnx图象的切线的切点为（x0，y0），则y0＝lnx0，切线的斜率为y′|x＝x0＝，切线方程为y＝x.又切线过切点（x0，lnx0），所以lnx0＝·

x0，解得x0＝e，故切线斜率为＝.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义与切线的求法，属于容易题．

6.3　解析：

因为BB1∥平面ADD1，所以V三棱锥AB1D1D＝V三棱锥B1AD1D＝V三棱锥BAD1D＝S△ADD1·

AB＝×

×

3×

3＝3.

7.6.6　解析：

由题意，从今年起到第五年的年产值构成首项为1.1，且公比也为1.1的等比数列，所以这个厂五年的总产值为S＝＝11×

（1.15－1）≈11×

（1.6－1）＝6.6.

本题主要考查等比数列的概念、等比数列的前n项和等基础知识，属于容易题．

8.2　解析：

当输入m＝6，n＝4时，Int＝Int＝1，＝，∴Int≠，进入循环体，使c＝6－4×

1＝2，m＝4，n＝2，此时Int＝2＝，退出循环，输出n的值