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45+2×
一开始我没有给予规定是否要把过程写完整，因为我认为这样写的学生思维水平更高。
但后来发现伴随着简写的增加的还有错误率的提高，因为大部分学生在初学乘法分配率不久后还难以达到那种思维水平，有时会漏写，如
45+2
而写出完整过程能更加促进学生去理解每一步的含义，所以我在班上对学生提出完整写出运算过程的要求，等学生对此有比较深刻的认识后逐渐放宽要求，让学生自己决定是否完整写出运算过程。
学生错误的解答有各种各样的原因但其中必然有因素，没有“无缘无故的错误”，而典型、普遍的错误更反映了学生典型、整体的认识不足，所以教学中有时有必要专门把学生的错误展示出来进行分析，不是为批评而是为系统的加强正确认知。
“运算律”特别是“乘法分配率”是四年级学生学习中的一个难点，针对其中的典型错误我进行了展示，从几个方面加深学生的认知。
一、通过错误系统比较运算律
=1000×
=4000
在作业中有学生出现了这样的运算过程
我把它呈现在黑板上，学生纷纷发表自己的意见：
生1：
40=1000，25×
44的答案应该比1000大一些，但4000比1000大很多，这一题不对。
生2：
4=160了，不等于44，应该把44拆成40+4的和，用乘法分配律进行计算。
生3：
44还可以拆成4×
11的积，先算25×
4=100，再用100×
11=1100。
乘法分配率：
（a+b）×
c=a×
c+b×
c
在学生发言的基础上我进行了总结44可以用加法拆分，也可以用乘法拆分，我们一定要想清楚用哪种方法拆分，不要混淆。
在此基础上进行引导：
我们现在学习了多种运算律，同一道题目也许可以根据不同的运算律采用不同的方法进行简便计算，那我们来回顾一下我们进行简便计算时常用的运算律有哪些？
根据学生回答进行了板书：
乘法交换律：
a×
b=b×
a
乘法结合律：
b×
c=a×
（b×
c）
加法交换律：
a+b=b+a
加法结合律：
a+b+c=a+（b+c）
然后让学生观察比较，说一说自己的发现。
有学生提出来：
有没有加法分配率呢？
我告知学生：
没有加法分配率。
然后引出疑问：
交换律和结合律都分为“加法交换律、乘法交换律”和“加法结合律、乘法结合律”，为什么分配率只有“乘法分配率”呢？
它们有什么不同之处吗？
学生观察得到：
交换律和结合律中只含有一种运算，要么是只含有加法的交换律也就是加法交换律，要么是只含有乘法的交换律也就是乘法交换律，要么是只含有加法的结合律也就是加法结合律，要么是只含有乘法的结合律也就是乘法结合律。
而在分配率中既含有加法也含有乘法，含有两种运算。
还有学生指出，我们总结得到了含有减法的分配率（a—b）×
c—b×
c，分配率中的加法运算可以换成减法运算，乘法运算却不能换为除法运算，所以叫做“乘法”分配率而不是“加法”分配率。
通过这样的讨论，学生对各种运算律有了更深刻的认识。
二、在错误中明确运算律的外延
作业中有这样的题目，有学生进行了这样的计算：
99×
101
=（100—1）×
（100+1）
100
10000
这些学生发现了99和101两个数的特征，它们都比较接近100，但把两个数同时拆开进行简便计算的方法我们还没有学习过。
我在黑板上展示了这种做法后，学生用“竖式计算、99×
（100+1）、101×
（100—1）结合乘法的意义”几种方法说明这种方法的错误。
我肯定了黑板上的做法发现99和101两个数都接近100，观察比较仔细，但直接把后面多出的1补给前面的方法没有道理，所以这样做不对，究竟如何计算（100—1）×
（100+1）到中学后我们将学习。
小学里，我们根据乘法分配率，只拆分一个数，另一个数不变。
三、在比较中优化简便计算的方法
作业中出现这样的题目，学生有两种方法进行计算：
12
10+25×
2
=250+50
=300
=20×
12+5×
=240+60
4×
3
这三种方法都是正确的，但第三种方法比第一种、第二种方法要简单。
我在黑板上呈现了三种方法，让学生自己比较，通过一番比较后学生得到结论：
第三种用乘法结合律的方法比第一种、第二种用乘法分配率的方法要简单，并由此推广到25×
44、125×
88、52×
25等一系列题目。
简便计算的一个重要思想是“凑整”，有些学生看到题目就想着怎样凑整，所以会迫不及待的把12拆成10+2的和，或把25拆成20+5的和。
而呈现第三种方法后，学生自己可以发现虽然第三种方法一开始没有出现整十数，但综合来讲比第一、二种方法更简便，所有有时候要有“长远的认识”。
关于计算教学的一些基本想法
一、课前预热
每节课前2分钟，根据学生情况，根据教学需要，进行口算练习，可以是开火车，也可以指名回答。
这样做的目的是培养学生的数感，增强孩子们的计算兴趣。
二、导入“：
为问题导入和情境导入。
（1）生活情境
《数学新课程标准》指出：
“数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境。
”这实际上是在要求教师要把数学教学与学生的实际紧密联系起来，创设自然生动，与教学内容贴近的教学情境，让学生在熟悉的生活情境中感受计算的价值，主动参与到学习中去。
例子：
从生活情境中理解算理
情境的创设可以帮助理解算理。
计算式题本身就是很抽象，抽象的东西如果没有现实的材料作支撑，那就显得没有生命，如果计算仅仅是教技巧，学生一不感兴趣，二很难理解算理。
如：
231—198=231—200+2=33，学生对多减要加，普遍感到难理解。
如果我们将这个算式放在一个商店买卖情境中，某人口袋现有231元，买了一些东西后花去198元付给了营业员200元。
营业员一定会找2元，这样没有一个学生不会理解了。
当然，我们必须非常清楚地明白以上创设情境不只是为了理解算理，它还能让学生感受到计算的价值，数学就在我们身边等等
（2）问题情境
1、借助故事创设问题情景。
教学的艺术不在于传授，而在于激励、唤醒和鼓舞学生的心灵。
在数学教学中，适时地给学生营造一个故事情境，不仅可以吸引学生的注意力，而且有利于学生发现问题，探索新知。
例如：
在教学“商不变的规律”时，老师就给大家讲一个故事—《猴妈妈分桃》，在一座很大的山上，住着猴妈妈和它的猴宝宝，一天，山上的桃子熟了，猴妈妈摘了24个给小猴，要它分4天吃完，小猴很聪明，列式一算24÷
4=6（个），每天才吃6个，不高兴了。
猴妈妈又给它摘了一些分给小猴，共给它240个，但要40天吃完，小猴又一算240÷
40=6（个），还是6个，不行不行，小猴大叫。
这次呀，猴妈妈又分给它2400个，但要它400天吃完，小猴一算2400÷
400=6（个），怎么每天还是6个呢？
小猴纳闷了，为什么妈妈分的桃子越来越多，而我每天吃的桃却都是6个呢？
同学们，你们知道吗？
请你学过这节课之后替小猴回答这个问题。
这时学生急欲弄个水落石出，思维积极，本课的成功有了良好的开端。
2、用猜想和验证来创设问题情境。
心理学研究表明：
学生的思维活动总是由问题开始的，在解决问题中得到发展。
学生学习的过程本身就是一个不断提出问题，又不断解决问题的过程，因此在教学过程中不断创设问题情境，引起学生认识冲突，使学生处于一种“心求通而未得，口欲言而弗能”的状态，激发学生的求知欲，老师提供主动探索和发现问题的条件，使学生的思维在问题的猜想与验证中得到促进和发展。
3、联系学生的生活实际创设问题情境。
数学源于生活，又高于生活，而学习知识后又将回到生活中去，因此，我们的数学应从生活实际出发，创设的问题情景也要从实际出发，这样才符合学生的心理特征，才能激发学生学习数学的欲望；
这就要求我们教师要结合学生的生活经验和已有的知识来设计富有情趣和意义的活动，创设良好的教学情景，使学生切实体验到身边有数学，用数学可以解决生活中的实际问题，从而对数学产生亲切感，增强了学生对数学知识的应用意识，培养学生的自主创新解决问题的能力。
4、利用问题创设问题情景 好奇心和自我表现欲是学习的内部动机，小学生的好奇心和自我表现欲特别强烈。
因此，有意识创设情景，让学生主动提出问题，能激发和迎合他们的好奇心理和表现欲，为课堂教学创设良好的氛围。
5、利用游戏创设问题情境。
“关注学生的经验和兴趣，通过现实生活中的生动素材引入新知，使抽象的数学知识具有丰富的现实背景
6、通过设立疑点创设问题情景 现代教学论认为，激疑是教学的重要策略。
教师要善于激疑才能引起学生的积极思维，才能引发学生的好奇心，而好奇心常常会导致创造意识的萌发。
因此，教师要依据教学内容，适当设置疑点，创设教学的最佳情境，引发学生的好奇心。
如教学《乘法分配律》这一节的开始，设置了这样的悬念：
列出如下一组算式后，我很快地说出了它们的得数。
①9999×
9+9999=？
②127×
36+127+63×
127=？
③（100+8）×
125=？
④98×
35=？
当学生听老师说出得数后，感到惊奇不已，这是我趁机导入新课：
学习了这节课之后你就会知道老师是怎样很快算出得数的。
这样学生带着疑问去学习，学习兴趣特别浓厚，急于找到方法的心情也特别迫切。
让每个学生都处于惊奇、探索和发现的学习过程中，既激活了学生的思维，又培养了学生的创造意识。
再如教学时有意搜集或编制一些学生易犯而又意识不到的错误方法和结论，使学生的思维产生错与对之间的交锋冲突和悬念，进而引导学生找出致误原因，克服思维定势。
如我在教学四则混合运算时，出示了一道容易出错的复习题：
36－36÷
3。
许多学生的计算步骤如下：
3＝0÷
3＝0。
造成计算错误的原因是因为强信息“36－36”削弱了计算顺序这一信息，造成了计算的差错。
而只有个别学生的计算步骤是：
3＝36－12＝24。
出现这两种情况，正在我的意料之中。
我顺水推舟，把这两种计算过程写在黑板上，让学生讨论这两种计算哪种正确。
顿时，学生议论纷纷。
有的说第一种解答正确，有的说第二种解答正确。
学生们个个情绪高涨、兴趣盎然，我顺势引入新课：
“到底哪种解答方法正确呢？
我们学习四则混合运算后，就知道答案了。
”接着开始讲授新课，教学效果很好。
实践证明，有目的地设计一些容易做错的题目，展示错误，造成“悬念”，有助于提高学习兴趣，培养学习的主动性。
注意事项：
1、计算教学的情境不是随便乱用，只有创设相当合适的教学情境，才会起到相得益彰的作用。
如果创设的教学情境与学生的生活实际太远，或者情境的数学价值不大，学生便有可能毫无目的的发散出去。
如一位教师教学“8加几”，创设了这样的教学情境：
先出示一个穿红裙子的小女孩，标上她8岁，再出示一位穿绿裙子的小女孩，出示她6岁。
然后让学生根据画面提问题。
很明显，教师想让学生提出两个女孩一共多少岁，可是学生却五花八门的提出了好多毫不相干的问题。
最后老师只好自己提出了加法计算的问题。
仔细推想，学生即使提出两个女孩一共多少岁？
又有多大的实际意义呢？
所以计算教学情境的创设必须是有现实意义的，是有生活价值的。
否则，它与传统的纯粹的计算教学又有什么区别呢？
所以一个好的计算情境必须有一定的时间性和地域性，要符合学生的年龄特点，而且，也并非所有的计算教学都要创设情境。
2、情景的创设可借助媒体，但不能依赖媒体。
例如，在《除数是小数除法》的教学中，有个老师新课伊始就出示“2.4÷
0.12”直奔主题，在教师“你能尝试自己解决吗？
”“老师相信大家一定能行”“老师期待同学们惊人的发现”的寥寥数语中，激发了学生对自我、对同伴进行挑战的勇气与欲望。
你说，这算情境创设吗？
我们认为，这是一种更直接、更有效、更简洁的情境创设行为。
又如教学《和是6、7的加法》时，设计这样的生活情景：
小英给学校送来7盆花，要分别摆在校门口的两侧，想请小朋友们帮帮忙，可以怎样摆？
你能想出几种摆法？
用学具摆一摆，再写出加法算式。
学生边摆边写出了和是7的各种加法算式，而且培养了一年级孩子初步的分析解决问题的能力。
这种直奔主题的情景创设也很好。
（三）、导入的注意事项。
1、新课的导入要具有吸引力。
注意力是学习的先导，在极短的时间内，巧妙地把学生分散的注意力吸引过来，通过谈话或一些具体、形象、直观的事物引起学生的注意，使学生思维跟着教师讲课走。
2、新课的导入要有趣味性
3、新课的导入应有针对性
新课导入必须根据小学生的心理特征，针对不同年级、不同教材、不同条件、不同环境、不同时间，选择不同的方法。
但也不能占用过多的时间削弱其它教学环节。
三、新授。
这部分内容是一节课的重点，计算课上好的关键也在于此——让学生理解算理，学会算法。
我们要根据学生的年龄特点，选择恰当的教学方法。
教学过程中要充分运用直观操作帮助学生理解算理。
计算法则是课堂计算教学的重点。
（1）遵循认知规律，让学生充分感知理解算理。
小学生的思维特点是具体形象思维为主，尤其是低年级学生更为突出。
在教学中，通过形象直观使学生充分感知，理解算理。
不仅让学生知其然，更重要的然他们知其所以然。
例如，在教学乘数是一位数乘法时，让学生看图，从摆小方块、数小方块等形象思维入手，抽象出一位数乘法的法则。
（2）运用“迁移”规律，促进计算法则的掌握。
在计算法则教学中，注意唤起学生对原有知识的回忆，寻找新旧知识的最佳结合点，运用旧知识的迁移学习新法则。
（3）重视算法指导，在计算的合理性、灵活性上下功夫。
在讲清算理、揭示规律的同时，注重培养学生解题的技能、技巧，使解题过程既正确，又合理。
培养良好的审题习惯，灵活运用所学的运算法则、定律，使解题过程最忧化。
达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。
提倡算法多样化，其目的是鼓励学生进行个性化的学习，充分展示学生的学习潜能。
所以教学中，我们应给学生充分展示自己的机会，鼓励学生提出自己的算法。
如在教学一年级下册第二单元《20以内退位减法》时，如果让学生展开思路，可能会出现“破十法”“想加算减”甚至“连续减”“点数”等方法，虽然有些方法不很简捷，但是都是学生思考的结果，都应给以肯定，尊重学生的想法。
让学生应通过交流、比较，吸取别人的“长处”，不断完善自己的想法。
因此在提倡算法多样化的同时，还要引导学生通过讨论、体验，反思，不断地优化自己的方法。
具体步骤可以分为以下几步：
1、独立探索。
2、小组讨论。
3、组际交流。
4、归纳小结。
算法多样化的误区
（一）占用了大量的课堂时间
例如三年级乘法中教学12×
10，在教师的指导下，学生想出了多种不同的算法：
12×
1＝1212×
10＝120
学生按照同一思路说出了12×
10的计算方法。
算法是多样化了，但也用去了课堂上不少的时间，留给练习的时间已经不多了。
（二）所有的方法都是“好方法”
有些教师为了迎合算法多样化几乎每个题目都要求学生想出更多的计算方法，我们的学生更是尽可能地想出各种方法。
在计算10+80时，有学生就想出一个一个数的办法，教师也给予了肯定。
因为“我们应当鼓励与尊重学生的独立思考，引导他们通过合作学习与讨论交流，选择适当的、和别人不同的方法来计算，即使是‘最笨’的算法也应得到鼓励，毕竟是他独立思维的结果。
教学时不作硬性规定哪种方法好，即同一个算式可以有不同的算法，学生自主选择自己喜欢的方法。
”如果所有的方法都是好方法，那么加减教学都可以简化成数数教学了。
（三）是否也需要算法的优化
在一些计算教学的课堂上会发现教师在热热闹闹地小组合作学习、学生积极汇报多种计算方法后就用一句：
小朋友们，请你用自己喜欢的方法计算下面的题目吧。
直接进行巩固练习。
例如教学两位数减一位数的退位减法15—9。
教师引导学生得出算式样15-9=？
同桌合作交流，并操作小棒验证算法。
每个小组派一名代表向全班汇报小组的算法（有的在实物投影仪上边操作小棒边讲解，也有不操作直接列出算式进行计算的），一共出现五种（甚至更多）不同的算法，除了教材上出现的四种算法外，还出现了“9-5=4，10-4=6”的特殊算法。
教师给予学生每一种算法以充分的肯定。
教师接着引导学生下面就请你用自己最喜欢的方法计算16-9=？
这里就有一个在得出多种算法后是否需要一个算法优化的过程的问题，教师是完全肯定各种方法还是把学生的计算方法圈定在课本的范围内。
可见计算教学在实施算法多样化的过程中还存在着一些问题，尤其是与算法优化之间有些矛盾，那么在计算教学中我们如何能处理好算法多样化与算法优化的关系呢？
二、矛盾分析
（一）正确认识“算法多样化”
新课程标准实施后，有教师反映学生的计算能力比以前下降了。
主要表现在计算正确率下降，口算速度减慢等等。
而且学生对计算的兴趣并没有因此而提高。
学生数学思维能力也没有得到应有的培养。
沈坤华在《走出小学数学计算教学的误区》中指出造成这种现象的一个主要原因就是算法多样化变成“形式化”。
[3]有的教师对算法只求量上的“多”。
学生展示同一思维层面的算法，而不是在思维层面即质上的提升，一旦少了某种方法，教师就要干方百汁牵引，有的学生为了迎合教师的意图，想一些低价值、原始的方法来充数。
这样一来，往往讨论一道题目就耍花费1O到15分钟。
而且算法“多”了以后，也不适时优化，在计算时，只要求学生用自已喜欢的方法计算，有的甚至于不掌握基本的计算方法。
1.算法多样化是“群体多样化”
这些教师主要是没有正确认识和理解算法多样化。
算法多样化不是要求每个学生都想出或都掌握两种或多种算法。
李玲玲在《小议算法多样化》中解释为：
“一个学生也许只想到了一种算法，许多学生也许就有多种算法，实施算法多样法时，教师不必将每一种算法都挖掘出来，更不能凭教师自己的想象给学生列举出千奇百怪、不合逻辑的算法；
教师不要生硬地套出学生的多种算法；
也不要求学生都要掌握多种算法。
”[4]也就是说算法多样化是指“群体多样化”，而不是“个体多样化”。
2.算法多样化的内涵
算法多样化的内涵主要有以下几点：
第一，鼓励独立思考。
学生有着不同的生活背景和认知风格，他们的认知水平，思考角度必然存在差异，对同一个计算问题，不同学生常常想不同的计算方法。
所以鼓励学生独立思考,探索不同算法是可能的。
算法多样化在很大程度上是独立思考的结果，而通过算法多样化又可以培养和发展学生的独立思考能力。
第二，善解学生想法。
算法多样化的作用：
一是在计算教学中给学生一个探索、思考和创新的机会；
二是给学生一个合作交流的机会。
这样，教师就不再是计算方法的垄断者和发布者。
这时，面对学生五花八门的想法，其中有些可能是出乎教师预料的，甚至是教师从未想到过的。
这就需要教师迅速做出反应，做出准确的判断。
比如，教学两位数加一位数进位加法的口算，例题是18+9，一位同学介绍自己的算法时说：
“我先用18-10=8”，教师没设想到这样的方法：
“计算加法，怎么先做减法？
”于是请这位同学再想想。
其实，这位同学“18-10=8”的意思是把18分成10和8，然后用8+9=17，再用10+17=27。
可见，提倡算法个性化，要求教师必须善于倾听，善于发现学生发言中富有价值和意义的内容。
从而使算法个性化成为一种生动的课程资源。
在这个意义上，学生算法个性化的过程，也是教师教学智慧的发展过程。
第三，尊重个体差异。
由于个人的天赋、后天环境的不同，以及接受教育内化的过程的千差万别，学生的个体差异是客观存在的。
它不完全是教育的结果，但却是教育教学的依据。
例如，去年，我发现我们班有一位学生，其他学科不错，可数学做到10以内的加减法还要扳手指。
每当我走到面前制止他扳手指时，他就心慌意乱，显然，对于这样的特殊学生，引导他摆脱动作思维，进入形象思维为支撑的抽象思维，还需要一个过程。
这时，默许他扳手指，消除他的恐惧、自卑感，让他放松、投入，同时给予引导和帮助，才是可取的教学策略。
教师必须正视学生的个体差异，既要发现学生的潜能、特长，也要尊重学生的弱点，因人而异，区别对待。
第四，允许自主选择。
即允许学生选择不同的方法。
包括允许学生采用不同的探究方法，如尝试——修正，尝试——验证，实验——验证，等等；
允许学生选用不同的直观支撑，如摆小棒等，或摆脱直观手段，在头脑中思考；
允许学生选择自己喜欢的或适合自己自身特点的计算方法。
这既是发扬教学民主和尊重、理解学生的具体表现，也是一种因材施教的策略。
第五，酌情因势利导。
我们关注学生的差异，允许学生自主选择，并不是说教师可以迁就学生的现有水平，放弃主导作用。
毕竟教学是为了促进学生的发展，教师的职责就是引领学生进入他们各自的“最近发展区”。
因此，教师必须因势利导，不失时机地启发学生超越自我。
比如，我们应当允许上述特殊学生暂时数手指计算，但又不能听之任之。
负责的老师，都会积极地采取适当的措施，帮助这样的学生逐步地、尽快地摆脱对数手指的依赖，使这样的学生也能跟上集体的步伐。
（二）算法多样化与算法优化
“两位数减一位数的退位减法”教学教师通过问题情境出示例题23-8。
然后，经过教师的精心“引导”。
出现了多样化的算法，教师花了将近一节课的时间进行了展示（还分别用动画式课件进行演示）：
最后，教师说：
“你们喜欢用什么样的算法就用什么样的算法。
”（下课）。
课后，教师说：
“现在计算教学一定要算法多样化，算法越多越能体现课改精神。
”方法是多了，但学生的思维更模糊了：
老师到底要我们怎么做。
教师何不在学生汇报多种算法后进行适当的优化呢。
有教师认为算法优化就是跟着课本走，就是“算法唯一化”。
我们说的算法优化有两条标准，一是尽可能地选择通法、通则，具有一般性，而不是适用于特殊数据的特殊算法。
二是尽可能选择便于大多数同学接受、理解、掌握的算法。
第二条标准再具体些，又可细化为两个
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