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第一章行列式

3证明：

.因为：

对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列当n2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

偶排列与奇排列各占一半。

（1）不是行列式的项是行列式的项因为它的列排排列逆序列=（4321）=3+2+0+0=5为奇数，应带负号

（2）不是行列式的项=因为它的列排排列逆序列（34512）=2+2+2+0+0=6为偶数应带正号。

5解：

利用为正负数来做，一共六项，为正，则带正号，为负则带负号来做。

6解：

（1）因为它是左下三角形

===

（2）

=+==0

（3）==32

（4）==

7.证明：

将行列式转化为若零元多于个时，行列式可变为故可知行列式为0.

（1）5=55

习题一

（1）

根据“定义法”

（2）

根据“降阶法”

（3）

注：

根据范达蒙行列式原式=

-1 =

（4）

（1）证明：

（2）证明：

（3）

（4）“递推法”

15.

（1）=+

=（ab+1）（cd+1）-[a（-d）]=（ab+1）（cd+1）+ad

（2）==（4-6）（-1-15）=32

（3）=++

=-a（c-d）-a（d-b）-a（d-c）

=abd

=abd（c-b）（d-b）（c-d）

（4）==

=（

16.范达行列式V（）==

（1）因为为常数。

所以p（x）是n-1次的多项式

（2）令p（x）=0.得x=.x=......即p（x）的根为

第二章矩阵代数

4.计算下列矩阵乘积

（1）==

（2）==

（3）.（1,-1，2）=（1*2+（-1）*1+2*4,1*1+（-1）*1+2*2，1*0+（-1）*3+2*1=

（9，4，1）

（4）（x,y,1）

=（x,y,1）

（5）

5.设A=，B=，求

（1）A=

n=1时A=

n=2时=

n=3时=A=

假设

（1当n=1时，=

（2假设当n2时（n为自然数）成立，令n=k，则=成立；

当n=k+1时

=A=

=成立

综上当n微自然数时

当n=1时，

当n=2时，

当n=3时，

假设=

当n=1时=

假设n=k+1时

=成立

综上当n为自然数时，

当A=2时

n=3时

n=4时

n=5时

假设n时成立

当n=3时

假设n=k时成立

当n=k+1时

整理得

成立

所以

综上=

7、已知B=

证明{E,当n为偶数；

B,当n为奇数

证明：

∵

∴

∴=｛E,当n为偶数；

B,当n为奇数

8、证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。

证明：

设两个n阶上三角形矩阵为A,B,

且A=

根据矩阵乘法，有

AB=

则可知AB为上三角形矩阵

同理，可得BA也为上三角形矩阵。

9、若AB=BA,AC=CA,证明：

A、B、C为同阶矩阵，且A（B+C）=（B+C）A,A（BC）=BCA.

证：

设A=，B=，C=

由题知AB、BA有意义，则可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB为m×n阶矩阵，则可知m=n,所以A、B均为n阶矩阵。

同理可知A、C均为n阶矩阵，故可得A、B、C为同阶矩阵

②

③

10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA，证明：

（1）

（2）

（3）

11、

12、证明

13、

14、

15、

当n=1时，

当n=2时，

当n=3时，

假设=

当n=1时=

假设n=k+1时

=成立

综上当n为自然数时，

当A=2时

n=3时

n=4时

n=5时

假设n时成立

当n=3时

假设n=k时成立

当n=k+1时

整理得

成立

所以

综上=

16、

（1）

解：

设

由①②③④得：

得

（2）设

由①②③④，得：

得：

（3）设

由方程组，得：

得

（4）设

得

得：

（5）

设

得

19、

（1）

解：

方程组的解为：

（2）

方程组的解为：

（3）

方程组的解为：

（4）

有且仅有或时，无意义；则其他情况

方程组的解为：

（4）

（5）

由

得

（6）

24.证：

A为对称矩阵

A=A’

AA=AA’=E

AA’（A’）=E（A’）

A=（A’）

A为可逆对称矩阵

（A’）=（A）’

A=（A）’

可逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。

25.证：

（1）（A）’=（AA）’=A’A’

A为n阶对称矩阵

A’=A

（A）’=A

A为对称矩阵

（B）’=（BB）’=B’B’

B是n阶反对称矩阵

B’=-B

（B）’=（BB）’=B’B’

B是n阶反对称矩阵

B’=-B

（B）’=（-B）（-B）=B

B是对称矩阵

（AB-BA）’

=（AB）’-（BA）’

=B’A’-A’B’

=-BA-A（-B）

=AB-BA

AB-BA为对称矩阵。

（2）必要性：

AB为反对称矩阵

（AB）’=-AB

又（AB）’=B’A’=-BA

AB=BA

充分性:

AB=BA

（AB）’=B’A’=-BA

AB为反对称矩阵

综上所述：

AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。

26.解：

设矩阵X为x=

则=

Ax=o

即=0

对任意n1矩阵都成立

A=0

27.证：

：

A为正交矩阵

A===

又正交矩阵为可逆矩阵

A=A

：

A===A

28.解：

时

依次用V左乘和用U右乘消去

得从而得证

29.解：

（1）判断X可逆即：

因A、C可逆，

则即

则X可逆。

（2）设则

由

30.证明：

31.解：

（1）

原式=

（2）

（3）

第三章线性方程组

1.证：

假设线性相关，

则不会为0，使得

整理得：

又由，故

由于

故由克莱默法则知：

故结论正确。

2.解：

得：

3、不一定。

原式：

故仅可得到线性无关

将每个向量任意拆分得到的新向量显然不一定仍然线性相关

例如向量成比例或含有零向量

例：

或任一一个为零向量

4、不正确使两等式成立的两组系数一般来说是不相等的，所以不可以做那样的公式提取

即

5、提示：

含有零向量就一定线性相关

极大线性相关组中每一向量都无法用其他组中向量给出，因此可用一极大线性无关组加零向量构成向量组

6.证：

假设线性相关，

由题意知，必存在一组使得

7.证：

设

由于

6、证明：

假设线性相关，则，线性相关（部分相关则全体相关）

所以存在m+1个不完全为0的数满足

本来线性相关，故可为0，可不为0

（1）则无法用线性表出

（2）

而线性相关，根据定义，至少有一个向量可用其他m-1个向量表出，我们不妨设

则

这样得到了的另一种表出式，即表出不唯一

综上，假设成立条件下得到的结论与“可用唯一表出”矛盾

故假设不成立，线性无关

7、将A表示为，B表示为

若线性无关，则必有

同理可证A

P117T8

解：

（1）

由此r=3

解：

（2）

由此r=2

解：

（3）

由此r=3

解：

（4）

由此r=2

解：

（5）

由此r=3

解：

（6）

由此r=5

T9解

（1）：

设向量组线性相关，则

由，得：

=，=

代入式，得：

线性无关

由此r=4

（1）证：

由线性相关

则必有一组不全为0的数

使得

既有：

从中每一个向量中去掉第，就相当于在上述方程组中去掉S个方程

剩下的方程仍成立

既有不全为零的数

使得：

从而：

线性相关

显然当线性无关时

由上面的证明可知肯定线性无关

（2）由

（1）的证明很显然得到结论

11、证明：

把作为矩阵A行向量写成矩阵A

即：

只须证A的行量组线性无关即可

即证：

显然A中有一个阶子式

而A内的所有阶子式为0，因为A的行数

故有，从而结论成立

12、证：

先证当可由线性表示出时，的秩小于等于的秩

不妨设：

的极大无关组为；

的极大无关组为

只须证：

即可

假设

那么由条件可知：

可由线性表出，即存在一矩阵，使得

在上式两端同右乘一列向量，即得：

只要找到一组不全为0的数，使得：

成立

就能说明线性相关，与线性无关矛盾

事实上：

由于，所以上述方程组一定有非0解

故结论成立，同理可证，从而有

13．证：

（1）时，

若，

则

说明，向量组B与A可相互线性表示，又由A线性无关，其秩

所以，从而B线性无关

反之：

若B线性无关，考察

代入并整理得：

令

由上式可得：

由线性无关，所以

若，则有非0角

从而

由

故

考查：

即

将代入上式得：

由于线性无关，也线性无关

故

而方程组只有0解

而线性无关只有0解，故结论成立

14.记住一下常用矩阵秩的性质

（1）

（2）

（3）若可逆，则

（4）

证法一：

由上述性质（4）条，

而

所以

证法二：

设，（A,B同型，所以列

则

显然的列向量组可由与的极大无关组线性表出

若设分别为与的极无关组

那么的列向量组可由线性表出，所以

14、（第二种）证明：

设有向量组A＝，Ｂ＝

Ａ的行向量组为：

，，．．．，　　①

其极大线性无关组为：

Ｂ的行向量组为：

　　　②

其极大线性无关组为：

Ａ＋Ｂ的行向量组记为：

其中，，．．．，　　　

则，，　　③

有≤③≤．又

即有

习题三

15、⑴解：

对增广矩阵进行初等变换．

Ｂ＝

则　　无解

⑵解：

对方程组的增广矩阵进行初等变换．

Ｂ＝

则　　无解

⑶解：

对方程组的增广矩阵进行初等变换．（课本第１１９页题目出错，应该为

则有唯一解。

即唯一解为（3,2,1,）。

由方程组解得：

（4）、解：

对方程组的增广矩阵进行初等变换．

则＜6只方程组有无穷多解。

先求它的一个特解，与阶梯形矩阵对应的方程组为

令上式中的，解得。

于是得到特解：

导出组的方程为：

令解得：

令。

解得：

可求得导出组的基础解系：

，，

于是方程组的通解为：

其中为任意常数．

16.

（1）欲使方程有解，须使=

其中A=B=

对B进行初等行变换，过程如下：

B=　　交换⑴⑵行

-２⑴行+⑵行　　-１⑴行+⑶行

⑵行+⑶行

显然，=５时，==2

此时　　　　取（3，4）

故　　

（２）同样地，欲使该方程有解，须使=

　　　其中Ａ=　　Ｂ=

对Ｂ进行初等行变换，得

Ｂ=交换⑴⑵行

-·⑴行+⑵行-１⑴行+⑶行

交换⑵⑶行

⑵行+⑶行

①＝１时

　Ｂ＝　此时=，故方程有解。

且　　解为

②＝-２时

Ｂ＝　由于≠，故方程无解。

③≠１且≠２时，==３，方程有唯一解，且

故　

（此处只考虑＝１及＝-２两种特殊情形，原因在于，当＝１或＝-２时会使得矩阵第二、三行的首先为零，从而引起≠情况的出现）

综上，①=1时，方程有无穷多解

②=-２时，方程无解

③≠１且≠-２时

17.证明：

记系数矩阵为Ａ，增广矩阵为Ｂ。

另外：

Ｃ=

假设＝，可设Ａ的前ｒ行线性无关且第（r+1）行可用前ｒ行线性表出，那么对于第（r+1）行中的每一个值都有。

但Ｂ与Ａ相比多了一列，有可能使得（当然，这种关系也有可能满足）。

但当这种关系部满足时，﹥，故≥，同理≥。

综上：

≥≥

由于=，故==,方程有解。

18.解：

首先明确在平面直角坐标系中，直线的方程应为Ａx+By=C.

那么

用矩阵表示，即为

若将Ａ.B都看做自变量，将看做系数，那么，增广矩阵即为

Ｂ=

由于列向量线向相关，故=０

故=0

若为n（n﹥3）点共线，则增广矩阵B＇=

该矩阵中第３个列向量可用前两个线向表出，故﹤３。

考虑直线的特殊情形：

当该直线经过原点（０,０）时，=１；其余情形下，=２

故，ｎ点共线的充要条件为的秩﹤３

即的秩﹤３

19.解：

对方程组的增广矩阵施行初等行变换

初等行变换=

方程组有解的充要条件为==4，则需=０

解出矩阵对应的方程组得：

令=０得到方程组的特解

=（，，，，０）

导出组的方程为　　　　　　　

令=１则得导出组的基础解系为=（1,1,1,1,1）

则方程组通解为=（，，，，０）+k（1,1,1,1,1）

20.证明

（1）方程组的系数矩阵

系数a,b,c,d,e中有两个等于-1

即a+1,b+1,c+1,d+1,e+1中有两个等于0

则=4,因此方程组必有非零解

（2）

已知任何系数都不等于-1,且=1

则=0得=4,因此方程组必有非零解.

21.

（1）方程组的系数矩阵通过初等行变换化简

矩阵的秩=2<4,基础解系由2个线性无关的解向量构成,

矩阵对应的方程组

令代入解得

对应的解的向量为

令代入解得

对应的解的向量为

是方程组的一个基础解系

则方程组通解为.其中.为任意的实数

（2）方程组的系数矩阵

矩阵的秩=2<4,基础解系由2个线性无关的解构成

对应的方程组为

令可解得

对应的解向量为

令可解得

对应的解向量为

是方程组的一个基础解系

方程组的通解为

其中.为任意的实数

（3）方程组的系数矩阵

=4,基础解系由2个线性无关的解向量构成

写出阶梯形对应的方程组

令解出对应的解向量为

是方程组的一个基础解系

方程组的通解为

其中.为任意的实数

（4）方程组的系数矩阵

=3,基础解系应由2个线性无关的解构成

阶梯矩阵对应的方程组为

令解得对应的解向量为

构成方程组的一个基础解系

方程组的通解为

其中.为任意的实数

22.

（1）假设线性相关

则存在一组不全为零的一组数

使成立

若则

则是方程的解,与题设矛盾

21-24页

第三章线性方程2.2

习题三P12123-26题

27.解：

∵由A2＝A得A（A－E）＝0，再由第26题解得rA＋rA－E≤n

又∵rA＋r（E－A）≥r[A＋﹙E－A﹚]＝rE＝n即rA＋rA－E≥n

∴rA＋rA－E＝n

28.证：

∵A2＝E

∴（A＋E）（A－E）＝0

∴r（A＋E）＋r（A－E）≤n

r[（A﹢E）＋（E－A）]＝r2E＝n≤r（A＋E）＋r（E－A）＝r（A＋E）＋r（A－E）

∴r（A＋E）＋r（A－E）＝n

29.证:

（1）①当rA＝n时|A|≠0

由AA*＝|A|E知|AA*|＝|AE|

|A||A*|＝|A|n，|A*|＝|A|n－1≠0

故A*可rA*＝n

②当rA＝n－1时，|A|≠0且存在一个（n－1）阶的非零子式

从而rA*≥1

∵AA*＝|A|E＝0

∴rA＋rA*≤n

rA*≤n－rA≤1

∴rA*＞1

③当rA＝n时知A的所有（n－1）阶子式为零

∴A*＝0

（2）∵当rA＝n时

（1）中已证当rA＝n－1时rA*＝1

∴|A|＝0

∴|A*|＝|A|n－1＝0成立

又∵当rA＜n－1时，由

（1）中③知|A|＝0

∴|A*|＝|A|n－1亦成立。

第四章

1、

（1）是；

（2）、否，因为题中的非零向量可以由不平行于该非零向量的向量通过向量的加法表示出来，所以该非零向量必须也包含在题中的全体向量中才能构成实线性空间。

（3）是

（4）是

（5）否，k0＝0的解为k＝0或＝0，k与不具有任意性不满足线性空间的定义。

2、

（1）能

（2）不能

（1）中由x1＋x2＋……＋xn＝0－x1－x2－…－xn－1＝xn得任意一个向量都可以用其余的向量线性表示

而

（2）中x1＋x2＋……＋xn＝1x1＋x2＋……＋xn－1＝1－xn不满足

（1）中的线性关系，∴不能构成Rn的子空间

3、当平面不过原点时，否

当平面过原点时，是

解析：

当平面过原点时，所有的起点位于原点，终点位于给定平面上的所有向量在一个平面上，构成了一个二维的向量空间，（比如xoy平面上所有的向量），而当给定平面不过原点时，所有的向量构成一个体（体分布），是次三维空间中所有向量的一部分，不是闭合的，不能构成子空间。

第四章

P139

4.解

（1）假设存在，使得+=0

要使上式对任意的x都成立

则==0

所以，，线性无关

，为极大线性无关组

所以，它们的积为2

（2）因为，=2-1

所以，，，1线性相关

假设存在，使得+=0

则==0

所以，，1线性无关

所以，，1为，，1的一个极大线性无关组

所以，它们的秩为2

（3）假设存在一组数使得

对任意的x都成立

所以，线性无关

它们的秩为n

5证明：

因为，

由上式可得，约

6,证明：

假设存在使得

即

7、由于＝（＋3）

＝（＋）

∴与均可由与线性表示

∴它们分别生产的子空间相同即V1＝V2

8、解：

（1）因为是对称的，.∴维数只取决于对角线和上半（或下半）部分的元素为维

（2）由于反称矩阵，∴维数只取决于上半（或下半）部分元素为维。

（3）由于前两个分量线性相关∴维数为n－1

9、证明，，，组成的一个基，只需证这几个向量在同一个基下的坐标作为行或列的n阶行列式不为0

对于

（1）即证≠0对于

（2）即证或

求在这个基下的坐标。

（1）设（x1x2x3x4）

（1211）＝x1（1，1,1,1）＋x2（1,1，-1，-1）＋x3（1,-1,1,1,）＋x4（1，-1，-1,1）

∴x1＝x2＝x3＝－x4＝－

∴坐标为﹙，，－，－）

（2）设（x1x2x3x4）

（1211）＝x1（1，1,0,1）＋x2（2,1，3，1）＋x3（1,1,0,0,）＋x4（0，1，-1,-1）。

∴x1＝2x2＝1x3＝-3x4＝2

∴坐标为（2,1，-3,2）

10．

（1）

∵[1,x,x²,x³,x4][1，1＋x，1＋x＋x²，1＋x＋x²＋x³，1＋1＋x＋x²＋x³＋x4]

∴旧基底到新基底的过渡矩阵M＝

（2）令：

1＋2x＋3x²＋4x³＋5

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