初中平方差公式文档格式.docx

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（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

（2）右边是乘式中两项的平方差：

即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应

注意：

①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式

②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。

[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±

b）2=a2±

2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。

利用这两个公式计算

（1）（x+5）2 

（2）（2-y）2 

（3）（3a+2b）2 

（5）（-a+2b）2

在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。

（1）（x+5）2=x2+2·

x·

5+52=x2+10x+25

（2）（2-y）2=22-2·

2·

y+y2=4-4y+y2

（3）（3a+2b）2=（3a）2+2·

3a·

2b+（2b）2=9a2+12ab+4b2

（5）（-a+2b）2=（-a）2+2·

（-a）·

2b+（2b）2=a2-4ab+4b2

1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2、这两个公式的结构特征是：

左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。

3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。

4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±

b2这样的错误。

[例3]计算（a+b）（a2-ab+b2）和（a-b）（a2+ab+b2），可知

（a+b）（a2-ab+b2）=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,

（a-b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即

（a±

b）（a2

ab+b2）=a3±

b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：

（1）（x+2）（x2-2x+4）;

（2）（3-y）（9+3y+y2）;

（3）（3x-4y）（9x2+12xy+16y2）;

（5）（3x2-2y2）（9x4+6x2y2+4y4）

先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最后再代入公式计算。

（1）（x+2）（x2-2x+4）=（x+2）（x2-x·

2+22）=x3+23=x3+8

（2）（3-y）（9+3y+y2）=（3-y）（32+3·

y+y2）=33-y3=27-y3

（3）（3x-4y）（9x2+12xy+16y2）=（3x-4y）[（3x）2+3x·

4y+（4y2）]=（3x）3-（4y）3=27x3-64y3

（5）（3x2-2y2）（9x4+6x2y2+4y4）=（3x2-2y2）[（3x2）2+3x2·

2y2+（2y2）2]

=（3x2）3-（2y2）3=27x6-8y6

1、注意对公式的理解和记忆

（1）项数特征：

两项乘三项→积为二项，

（2）符号特征：

二项的因式若两项都为"

+"

，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"

，"

-"

，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"

立方和"

还是两数的"

立方差"

，主要看乘积中第一个乘式是"

两数和"

，还是"

两数差"

。

2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。

第二阶梯

[例1]利用乘法公式计算：

（1）（x+3）（x-3）（x2+9） 

（2）（a+b）（a-b）（a2-b2）

（3）（x-2）（x+2）（x4+4x2+16） 

（4）（a-b）（a2+ab+b2）（a6+a3b3+b6）

（1）小题可两次使用平方差公式；

（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；

（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式

（4）小题两次使用立方差公式。

（1）（x+3）（x-3）（x2+9）=（x2-9）（x2+9）=（x2）2-92=x4-81

（2）（a+b）（a-b）（a2-b2）=（a2-b2）（a2-b2）=（a2-b2）2=（a2）2-2a2b2+（b2）2=a4-2a2b2+b4

（3）（x-2）（x+2）（x4+4x2+16）=（x2-4）（x4+4x2+16）=（x2）3-43=x6-64

（4）（a-b）（a2+ab+b2）（a6+a3b3+b6）=（a3-b3）（a6+a3b3+b6）=（a3）3-（b3）3=a9-b9

遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。

[例2]运用乘法公式计算：

（1）（a+b+c）（a-b-c） 

（2）（a-2b+3c）（a+2b-3c）

（3）（x+2y+z）2 

（4）（2x-3y-4z）2

（1）

（2）小题可利用平方差公式进行计算；

（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。

（1）（a+b+c）（a-b-c）=[a+（b+c）][a-（b+c）]=a2-（b+c）2=a2-（b2+2bc+c2）

=a2-b2-2bc-c2

（2）（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2

=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2-12bc-9c2

（3）（x+2y+z）2=[x+（2y+z）]2=x2+2x（2y+z）+（2y+z）2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2

（4）（2x-3y-4z）2=[2x-（3y+4z）]2=（2x）2-2·

2x·

（3y+4z）+（13y+4z）2

=4x2-4x（3y+4z）+（19y2+24yz+16z2）=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2

进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。

适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加括号为[（2x-3y）-4z]2，但得出的结果均相同。

[例3]利用乘法公式计算：

（1）（x+1）（x-1）（x2+x+1）（x2-x+1）

（2）（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）

（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式

（2）小题类似。

（1）解法一：

（x+1）（x-1）（x2+x+1）（x2-x+1）

=（x2-1）[（x2+1）2-x2]

=（x2-1）（x4+2x2+1-x2）

=（x2-1）（x4+x2+1）

=（x2-1）[（x2）2+x2-1+12]

=（x2）3-13

=x6-1

解法二：

=[（x+1）（x2-x+1）[（x-1）（x2+x+1）]

=（x3+1）（x3-1）

=（x3）2-12

（2）解法一：

（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）

=（a2-b2）[（a2+b2）2-（ab）2]

=（a2-b2）（a4+2a2b2+b4-a2b2）

=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）

=（a2）3-（b2）3

=a6-b6

=[（a+b）（a2-ab+b2）][（a-b）（a2+ab+b2）]

=（a3+b3）（a3-b3）

=（a3）2-（b3）2

=a6-b6

进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易出错。

第三阶梯

[例1]

（1）化简化求值：

（x+2）（x2-2x+4）+（x-1）（x2+x+1），其中

（2）解方程：

（2x+1）2-（x+1）（x-1）-3x（x-1）=0

用乘法公式进行化简

（1）（x+2）（x2-2x+4）+（x-1）（x2+x+1）

=x3+8+x3-1

=2x3+7

当

时，

（2）（2x+1）2-（x+1）（x-1）-3x（x-1）=0

解：

（4x2+4x+1）-（x2-1）-3x2+3x=0

4x2+4+1-x2+1-3x2+3x=0

7x=-2

在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。

[例2]已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。

（1）a2+b2 

（2）a2-ab+b2 

（3）（a-b）2 

（4）a3+b3

由完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=（a+b）2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值，再分别代入

（2），（3），（4），可求出

（2），（3），（4）式的值。

注意，第（4）小题应逆用立方和公式。

（1）a2+b2=（a+b2）-2ab=32-2×

（-8）=9+16=25

（2）a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-（-8）=25+8=33

（3）（a-b）2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2×

（-8）=25+16=41

（4）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）（a2+b2-ab）=3×

[25-（-8）]=3×

33=99

灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。

[例3]若两个连续自然数的平方差是17，求这两个自然数的和？

设一个自然数为x,另一个自然数为x+1，根据题意，列出方程，求出这两个自然数，进而求出它们的和

设这两个连续自然数是x,x+1

根据题意得，

（x+1）2-x2=17

x2+2x+1-x2=17

2x+1=17

2x=16

x=8

∴x+1=8+1=9

∴x+（x+1）=8+9=17

答：

这两个自然数的和是17。

解方程时还可逆用平方差公式（x+1）2-x2=（x+1+x）（x+1-x）=2x+1

四、检测题

A组

选择题

1．下列各式能用平方差公式进行计算的是（）

A.（a+2）（-a-2）

B.（-x-y）（y-x）

C.

D.（2x+y）（x-2y）

2．若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式，则m的值为（）

A.36 

B.72 

C.-72 

D.±

72

3．a3-27b3的一个因式是（）

A.a2+3ab+9b2

B.a2+3ab+9b2

C.a2-3ab+b2

D.a2-3ab+b2

4．若x+y=9,xy=16，则x2+y2=（）

A.81 

B.17 

C.49 

D.145

填空题

1、（3x+2y）=（ 

）=9x2-4y2

2、（-1+2a）（-1-2a）=（ 

）

3、（0.3x+y）2=（ 

）

4、x2+x+（ 

）=

5、9x2-（ 

）+49y2=（3x-7y）2

6、（2a+3b）（4a2-6ab+9b2）=（ 

7、（ 

）（m4-m2+1）=m6+1

8、a2+b2=（a+b）2-（ 

9、（a+b）2=（a-b）2+（）

10、（p2-q）（ 

）=p6-q3

B组

1、计算：

（1）（x+2）（x-2）（x2+4）

（2）（x-y+1）（x+y-1）

（3）（a+b+c）2

（4）（x+3）（x-3）（x2-3x+9）（x2+3x+9）

（5）

（6）2022

2、化简求值：

3、解方程：

4（x-3）2-（2x+1）2=（3x+1）（1-3x）+9x2

4、

答案：

A组答案：

选择题 

1、B 

2、D 

3、A 

4、C

填空题 

1、3x-2y；

2、1-4a2；

3、0.09x2+0.6xy+y2；

；

5、42xy；

6、8a3+27b3；

7、m2+1；

8、2ab；

9、4ab；

10、p4+p2q+q2

B组答案：

1、

（1）x4-16 

（2）x2-y2+2y-1 

（3）a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc 

（4）x6-729 

（6）40804

2、-39；

3、

4、