初中数学函数图像与性质的教学研究Word格式.docx
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3．反比例函数的图象，反比例函数的单调性，图象的对称性；
4．二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称性，单调性，最大值与最小值．
教学难点：
1．函数解析式中的参数与图象变换之间的关系；
2．用函数图象解决方程、不等式的问题；
3．函数的单调性及在求最大（小）值、比较大小中的应用；
4．与函数图象有关的面积问题；
5．实际问题的函数关系及函数图象．
二、函数图象与性质的教学策略
（一）怎样进行函数图象与性质教学引入的设计
让学生掌握正比例函数与一次函数解析式的特点及意义，知道一次函数与正比例函数关系，会用简单方法画一次函数图象，理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．
例1，画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象．并比较两个函数图象，探究他们的联系及解释原因．
列表——描点——连线．
引导学生从图象形状，倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象，从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现．
比较两个函数的图象的相同点与不同点．
结论：
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；
当b＜0时，向下平移）．
通过活动，可以让学生加深对一次函数与正比例函数关系的理解，认清一次函数图象特征与解析式联系规律．
例2，画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象．由它们联想：
一次函数解析式y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？
通过活动，熟悉一次函数图象画法．经历观察发现图象的规律，并根据它归纳总结出关于数值大小的性质．体会数形结合的探究方法在数学中的重要性，进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系．
引导学生从函数图象特征入手，寻求变量数值变化规律与解析式中k值的联系．
发现性质：
形的角度：
当k>
0时，直线y=kx+b由左至右上升；
当k<
0时，直线y=kx+b由左至右下降．
数的角度：
0时，y随x增大而增大；
0时，y随x增大而减小．
2．反比例函数的图象与性质
让学生会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．
例1．我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，那么反比例函数y=
（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？
要求学生用描点法来画出反比例函数的图象．
画出反比例函数y=
和y=-
的图象．
解：
列表
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
y=
-1.5
y=-
1.2
（请把表中空白处填好）
描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．
连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．
探究：
反比例函数y=
的图象有什么共同特征？
它们之间有什么关系？
若把y=
的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．
的图象的共同特征：
（1）它们都由两条曲线组成；
（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）；
（3）反比例函数的图象属于双曲线．
此外，y=
的图象和y=-
的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．
（4）y=
的图象和y=-
的图象关于原点对称，也关于直线y=x,y=-x对称．
例3，在平面直角坐标系中画出反比例函数y=
的图象．
解析：
由y=
的图象及y=
的图象知道，
（1）它们有什么共同特征和不同点？
（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？
猜想：
（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？
在每一个象限内，y随x的变化情况如何？
它可能与坐标轴相交吗？
（1）反比例函数y=
（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．
（2）当k>
0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小．
（3）当k<
0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大．
3．二次函数的图象与性质
二次函数图象是二次函数的重点内容，它的的图象是性质的直观体现，函数图象是函数的直观表示，图象法也是表示函数的基本方法．函数图象对于了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，要使学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题．
函数图象的特征是函数性质的几何体现，教科书通过变换的观点，强调变与不变的辨证关系，重点是同一坐标系中具有相同二次项系数的二次函数图象间的位置
关系的变换规律．利用配方法研究二次函数解析式与二次函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标之间的关系，使学生认识二次函数的本质．
活动1：
用描点法画出二次函数y=x2和y=-x2的图象
（1）填空：
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
（2）在同一坐标系内，抛物线y=x2和抛物线y=-x2的位置有什么关系？
如果在同一个坐标系内画二次函数y=ax2（a>
0）和y=-ax2（a>
0）的图象怎样画更简便？
抛物线y=x2与抛物线y=-x2关于x轴对称，只要画出y=ax2（a>
0）中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画．
从而探究二次函数y=ax2（a≠0）的图象性质：
二次函数的y=ax2图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴．对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点．注意：
顶点不是与y轴的交点．
当a>
0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图象在x轴的上方（除顶点外）；
当a<
0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图象在x轴的下方（除顶点外）．
活动2：
画出函数
，
的图象
通过上述图象探究二次函数y=ax2和y=a（x+m）2图象之间的关系．
总结二次函数y=a（x+m）2的图象和性质.
y=ax2（a≠0）的图象向左或向右平移|m|个单位可得到函数y=a（x+m）2的图象，顶点坐标是（-m,0）,对称轴是直线x=-m．
活动3：
画出二次函数
探究二次函数
和
图象之间的关系．
（
）的图象向左或向右平移|m|个单位可得到函数
的图象，再向上或向下平移|k|个单位得到
的图象的对称轴是直线x=-m，顶点坐标是（-m，k）．
（m左加右减k上加下减）
活动4：
探索二次函数
的图象特征．
=
由此可见函数
的图象与函数
的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到．
二次函数
的图象特征：
（1）二次函数
（a≠0）的图象是一条抛物线；
（2）对称轴是直线x=
，顶点坐标是为（
）；
（3）当a>
0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；
0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点．
（二）怎样进行函数图象与性质概念的教学
函数是两个变量之间的一种对应关系：
对于每一个x，都有唯一的y与它对应．函数的图象体现的是数形结合的数学思想，体现了点与数的一一对应．图象是从形的角度来说的，而性质是从数的角度来说．通过图象能直观的反映两个变量之间的关系，通过图象也能够直观的发现函数的性质，比如单调性、最大值最小值、对称性等．通过函数的性质也能够画出函数的大致图象，给人以更加直观的印象．
1．认识函数的图象，会通过函数的概念判断函数的图象
要让学生学会认识图象，理解函数的概念，理解函数图象的意义，会对实际生活中的例子用两变量之间关系的图象，初步认识函数与图象的对应关系，学会观察图象、识别图象及理解图象所表示的含义，了解图象的意义及其与实际问题之间的关系和区别．学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象．渗透数形结合思想，体会到数学来源于生活，又应用于生活．
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
例1．下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家.其中x表示时间，y表示小名离家的距离.
根据图象回答问题：
（1）菜地离小明家多远？
小明走到菜地用了多少时间？
（2）小明给菜地浇水用了多少时间？
菜地离玉米地多远？
（3）小明从菜地到玉米地用了多少时间？
（4）小明给玉米锄草用了多少时间？
玉米地离小名家多远？
（5）小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
本例给出了路程与时间的函数图象，教学中注意引导学生学会从图象中获取基本信息，进一步理解函数图象的概念及作用．
例2．下面图象分别给出了变量x与y之间的对应关系，哪个图象反映的是y与x的函数关系．
函数是一种特殊的对应关系，要求的是自变量的任意性，因变量的存在性和唯一性．教师在讲解本例时要强调函数概念中特殊的对应关系：
对于每一个x，都有唯一的y与它对应．
2．函数的图象和性质有何联系？
前面我们研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质，让我们共同回顾一下函数的图象与性质有何联系?
函数的图象和性质是从“形”和“数”两个不同的角度来研究函数变化规律的．研究函数的性质常借助于图象，而函数的图象则是函数性质的直观体现．因此，二者总是密不可分的．主要体现在以下几个方面：
（1）自变量、函数值与图象上点的坐标间的关系．
在函数自变量取值范围内任取一个值x，根据函数的定义，有惟一确定的y值与之对应，可以描出函数图象上一个点（x，y）；
反过来，在函数图象上任取一点（x，y），那么横坐标x是函数自变量范围内的一个值，y是对应的函数值．因此，我们不仅能根据自变量与函数值的对应关系，画出函数的图象，而且还能利用函数图象上点的坐标，求出相应的自变量与函数值．
函数图象上所有点的横坐标的全体就是函数自变量的取值范围，所有点的纵坐标的全体就是函数值的全体．
（2）自变量、函数值的变化范围与函数图象的位置关系．
自变量、函数值的变化范围直接影响着函数图象在坐标平面中的位置．
当自变量x>
0，函数值y>
0时，则图象在第一象限；
若图象经过第三象限，则说明此时自变量与函数值均取负值．如果图象或它的一部分在x轴的上方，表示此时的函数值为正；
如果图象或它的一部分在x轴的下方，表示此时的函数值为负．图象与x轴交点的横坐标，表示当自变量等于这个值时，函数值为0；
图象与y轴交点的纵坐标，表示当自变量等于0时对应的函数值．图象经过原点，表示自变量等于0时，函数值也等于0．
（3）函数的增减性与函数图象的升降关系．
如果函数值y在某一变化范围内，随着x的增大而增大，表示函数的图象在这个变化范围内自左向右是上升的；
如果函数值y在某一变化范围内，随着自变量x的增大而减小，表示函数的图象在这个变化范围内自左向右是下降的．
函数的增减性是一个局部概念，可以在自变量的整个取值范围内考虑，也可以在自变量某一个较小的变化范围内考虑．反映在图象上，可以观察整个图象的升降情况，也可以观察某一段图象的升降情况．只要函数的某段图象是上升的，就说明函数在这一段图象所对应的自变量变化范围内，y随x的增大而增大；
只要函数的某段图象是下降的，就说明函数在这段图象所对应的自变量变化范围内，y随x的增大而减小．
（4）函数的最大值、最小值与函数图象上最高点、最低点间的关系．
如果函数图象有最高点，那么最高点的纵坐标就是这个函数的最大值，最高点的横坐标就是函数达到最大值时的自变量的值．
如果函数图象有最低点，那么最低点的纵坐标就是这个函数的最小值，最低点的横坐标就是函数达到最小值时的自变量的值．
如果函数图象无最高点也无最低点，那么这个函数就既没有最大值也没有最小值．
如抛物线
上的最低点是（1，3），则函数
当x＝1时达到最小值3．
上的最高点是
则函数
时达到最大值
直线y=2x-1的图象既无最高点又无最低点，所以函数y=2x-1既无最大值也无最小值．
要注意，函数是否有最大值和最小值，是在自变量的整个取值范围内考虑的．最值问题是一个整体概念，要观察整个图象是否存在最高点和最低点．
例右图所示的是某个函数的图象．根据图象分析函数的单调性及最大值最小值．
教师在讲解时要引导学生去观察图象变化趋势，从而得出结论：
函数不存在最大值，也不存在最小值．这是因为函数的图象在第一象限向上方无限延伸，在第三象限向下方无限延伸，无最高点也无最低点．有的同学可能认为点（1，1）是图象的最高点，点（3，－1）是图象的最低点，这是错误的．
但是，函数的增减性是存在的．因为函数的增减性不必在自变量的整个变化范围内考虑．由图象知：
当x≤1或者x≥3时，图象是上升的．说明函数分别在这两个范围内，y随x的增大而增大；
当1≤x≤3时，图象是下降的，说明函数在这个范围内，y随x的增大而减小．
有关函数的图象和性质，在初中阶段只是做一初步了解，更高层次的讨论，有待于在高中阶段进行．
（三）怎样突破函数图象与性质教学中的难点
1．函数图象的变换与解析式变化之间的关系：
随着函数解析式的形式或其中系数的变化，函数的图象随之会发生变化．例如一次函数中的k,b，反比例函数中的k，二次函数中的a,b,c等．
例1．若反比例函数
，当x>
0，y随x的增大而增大，则一次函数y=kx－k的图象经过第几象限（）
A、一、二、三
B、一、二、四
C、一、三、四
D、二、三、四
讲解本题时，要引导学生入手点，需要抓住什么量去思考？
根据题的条件可知要判断y=kx-k的位置，需知道k的符号，由已知
当x>
0时，y随x的增大而增大，所以k<
0．这里要讲解清楚反比例函数的增减性要注意分象限考虑的.
∴一次函数y=kx-k的图象过一、二、四，故选B．
例2．在图中，函数y=－ax2与y=ax+b的图象可能是（）
这是非常典型的问题，教师可以引导学生思考两个函数的联系，让学生思考在同一坐标系中两个图象的关系，通过系数a来联系两个函数．通过本例，可以让学生更加理解一次函数和二次函数解析式中参数的作用．
例3．如下图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=（m－1）x与反比例函数
的图象的大体位置不可能是（）
要判断直线和双曲线的位置关系，借助于它们的字母系数的符号，如何对字母系数进行讨论给予学生方法上的指导，本题要对字母系数m-1与4m的符号进行讨论，进而选择合理答案，而本题选择了排除法解决，这也是解决选择题常用的方法.
因不确定其符号，所以分两种情况进行讨论，当m-1>
0时，4m>
0，故A对，D不对；
当m-1<
0又有两种情况：
0<
m<
1或m<
0，而前者又4m>
0，故B对，后者又4m<
0，故C对．
2．函数的变化趋势（单调性）
函数的变化趋势，即单调性，只是在初中我们没有提及单调性的概念．函数的变化趋势在求最大（小）值，比较函数值的大小，判断函数图象等方面起着关键的作用．
例1．如下图是反比例函数
的图象的一支，根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？
常数m的取值范围是什么
（2）如图的图象上任取点A（a,b）和点B（a′,b′），如果a>
a′，那么b和b′有怎样的大小关系？
问题
（1）需要教师交代清反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者分布在第二、四象限.由条件知这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．因此这个函数的图象分布在第一、三象限，可以引导学生利用所学过的不等式的知识可以求出m的取值范围，即m－5>
0，解得m>
5．
问题
（2）的讲解，要交给学生由图看数的方法，即由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y随x的增大而减小．所以当a>
a′时，b<
b′．
例2．设0＜k＜1，且k为常数，自变量为x的一次函数
，当1≤x≤2时的最大值是k．
教师在教学中注意给学生分析清楚，此题不要盲目的把x=2代进去求值．
因为最大值与最小值在何时取得，与函数的单调性息息相关．而一次函数的单调性与x的一次项系数有关，所以解决本题的关键是先整理一次函数的解析式，得到一次项系数，并判断其正负，确定单调性，就可以知道最大值在哪里取得．让学生理解两者的关系，
例3．若点
是二次函数
的图象上的三点，则
的大小关系是
.
同例2教师在教学中注意给学生分析清楚，此题不要盲目的把x代进去求值．
因为二次函数的函数值的比较大小，可以通过对称性把自变量放在对称轴的同一侧，再使用增减性进行比较；
也可以根据点到对称轴的距离来确定，开口向下，离对称轴越远，则函数值越小，结合图象让学生理解．
（四）怎样分析函数图象与性质同相关知识的联系及解题策略
1．结合函数图象求多边形的面积
求与函数图象有关的多边形的面积是常见的问题，关键是如何确定三角形的底或高，如何把不规则的多边形分割成一些面积比较好求的三角形或四边形．尤其是反比例函数图象中的三角形和矩形面积的不变性，也就是面积与反比例系数的关系，应该让学生灵活掌握．
例1．如图，过反比例函数
（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小
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