考研数学三真题与答案文档格式.docx
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由于
所以曲线有斜渐近线，故应选（C）
解法2
考虑曲线与直线纵坐标之差在时的极限
则直线是曲线的一条斜渐近线，故应选（C）
综上所述，本题正确答案是（C）
【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线
（3）设当时，若是比高阶的无穷小，则下列选项中错误的是
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D。
【解析】
【方法1】
当时，知，的泰勒公式为
又
则
【方法2】
显然，
由上式可知，,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。
故
综上所述，本题正确答案是（D）。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较
（4）设函数具有二阶导数，,则在区间[0,1]上
（A）当时，
（B）当时，
（C）当时，
（D）当时，
由于则直线过点和（）,当时，曲线在区间[0,1]上是凹的，曲线应位于过两个端点和的弦的下方，即
令,则
,
当时，。
则曲线，又，
从而，当时，,即
【方法3】
令,
则,
=
当时,单调增，，从而，当时，,即
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明
（5）行列式
【答案】B。
【解析】灵活使用拉普拉斯公式
==
综上所述，本题正确答案是（B）
【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算
（6）设均为三维向量，则对任意常数,向量组
线性无关是向量组线性无关的
（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件
（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件
【答案】A。
记，则
若线性无关，则是3阶可逆矩阵，
故,即线性无关。
反之，设线性无关，，则对于则对任意常数,向量组线性无关，但线性相关，
所以线性无关是向量组线性无关的必要非充分条件。
综上所述，本题正确答案是（A）。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关
（7）设随机事件与相互独立，且,则
（A）0.1（B）0.2
（C）0.3（D）0.4
【答案】B。
【解析】，独立，则独立，也独立,而,可用独立性来计算。
可得
综上所述，本题正确答案是（B）。
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件关系，概率性质和五大公式
（8）设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为
（A）（B）
，所以
，
与相互独立，故与也独立。
所以,而
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。
（9）设某商品的需求函数为（为商品的价格），则该商品的边际收益为。
【答案】
【解析】由题设知收益函数为,则边际收益为
【考点】高等数学—一元函数微分学—一元微分在经济中的应用
（10）设是由曲线与直线及围成的有界区域，则的面积为。
曲线与直线及围成的有界区域如下图，则的面积为
【方法2】
用二重积分计算面积，即
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用
（11）设,则。
【答案】。
可知，则
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算
（12）二次积分=。
二次积分的积分区域为
交换积分次序得
【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系
（13）设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是。
由配方法
负惯性指数为1，故，解得
【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形
（14）设总体的概率密度为
其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，若
则。
解得
三、解答题：
小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）求极限
（等价无穷小代换）
（洛必达法则）
（变量代换）
（泰勒公式）
【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限，常见等价无穷小，常见函数泰勒公式展开
（16）设平面内区域,计算
【方法1】令,
又令）
所以
显然积分区域D关于有轮换对称性，于是
=
=
【考点】高等数学—二重积分—利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分
（17）设函数具有连续导数，且满足
若,求的表达式。
利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程。
因为
因此化为
从而函数满足方程
一阶线性非齐次微分方程
可得方程通解为
由,解得
故
【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数，一阶线性非齐次微分方程求解
（18）求幂级数的收敛域及和函数
因为几何级数,且收敛域为
又
由幂级数的逐项求导性质知的收敛域为，和函数
幂级数的系数,又
所以收敛半径
当时，发散；
当时，发散；
故收敛域为
设则
故和函数
【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的和
（19）设函数在区间上连续，且单调增加，。
证明：
（I）
（II）.
（Ⅰ）由得
得；
（Ⅱ）令
显然,只要证明且,
由（Ⅰ）的结论知，即
又单调增加，则,因此，
.
故.
【考点】高等数学—一元函数积分学—与定积分有关的证明题
（20）设，为三阶单位矩阵
（I）求方程组的一个基础解系；
（II）求满足的所有矩阵。
（Ⅰ）对矩阵做初等行变换，得
因,令求出
故基础解系为
（Ⅱ）考察3个非齐次线性方程组
由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令做初等行变换
由此得三个方程组的通解：
故所求矩阵为,为任意常数。
【考点】高等数学—线性方程组—非齐次方程组的求解
（21）证明阶矩阵与相似
记
因为是实对称矩阵必与对角矩阵相似
由,知的特征值为。
故
又由,知的特征值为。
当时，那么,即齐次方程组有个线性无关的解，亦即时，矩阵有个线性无关的特征向量，从而矩阵必有对角矩阵相似，即
从而和相似。
【考点】高等数学—特征值与特征向量—相似与相似对角化
（22）设随机变量的概率密度为
对进行独立重复的观测，直到第二个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数
（I）求的概率分布
（II）求
（Ⅰ）令{对进行一个观测得到的值大于3}。
显然,
记事件发生的概率
的可能取值应为,
所以的分布为
（Ⅱ）
记
【考点】高等数学—随机变量的数字特征—数学期望
（23）设随机变量的概率分布相同，的概率分布为,
，且的相关系数
（I）求的概率分布；
XY
1
c
b
d
解得
由此可得
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—概率分布，相关系数
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