九年级动点问题题型方法归纳Word文档格式.docx

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九年级动点问题题型方法归纳Word文档格式.docx

沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的

速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时

间为t（s）（0t2），连结EF，当t为何值

时，△BEF为直角三角形．

注意：

第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线

ya（x

1）2

33（a

0）

经过点

A（2，0）

，抛物线的顶点为

D，过O作射

线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运

动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形

DAOP分别为平行四边形？

直角梯形？

等

腰梯形？

（3）若OCOB，动点P和动点Q分别

从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长

度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO

运动，当其中一个点停止运动时另一个点也

随之停止运动．设它们的运动的时间为

t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形

BCPQ的面积最小？

并求出最小值及此时

PQ的长．

发现并充分运用特殊角∠

DAB=60°

当△OPQ面积最大时，四边形

BCPQ

的面积最小。

二、

特殊四边形边上动点

4、（20XX年吉林省）如图所示，菱形ABCD

的边长为

6厘米，

60°

．从初始时刻

开始，点P、Q同时从

A点出发，点P以

1厘米/秒的速度沿

CB的方向运

动，点Q以2

厘米/秒的速度沿

D的方向运动，当点Q运

动到

D点时，

P、Q两点同时停止运动，

设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与

△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这

．．．．

里规定：

点和线段是面积为O的三角形），

解答下列问题：

（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是

秒；

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，

当△APQ是等边三角形时x的值是

（3）求y与x之间的函数关系式．

第（3）

问按点Q到拐点时间B、C所有

时间分段分类

；

提醒-----

高相等的两

个三角形面积比等于底边的比

。

5、（20XX年哈尔滨）如图1，在平面直角

坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO

是菱形，点A的坐标为（3，4），点C在

x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，

AB边交y轴于点H．

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S

（S0），点P的运动时间为t秒，求S与

t之间的函数关系式（要求写出自变量t的

取值范围）；

（3）在

（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB

与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直

线AC所夹锐角的正切值．

AHB

图

（1）

图

（2）

第（

2）问按点P到拐点B所用时间

分段分类；

第（3）问发现∠MBC=90°

，∠BCO与

∠ABM互余，画出点P运动过程中，

∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。

利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.

6、（20XX年温州）如图，在平面直角坐标系

中，点A（3，0），B（33，2），C（0，2）．动

点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC

向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位

的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过

点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．

（1）求∠ABC的度数；

（2）当t为何值时，AB∥DF；

（3）设四边形AEFD的面积为S．①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y=x+mx经过动点E，当

3时，求

m的取值范围

（写出答案即

可）．

发现特殊性，DE∥OA

7、（07黄冈）已知：

如图，在平面直角坐

标系中，四边形ABCO是菱形，且

∠AOC=60°

，点B的坐标是（0,8

3），点

P从点C开始以每秒

1个单位长度的速度在

线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O

开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度

沿射线OA方向移动，设t（0

8）秒后，

直线PQ交OB于点D.

（1）求∠AOB的度数及线段

OA的长；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析

式；

（3）当a3,OD

43时，求t的值及

此时直线PQ的解析式；

（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶

点的三角形与OAB相似？

当a为何值

时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB

不相似？

请给出你的结论，并加以证明.

8（、08黄冈）已知：

如图，在直角梯形COAB

中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角

坐标系，A，B，C三点的坐标分别为

A（8，0，）B（8，1，0）C，（0，4点D为线段

BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1

个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，

移动的时间为t秒．

（1）求直线BC的解析式；

（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB

面积的2？

（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

（4）当动点P在线段AB上移动时，能否

在线段OA上找到一点Q，使四边形

CQPD为矩形？

请求出此时动点P的坐

标；

若不能，请说明理由．

OPAxOAx

（此题备用）

9、（09年黄冈市）如图,在平面直角坐标系

xoy中,抛物线y

1x2

4x10与x轴

的交点为点A,与y轴的交点为点B.

过点B

作x轴的平行线

BC,交抛物线于点

C,连结

AC．现有两动点

P,Q分别从O,C两点同时

出发,点P以每秒

4个单位的速度沿

OA向

终点A移动,点Q以每秒

1个单位的速度沿

CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同

时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D

作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t（单位:

秒）

（1）求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

（2）当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?

请写出计算过程;

（3）当0＜t＜9时,△PQF的面积是否总为定

值?

若是,求出此定值,若不是,请说明理由;

（4）当t为何值时,△PQF为等腰三角形?

请写出解答过程．

第（3）问用相似比的代换，

得PF=OA（定值）。

第（4）问按哪两边相等分类讨论

①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.

三、直线上动点

8、（20XX年湖南长沙）如图，二次函数

yax2bxc（a0）的图象与x轴交

于A、B两点，与

y轴相交于点C．连结

AC、BC，A、C两点的坐标分别为

A（3，0）C（0，3）

，且当x

4和x2

、

时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每

秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边

运动，其中一个点到达终点时，另一点也随

之停止运动．当运动时间为t秒时，连结

MN，将△BMN沿MN翻折，B

点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点

P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，二次函数图象的对

称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为

项点的三角形与△ABC相似？

如果存在，

请求出点Q的坐标；

如果不存在，请说明理

由．

AMOBx

第

（2）问发现

特殊角∠CAB=30°

∠CBA=60°

特殊图形四边形BNPM为菱形；

第（3）问注意到△ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；

先画出与△ABC相似的△BNQ，再判断是否在对称轴上。

9、（2009眉山）如图，已知直线y

1x1

与y轴交于点

A，与x轴交于点D，抛物线

c与直线交于A、E两点，与

x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三

角形时，求点P的坐标P。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使

|AMMC|的值最大，求出点M的坐标。

第

（2）问按直角位置分类讨论后画

出图形----①P为直角顶点AE为斜边时，以

AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，②

A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于

点P，③E为直角顶点时，作法同②；

第（3）问，三角形两边之差小于第三

边，那么等于第三边时差值最大。

10、（20XX年兰州）如图①，正方形ABCD

中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），

点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标

x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函

数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时

的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在

（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿

A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，

若能，写出所有符合条件的t的值；

若不能，

请说明理由．

第（4）问按点P分别在AB、BC、CD

边上分类讨论；

求t值时，灵活运用

等腰三角形“三线合一”。

11、（20XX年北京市）如图，在平面直角坐

标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为

A6,0，B6,0，C0,43，延长

AC到点D,使CD=1AC,过点D作DE∥AB

交BC的延长线于点E.

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别

连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将

四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，

确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线

ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到

达G点，再沿GA到达A点，若P点在y

轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度

的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。

（要求：

简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

第（２）问，平分周长时，直线过菱

形的中心；

第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离

加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；

发现（２）

中直线与ｘ轴夹角为６０°

.见“最短路线

问题”专题。

12、（20XX年上海市）

ADAD

（Q）

图1

图2

已知∠ABC=90°

，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且

满足PQAD（如图1所示）．

PCAB

（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图

2所示），求线段PC的长；

（2）在图8中，联结AP．当AD3，且点

在线段

AB上时，设点

B、Q

之间的距离为

S△APQ

y，其中S△APQ

表示△APQ的面

x，

S△PBC

积，△

表示△PBC的面积，求y关于x

SPBC

的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD

AB，且点Q在线段AB的延

长线上时（如图3所示），求QPC的大小．

第

（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范

围。

当PC⊥BD时，点Q、B重合，x获得最小值；

当P与D重合时，x获得最大值。

第（3）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；

或者用同一法；

或者证∠BQP＝∠BCP，得B、Q、C、P四点共圆也可求解。

CBC

图3

13、（08宜昌）如图，在Rt△ABC中，AB＝

AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作

BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与

AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若

以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，

F恰好分别在边BC，AC上．

（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；

（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的

关系；

（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y

的最小值和最大值．

（第13题）

第（3）问，关键是找到并画出满足

条件时最大、最小图形；

当p运动到使T与

R重合时，PA=TS为最大；

当P与A重合

时，PA最小。

此问与上题中求取值范围类

似。

14、（20XX年河北）如图，在Rt△ABC中，

∠C=90°

，AC=3，AB=5．点P从点C出

发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀

速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿

AC返回；

点Q从点A出发沿AB以每秒1

个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、

Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ

于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、

Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，

点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是

t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，AP=，点Q到AC

的距离是；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求

△APQ的面积S与t的函数关系式；

（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边

形QBED能否成为直角梯形？

若能，求t的

值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．

．．

APC

（３）按哪两边平行分类，按要求画

出图形，再结合图形性质求出t值；

有二种

成立的情形，

ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；

（４）按点P运动方向分类，按要求

画出图形再结合图形性质求出t值；

情形，

ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t时，

ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．

15、（20XX年包头）已知二次函数

yax2bxc（a0）的图象经过点

A（1，0），B（2，0），C（0，2），直线xm

（m2）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线

2）上有一点

（m

（点

E在第四象限），使得E、D、B为顶点的

三角形与以A、O、C为顶点的三角形相

似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在

（2）成立的条件下，抛物线上是否

存在一点F，使得四边形

边形？

若存在，请求出

ABEF为平行四

m的值及四边形

ABEF的面积；

若不存在，请说明理由．

第

（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有

两种情形；

第（3）问，四边形ABEF为平行四边形时，

E、F两点纵坐标相等，且AB=EF，对第

（2）

问中两种情形分别讨论。

四、

抛物线上动点

16、（20XX

年湖北十堰市）如图①，

已知

抛物线

ax2

3（a≠0）与

x轴交

于点A（1，0）和点

点C．

B（－3，0），与

y轴交于

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问

在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰

三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件

的点P的坐标；

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

第

（2）问按等腰三角形顶点位置分

类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①

C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与

对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，

以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂

直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一，先写出面积函数

关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；

方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及

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