9.5方程求根的数值试验.docx
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数值分析实验报告
（二）倪萍（0611080103）
数值分析实验报告
（二）
班级：
06110801姓名：
倪萍学号：
0611080103日期：
2008-12-31
一课题名称：
方程求根的数值试验
二问题：
当用迭代法求方程的根时，我们从开始，并用公式
计算序列，为避免在每步都要计算导数，有人建议在每一步中都用来代替，也有人建议每隔一步计算一次公式中的导数，这个方法由下式给出：
对比以上建议的2种方法，以几个已知其根的简单函数为例，与法作数值比较，打印出每种算法的误差，以检查收敛性，这两种算法的效果如何？
三计算公式以及算法：
（Ⅰ）迭代法：
（1）
（Ⅱ）在每一步中都用来代替
（2）
（Ⅲ）每隔一步计算一次公式中的导数
；（3）
四数据流向图
恰当选择迭代的初始值
给出其导函数
给出已知其根的简单函数
Y
输出结果
判断是否符合精度要求
对上面的是三种算法分别进行迭代
N
五符号引用
标志符
数学符号
类型
个数
入
出
作用
i
整型
不定
迭代次数
X0/y0/z0
实型
不定
＊
初始值、迭代后的值以及最后结果
X1/y1/z1
实型
不定
中间变量
a
实型
1
的值
m
实型
1
的值
六函数说明
实验中选取了两个简单的函数进行了实验，即：
（1）；则
（2）；则
函数分别为对进行迭代法，在每一步中都用来代替，每隔一步计算一次公式中的导数的程序。
函数分别为对进行迭代法，在每一步中都用来代替，每隔一步计算一次公式中的导数的程序。
七流向图
i=0;根据已经选定的X0/y0/z0,赋值给X1/y1/z1
利用公式（3）,计算x0
利用公式
（2）,计算x0
利用公式
（1）,计算x0
（Ⅲ）
（Ⅱ）
（Ⅰ）
输出，结束
输出误差
Y
N
八模块和程序
1.迭代模块
do
{
if（i%2==0）
{a=g1（z0）;}
z1=z0;
z0=z1-g（z1）/a;
i++;
cout<<"x"<"< }
while（fabs（z0-4）>1e-15）;
当迭代次数为偶数时，即i为2的倍数时，计算一次公式的导数的值。
当时，即尚未达精度要求，则需要继续计算，迭代。
2.源程序
#include
#include
#include
floatf（floatx）
{returnx*x-1.0;}//以函数f（x）=x^2-1为例
floatf1（floaty）
{return2.0*y;}//函数f（x）=x^2-1的导数为f'（x）=2*x
floatg（floatm）
{returnsqrt（m）-2.0;}//以函数f（x）=sqrt（x）-2为例
floatg1（floatn）
{return1.0/（2*sqrt（n））;}
voidN（floatx0）//用Newton迭代算法
{
floatx1;
inti=0;
cout<<"迭代初值为:
"<<'\t'<<"x0="< do
{
x1=x0;
x0=x1-f（x1）/f1（x1）;
i++;
cout<<"x"<"< }
while（fabs（x1-x0）>1e-15）;
}
voidN1（floaty0）//导数用f'（x0）来代替
{
floaty1,a;
a=f1（y0）;//计算出f'（x0）的值
inti=0;
cout<<"迭代初值为:
"<<'\t'<<"x0="< cout<<"f'（x0）的值为：
"< do
{
y1=y0;
y0=y1-f（y1）/a;
i++;
cout<<"x"<"< }
while（fabs（y1-y0）>1e-15）;
}
voidN2（floatz0）//每隔一步计算一次导数
{
floatz1,m;
inti=0;
cout<<"迭代初值为:
"<<'\t'<<"x0="< do
{
if（i%2==0）
{m=f1（z0）;}
z1=z0;
z0=z1-f（z1）/m;
i++;
cout<<"x"<"< }
while（fabs（z0-z1）>1e-15）;
}
voidG（floatx0）
{
floatx1;
inti=0;
cout<<"迭代初值为:
"<<'\t'<<"x0="< do
{
x1=x0;
x0=x1-g（x1）/g1（x1）;
i++;
cout<<"x"<"< }
while（fabs（x1-x0）>1e-15）;
}
voidG1（floaty0）
{
floaty1,a;
a=g1（y0）;
inti=0;
cout<<"迭代初值为:
"<<'\t'<<"x0="< cout<<"g'（x0）的值为：
"< do
{
y1=y0;
y0=y1-g（y1）/a;
i++;
cout<<"x"<"< }
while（fabs（y1-y0）>1e-15）;
}
voidG2（floatz0）
{
floatz1,a;
inti=0;
cout<<"迭代初值为:
"<<'\t'<<"x0="< do
{
if（i%2==0）
{a=g1（z0）;}
z1=z0;
z0=z1-g（z1）/a;
i++;
cout<<"x"<"< }
while（fabs（z0-4）>1e-15）;
}
voidmain（void）
{
cout<<"一、以函数f（x）=x^2-1为例，已知其根为1，-1。
"< cout<<"1.1.用Newton迭代算法：
"< N（0.78）;
cout< cout<<"1.2.每一步中都用来代替的算法：
"< N1（0.78）;
cout< cout<<"1.3.每隔一步计算一次公式中的导数的算法：
"< N2（0.78）;
cout< cout<<"二、以函数f（x）=sqrt（x）-2为例，已知其根为4。
"< cout<<"2.1.用Newton迭代算法：
"< G
（2）;
cout< cout<<"2.2.每一步中都用来代替的算法：
"< G1
（2）;
cout< cout<<"2.3.每隔一步计算一次公式中的导数的算法：
"< G2
（2）;
}
注：
函数N，G基本思路、原理是相同的，只是将函数换了而已，方法简单、易懂，但不够简洁，可以考虑重新编程序，将他们用同一个函数表示出来，而调用时的参数不同来加以区分，这样可以简化程序，减少程序的篇幅。
九结果讨论
1.程序运行结果如下：
（1）开始调试程序时所选取的初值，导致迭代发散：
初值为0.15时，采用（Ⅲ）迭代所得根为-1：
（2）下面是改变出始值之后的结果
函数的计算结果
函数的计算结果
2.结果讨论：
从上面两个函数的例子，比较三种算法所得的结果，可以看出来迭代法和方法（Ⅲ）收敛的速度比较快，而（Ⅱ）的收敛速度相对较慢，达到相同精度的迭代次数要远大于其他两种方法（如二中，迭代法和方法（Ⅲ）的次数分别为4、5，而方法（Ⅱ）需要迭代14次）。
八问题思考与总结
通过编写和调试程序，熟悉了迭代法。
程序中，采用了平时所熟悉的do…while循环，使得程序易于理解，但程序的最后一步，即当结果满足误差的范围时，还会多进行一次迭代。
对于第一个函数，开始时初值的选取不合理，造成了程序迭代的次数比较多，甚至还造成了死循环。
分析后知：
这是因为迭代法的局部收敛性，选取了适当的初值，最终得到了正确的结果同时，在选取初值时，我发现，对上面的，对于方法（Ⅲ），选取初值为0.15时，它与根1更接近，但是在迭代过程中，它恰恰收敛到了-1，但如果选取初值0.78，它收敛到了1。
这也进一步说明，迭代时，需要恰当的选取初值，这对结果的影响比较大。
其次，（Ⅱ）中想通过用来代替，以减少计算量，结果导致计算次数的增加，甚至使本来收敛的初值的迭代变得发散，所以方法不可取，而每隔一步计算一次公式中的导数的算法比较容易让人接受。
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