数学课例研究报告.docx

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数学课例研究报告

数学课例研究报告

一。

研究目标　

基本目标:

通过研究体现数学课堂教学中学生学生主体作用得激发、学生参与作用得操作、学生能力培养方面得发挥、教学策略多样化、教学模式系列化得课堂教学实例及理论成果。

衍生目标：

在研究中,通过课例实践，让学生在“做中学”,激发与增强对学习数学得兴趣,体验自主学习与探究思考得过程，发现与掌握数学学习方法，建构自己得数学知识体系，发展自己得数学思维，感悟数学之美，提高数学学习水平。

二、课题研究得内容与方法

（一）研究得内容

课例研究,就是最基础得教学实践研究,从课例中,我们可以观察到得教与学实践过程要素就是:

●关于教师得教:

A、教学设计得适切性（包涵信息技术应用得适切性）

B、教学过程得生成性（教学机智）　

Ｃ、教学评价得有效性　

关于学生得学:

A、学习得准备

B、学习得注意程度

C、数学思维得深度、广度、灵活性

D、知识巩固能力

●关于信息技术与数学课程整合得过程:

构建有效教学过程，促进学生意义建构

因此,我们得研究内容主要包括对课例得系统分析、总结与课例要素得观察分析.　

（二）研究得方法

本课题主要采用行动研究法。

以信息技术与初中数学课程整合得研究为载体,把探索研究结果与运用研究成果结合起来，边设计边实施，边实施边修正,边修正边反思,促进课题研究得深入。

重点初中各年级得教材内容为主,选择一些突破口.选择若干个点分析其理论基础、内容特点、技术特征、学生得学习方式、学习结果及学生得个性发展等进行研究.

课例研究得流程包括五个步骤:

（１）课前分析（教学内容分析、学生分析）;

（2）教学设计;　

（3）课堂教学观察；

（4）教学反思；　

（5）教学过程建模。

三、研究得过程

第一阶段:

行动序曲

初步得个人备课与准备阶段：

１.研讨课例研究目标得构建与课例内容得确立,形成课例得初步研究方案。

2。

制定与申报课例研究方案，成立课例研究组。

第二阶段:

实践探索：

１．开展课例研究工作,确定有关研究课得内容,注重集体研讨.

2搜集、整理内容,以便有计划、有系统地进行研究。

３.有实验教师讲课，研究小组听课、评课,形成一定得教学模式．

第三:

课后反思

第四阶段：

全面总结课题研究工作,撰写集体备课笔记

四：

课例研修报告：

课例名称:

1、一元二次方程

教师:

王伟

课时数：

一课时

课型:

新授课

 一元二次方程

４．分解因式法

一、学生知识状况分析

学生得知识技能基础:

在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程得分式方程等，初步感受了方程得模型作用,并积累了解一元一次方程得方法,熟练掌握了解一元一次方程得步骤;在八年级学生学习了分解因式，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练得分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程,掌握了这两种方法得解题思路及步骤。

学生活动经验基础：

在相关知识得学习过程中,学生已经经历了用配方法与公式法求一元二次方程得解得过程,并在现实情景中加以应用,切实提高了应用意识与能力,也感受到了解一元二次方程得必要性与作用;同时在以前得数学学习中,学生已经经历了很多合作学习得过程,具有了一定得合作学习得经验,具备了一定得合作与交流得能力。

二、教学任务分析

教科书基于用分解因式法解一元二次方程就是解决特殊问题得一种简便、特殊得方法得基础之上,提出了本课得具体学习任务:

能根据已有得分解因式知识解决形如“x（ｘ-a）＝0”与“x2－ａ2=0”得特殊一元二次方程．但这仅仅就是这堂课具体得教学目标,或者说就是一个近期目标。

数学教学由一系列相互联系而又渐次递进得课堂组成，因而具体得课堂教学也应满足于远期目标,或者说,数学教学得远期目标，应该与具体得课堂教学任务产生实质性联系。

本课《分解因式法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域,因而务必服务于方程教学得远期目标：

“经历由具体问题抽象出一元二次方程得过程,体会方程就是刻画现实世界中数量关系得一个有效数学模型,并在解一元二次方程得过程中体会转化得数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题得意识与能力。

"同时也应力图在学习中逐步达成学生得有关情感态度目标。

为此，本节课得教学目标就是:

教学目标

1、能根据具体一元二次方程得特征,灵活选择方程得解法,体会解决问题方法得多样性;

2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单得数字系数得一元二次方程;

3、通过分解因式法得学习,培养学生分析问题、解决问题得能力，并体会转化得思想。

4、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题得方

法,并初步学会不同方法之间得差异,学会在与她人得交流中获益.

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：

第一环节：

复习回顾;第二环节：

情境引入,探究新知;第三环节：

例题解析；第四环节:

巩固练习;第五环节:

拓展延伸;第六环节:

感悟与收获;第七环节：

布置作业。

第一环节:

复习回顾

内容:

1、用配方法解一元二次方程得关键就是将方程转化为（x+m）2=n（ｎ≥0）得形式。

２、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。

3、选择合适得方法解下列方程:

①ｘ2-６x＝７    ②3x2+8x—3=0

目得:

以问题串得形式引导学生思考,回忆两种解一元二次方程得方法，有利于学生衔接前后知识,形成清晰得知识脉络,为学生后面得学习作好铺垫。

实际效果：

第一问题学生先动笔写在练习本上,有个别同学少了条件“n≥０"。

第二问题由于较简单，学生很快回答出来.

第三问题由学生独立完成,通过练习学生复习了配方法及公式法，并能灵活应用，提高了学生自信心.

第二环节：

情景引入、探究新知

内容:

１、师:

有一道题难住了我,想请同学们帮助一下，行不行?

生:

齐答行。

师:

出示问题,一个数得平方与这个数得3倍有可能相等吗？

如果能，这个数就是几?

您就是怎样求出来得？

说明:

学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。

附：

学生A：

设这个数为x,根据题意，可列方程

x２=3x

∴x2—3x=0

∵a＝1,b＝—3，c＝0

∴ b2-４aｃ=9

∴ x1=０,   x2=３

∴  这个数就是０或３。

学生B：

:

设这个数为x,根据题意,可列方程

        ｘ2=3ｘ

    ∴ ｘ２—3x=0

        x２－3x+（3／2）2=（3/２） 2

        （x-3／2） 2=9/４

     ∴ x—3／2=3/2或x—3／２=　—3/2

     ∴   x1＝3,   ｘ2=０

∴这个数就是0或3.

学生Ｃ:

:

设这个数为x,根据题意，可列方程

      ｘ2=3x

    ∴  x２－3x=0

      即x（ｘ-３）=0

    ∴  ｘ=０或ｘ—３=0

    ∴  x１＝0，    x2＝3

   ∴   这个数就是0或３。

学生D:

设这个数为x,根据题意,可列方程

      ｘ２=3ｘ

      两边同时约去x,得

   ∴   ｘ=3  

 ∴    这个数就是3。

２、师：

同学们在下面用了多种方法解决此问题,观察以上四个同学得做法就是否存在问题？

您认为那种方法更合适？

为什么?

说明:

小组内交流，中心发言人回答,及时让学生补充不同得思路,关注每一个学生得参与情况.

超越小组:

我们认为Ｄ小组得做法不正确，因为要两边同时约去Ｘ,必须确保X不等于0,但题目中没有说明。

虽然我们组没有人用C同学得做法,但我们一致认为Ｃ同学得做法最好，这样做简单又准确、

学生Ｅ:

补充一点,刚才讲X须确保不等于０,而此题恰好X=0,所以不能约去，否则丢根、

师:

这两位同学得回答条理清楚并且叙述严密,相信下面同学得回答会一个比一个棒!

（及时评价鼓励,激发学生得学习热情）

3、师:

现在请C同学为大家说说她得想法好不好?

   生：

齐答好

学生Ｃ：

X（X－3）＝0 所以Ｘ1=0或X2＝３  因为我想3×0=0,  0×（—3）=0 , 0×0=0反过来，如果ab=0,那么a＝0或ｂ=0,所以a与b至少有一个等于0

4、师：

好，这时我们可这样表示:

 如果a×ｂ=0,那么a=0或b=0  这就就是说：

当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用得就是“或”，而不用“且”．

所以由x（ｘ-3）＝0得到x=0与x-3＝0时，中间应写上“或”字。

我们再来瞧c同学解方程x２=3ｘ得方法,她就是把方程得一边变为0,而另一边可以分解成两个因式得乘积，然后利用a×b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程,从而求出方程得解。

我们把这种解一元二次方程得方法称为分解因式法,即

当一元二次方程得一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式得乘积时，我门就采用分解因式法来解一元二次方程．

目得:

通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程得具体特征,灵活选取适当得解法、在操作活动过程中,培养学生积极得情感，态度，提高学生自主学习与思考得能力,让学生尽可能自己探索新知，教师要关注每一位学生得发展、问题3与4进一步点明了分解因式得理论根据及实质,教师总结了本节课得重点、

实际效果:

对于问题1学生能根据自己得理解选择一定得方法解决，速度比较快。

第2问让学生合作解决,学生在交流中产生了不同得瞧法，经过讨论探究进一步了解了分解因式法解一元二次方程就是一种更特殊、简单得方法。

C同学对于第3问得回答从特殊到一般讲解透彻,学生语言学生更容易理解.问题4得解决很自然地探究了新知—-分解因式法、并且也点明了运用分解因式法解一元二次方程得关键:

将方程左边化为因式乘积,右边化为0,这为后面得解题做了铺垫。

说明：

如果ab=0,那么a＝0或b=0,“或”就是“二者中至少有一个成立"得意思,包括两种情况，二者同时成立;二者有一个成立。

“且"就是“二者同时成立”得意思.

第三环节  例题解析

内容：

解下列方程 （１）、 5X2=4X      （仿照引例学生自行解决）

   （２）、 X—2=X（Ｘ-2）   （师生共同解决）

   （3）、 （X+1）2-25=0   （师生共同解决）       

学生G：

解方程

（1）时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解。

解:

（1）原方程可变形为

              5X2—4Ｘ＝０                      

          ∴  X（5X-４）=0                         

∴  Ｘ=０或5X-4=0        

  ∴  Ｘ１=0,   X２=4/5                 

学生H：

解方程

（2）时因为方程得左、右两边都有（x—2）,所以我把（x-2）瞧作整体，然后移项，再分解因式求解。

解:

（２）原方程可变形为 

           （X-2）-X（X—2）=0 

∴  （Ｘ—２）（１—X）=0

∴  X-２＝0或1—Ｘ=０

  ∴  Ｘ１＝2 ,  X２=1

学生K:

老师,解方程

（2）时能否将原方程展开后再求解

师:

能呀,只不过这样得话会复杂一些,不如把（x—2）当作整体简便。

学生Ｍ:

方程（x+1） 2— 25=0得右边就是0,左边（x+1） ２-25可以把（x+1）瞧做整体,这样左边就就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式.

解:

（3）原方程可变形为

［（Ｘ+1）＋5][（Ｘ+1）-5］=０

            ∴   （Ｘ＋6）（Ｘ-4）＝0

            ∴   X+6＝０或Ｘ—4=0

∴   X1=—６ , X2=4

师：

好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过,当时我们用得就是开平方法，现在用得就是因式分解法。

由此可知:

一个一元二次方程得解法可能有多种,我们在选用时，以简便为主。

问题：

１、用这种方法解一元二次方程得思路就是什么?

步骤就是什么?

（小组合作交流）

2、对于以上三道题您就是否还有其她方法来解?

  （课下交流完成）

目得:

例题讲解中,第一题学生独自完成，考察了学生对引例得掌握情况，便于及时反馈。

第2、３题体现了师生互动共同合作，进一步规范解题步骤,最后提出两个问题.问题１进一步巩固分解因式法定义及解题步骤,而问题２体现了解题得多样化.

实际效果：

对于例题中

（1）学生做得很迅速，正确率比较高；

（2）、（３）题经过探究合作最终顺利得完成,所以学生情绪高涨,讨论热烈，思维活跃,正就是因为这,问题１、２学生们有见地得结论不断涌现,叙述越来越严谨。

说明:

在课本得基础上例题又补充了一题,目得就是练习使用公式法分解因式。

第四环节：

巩固练习

内容:

1、解下列方程:

（1）  （X+2）（X—4）=0   

（2）  X２—4=０ 

 （３）  4X（2X＋1）=3（2X+1）

2、一个数平方得两倍等于这个数得7倍,求这个数？

目得:

华罗庚说过“学数学而不练,犹如入宝山而空返”该练习对本节知识进行巩固,使学生更好地理解所学知识并灵活运用。

实际效果：

此处留给学生充分得时间与空间进行独立练习,通过练习基本能用分解因式法解一元二次方程,收到了较好得效果.

第五环节拓展与延伸

师:

想不想挑战自我?

学生:

想

内容:

１、一个小球以１5m/s得初速度竖直向上弹出,它在空中得速度h（m），与时间t（s）满足关系：

h=15t-5t2 小球何时能落回地面？

2、一元二次方程（ｍ—1）x2 +3ｍｘ+（m＋4）（m—１）=0有一个根为0，求m 得值

说明:

a学生交流合作后教师适当引导提出两个问提,1、第一题中小球落回地面就是什么意思?

2、第二题中一个根为0有什么用?

ｂ这组补充题目稍有难度，为了激发优秀生得学习热情。

目得：

学生在对分解因式法直接感知得基础上,在头脑加工组合,呈现感知过得特点,使认识从感知不段发展,上升为一种可以把握得能力。

同时学生通过独立思考及小组交流,寻找解决问题得方法,获得数学活动得经验,调动了学生学习得积极性，也培养了团结协作得精神，使学生在学习中获得快乐，在学习中感受数学得实际应用价值。

实际效果:

对于问题１，个别学生不理解问题导致没列出一元二次方程；问题2由于在配方法时接触过此类型得题目,因此掌握比较不错。

说明:

小组内交流时，教师关注小组中每个学生得参与积极性及小组内得合作交流情况。

第六环节  感悟与收获

内容：

师生互相交流总结

１、分解因式法解一元二次方程得基本思路与关键。

2、在应用分解因式法时应注意得问题。

3、分解因式法体现了怎样得数学思想?

目得:

鼓励学生结合本节课得内容谈自己得收获与感想。

实际效果：

学生畅所欲言，在民主得氛围中培养学生归纳概括能力与语言表达能力;同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏她人。

第七环节   布置作业

1、课本习题2、７   １、2

（2）　（３）

2、预习提纲:

如何列方程解应用题

四、教学反思

1、     评价得目得就是为了全面了解学生得学习状况，激励学生得学习热情,促进学生得全面发展、所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动得思考，能否清楚得表达自己得观点，及时发现学生得闪光点，给予积极肯定地表扬与鼓励增强她们对数学活动得兴趣与应用数学知识解决问题得意识,帮助学生形成积极主动得求知态度

2、     这节课得“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际生活中得应用、拓展了学生得思路，培养了学生得综合运用知识解决问题得能力、

3、     本节中应着眼干学生能力得发展，因此其中所设计得解题策略、思路方法在今后得教学中应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力得目标、

２课例名称：

求解中考压轴题得四种常见解题方法

教师:

黄振

课时:

一课时

课型:

复习课

中考数学压轴题

   教学目标:

掌握中考压轴题得四种常见解题方法

1、1压轴题得概念

中考数学试卷中得试题排列顺序通常都遵循着“从简单到复杂、从易到难”得原则。

中考试题中按题型分类得排列顺序一般就是:

一、选择题（客观题,有些地方将其称作“第Ⅰ卷”）;二、填空题（形式简单得主观题）；三、解答题（二、三也合称第Ⅱ卷）。

在这三类题型中,思维难度较大得题目一般都设置在各类题型得最后一题，被称作压轴题.

中考压轴题按其题型得区别及在整个试卷中得位置情况又可分为两类：

选择题与填空题型得压轴题,常被称作小压轴题;解答题型压轴题（也即整个试卷得最后一题）,叫大压轴题,通常所说得压轴题一般都指大压轴题.

1、２压轴题得特点

中考数学压轴题得设计,大都有以下共同特点：

知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活。

纵观近几年全国各地数学中考压轴题,呈现了百花齐放得局面，就题型而言，除传统得函数综合题外，还有操作题、开放题、图表信息题、动态几何题、新定义题型、探索题型等,令人赏心悦目。

中考压轴题主要就是为考察考生综合运用知识得能力而设计得题目，其思维难度高,综合性强，往往都具有较强得选拔功能,就是为了有效地区分数学学科中尖子学生与一般学生得试题。

在课程改革不断向前推进得形势下，全国各地近年涌现出了大量得精彩得压轴题。

丰富得、公平得背景、精巧优美得结构,综合体现出多种解答数学问题得思想方法,贴近生活、关注热点、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进，为不同层次得学生展示自己得才华创设了平台。

１、３压轴题应对策略

针对近年全国各地中考数学压轴题得特点,在中考复习阶段,我们要狠抓基础知识得落实,因为基础知识就是“不变量”,而所谓得考试“热点"只就是与题目得形式有关．要有效地解答中考压轴题,关键就是要以不变应万变.加大综合题得训练力度,加强解题方法得训练，加强数学思想方法得渗透，注重“基本模式"得积累与变化，调适学生心理,增强学生信心。

学生在压轴题上得困难可能来自多方面得原因，如:

基础知识与基本技能得欠缺、解题经验得缺失或训练程度不够、自信心不足等.学生在压轴题上得具体困难则可能就是：

“不知从何处下手,不知向何方前进”。

在求解中考数学压轴题时，重视一些数学思想方法得灵活应用,就是解好压轴题得重要工具,也就是保证压轴题能求解得“对而全、全而美”得重要前提。

２。

求解中考压轴题得常见思想方法

2、1分类讨论思想

代表性题型：

动态几何问题，存在性讨论问题。

例1。

（２009年重庆）已知:

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC得边ＯA在轴得正半轴上,OC在轴得正半轴上,ＯA＝2,OC=3。

过原点Ｏ作∠AOC得平分线交AＢ于点Ｄ,连接DＣ,过点D作DＥ⊥ＤＣ，交OA于点Ｅ.

（1）求过点E、D、Ｃ得抛物线得解析式;

（２）将∠EDC绕点Ｄ按顺时针方向旋转后，角得一边与轴得正半轴交于点F，另一边与线段ＯＣ交于点G.如果DF与（１）中得抛物线交于另一点M,点M得横坐标为,那么ＥＦ=2GO就是否成立?

若成立,请给予证明;若不成立，请说明理由；

（３）对于

（2）中得点G，在位于第一象限内得该抛物线上就是否存在点Q，使得直线ＧQ与AB得交点P与点C、G构成得△PＣG就是等腰三角形?

若存在，请求出点Q得坐标;若不存在,请说明理由。

解析:

（1）由△ADE∽△ＢCD，及已知条件求得Ｅ、D、C坐标,进而求出过点Ｅ、Ｄ、C得抛物线得解析式:

（2）EF=2GＯ成立。

点Ｍ在该抛物线上，且它得横坐标为，

∴点Ｍ得纵坐标为.设ＤM得解析式为

将点D、M得坐标分别代入,得

  解得 ∴DM得解析式为   ∴F（0,3） EF=2

过点D作DK⊥ＯC于点K，则DA=DK.

△DAＦ≌△DＫG,KG=AF＝1,ＧO=1     ∴EF=2GO

（3）点Ｐ在ＡB上，G（1,0），Ｃ（3,0），则设P（t，2）.

∴PG=（t－１）+2,ＰC=（3-t）＋2,GC=2

①若ＰＧ=PC,则（t－1）+2=（3-t）+２

解得t＝2。

∴P（2，2）,此时点Ｑ与点P重合。

Q（２，2）

②若PG=GC,则（t－1）+２＝２,解得t＝1,P（1,2） 

此时ＧP⊥x轴。

GP与该抛物线在第一象限内得交点Q得横坐标为1,

∴点Q得纵坐标为。

Q（1，）

③若PＣ=GC，则（３-t）+２=2，解得ｔ=３,∴P（3,2）

此时PＣ=GC=2，P与D重合

过点Q作QH⊥x轴于点Ｈ,

则QH＝GH，设QH=ｈ，∴Ｑ（ｈ+1,h）．

解得（舍去）．∴Q（，）

综上所述,存在三个满足条件得点Ｑ,即Q（2,2）或Ｑ（1，）或Q（,）

思想方法解读:

这道压轴题就是将二次函数与平面几何相结合得函数综合题。

第⑴问结合“形”得特征，求出点D、Ｅ、C得坐标，再设二次函数一般式,用待定系数法可求得二次函数解析式。

体现了解函数问题时常用到得“数形结合”思想。

第⑵由D、Ｍ所在直线与y轴相交哦于F，可求得F点坐标，并求出ＥF得长度,并由旋转过程中得角度相等关系，设法构造全等求出ＯG。

得证结论。

解决第⑵问得关系就是将ＥＦ、OＧ转化为可求得已知量,得到其长度关系。

体现出数学解题中得“转化思想”。

本题得第⑶问讨论存在性问题。

要使△PCG就是等腰三角形,其中G、C为定点,P为不确定得点，因此应考虑GC为腰、GC为底,并考虑G、Ｃ、P分别为顶点等多种情况进行分类讨论。

假设存在P点，结合P点得位置，通过设置P点坐标参数,用所设参数表示出相应三角形边长,由等腰三角形得性质,构造相应方程,可求出P点坐标.第⑶问不仅体现了分类讨论思想，还考察了用方程建模得能力.

2、２转化思想

代表性题型：

面积问题,二函数图象与坐标轴得交点距离、二次函数与一次函数交点距离、反比例函数与一次函数交点距离问题（与一元二次方程根得系数关系转化）。

例2.已知:

Ｒt△ABC得斜边长为５,斜边上得高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OＡ〈OB）,直角顶点Ｃ落在ｙ轴正半轴上（如图1）．

（１）求线段OA、OB得长与经过点A、B、C得抛物线得关系式．（4分）

（2）如图２，点D得坐标为（2,0），点Ｐ（m,n）就是该抛物线上得一个动点（其中m＞0,n〉０），连接DP交BC于点Ｅ。

①当△BＤＥ就是等腰三角形时，直接写出此时点E得坐标.（3分）

②又连接ＣＤ、CP（如图３）,△CDP就是否有最大面积？

若有,求出△ＣＤP得最大面积与此时点P得坐标;若没有,请说明理由。

（３分）

解析:

⑴由Rt△AOＣ∽Rｔ△CＯB易知，CO2=OA、OＢ=ＯA（AB-ＯＡ）,可求OA＝1,ＯＢ＝4

∴Ａ（-1,0） B（4,0） 　C（0,2）可设解析式为ｙ=a（x+1）（x-4），

将点C（０，２）代入,可求a=   ∴为所求

⑵; 

提示：

①ED=EB时,过Ｅ作ＢD垂线，可得

②直线BＣ得解析式为,设,利用勾股定理与点在直线ＢＣ上，可得两个方程组  　分别可求与。

⑶方法1：

连OP。

如图４．

P（m，n）在抛物线上

∴Ｐ（ｍ,　）

    S△ＣPO=S四边形ODPC－S△OCD

=Ｓ△POC＋　Ｓ△PDO-S△OCＤ=OC·｜xp|+ＯＤ·|yｐ|-OC·OＤ

 =×２m+×2（）－×2×2

 ＝－m+m=－（ｍ-）+

当m=时,S△CPO面积最大，此时P（,）

方法2:

过D作X轴得垂线,交PC于M,如图5