三角函数公式推导及证明doc文档格式.docx
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MN=M/N
由基木性质1（换掉M和N）
aA[log（a）（M/N）]=aA[log（a）（M）]/aA[log（a）（N）]
aA[log（a）（M/N）]=aA{[log（a）（M）]-[log（a）（N）]}
乂因为指数函数是单调函数，所以
log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）
4.与2类似处理
MAn=MAn
由基本性质1（换掉M）
aA[log（a）（MAn）]={aA[log（a）（M）]}An
aA[log（a）（MAn）]=aA{[log（a）（M）]*n}
log（a）（MAn）=nlog（a）（M）
其他性质:
性质一：
换底公式
log（a）（N）=log（b）（N）/log（b）（a）
推导如下
N=aA[log（a）（N）]
a=bA[log（b）（a）]
综合两式可得
N={bA[log（b）（a）]}A[log（a）（N）]=bA{[log（a）（N）]*[log（b）（a）]}又因为N=bA[log（b）（N）]
bA[log（b）（N）]=bA{[log（a）（N）]*[log（b）（a）]}
所以log（b）（N）=[log（a）（N）]*[log（b）（a）]{ii步不明白或有疑问看上面的}所以log（a）（N）=log（b）（N）/log（b）（a）
性质二：
（不知道什么名字）
log（aAn）（bAm）=m/n*[log（a）（b）]
rfl换底公式[Inx是log（e）（x）,e称作自然对数的底]log（aAn）（bAm）=ln（aAn）/ln（bAn）
由基本性质4可得
log（aAn）（bAm）=[n*ln（a）]/[m*ln（b）]=（m/n）*{[ln（a）]/[ln（b）]}
再rfl换底公式
（性质及推导完）
公式三：
log（a）（b）=l/log（b）（a）
证明如下：
由换底公式log（a）（b）=log（b）（b）/log（b）（a）--取以b为底的对数,log（b）（b）=l
=Vlog（b）（a）
还可变形得：
log（a）（b）*log（b）（a）=l
两角和公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-cosAsinBcos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A-B）=tanA-tanB
1+tanAtanB
cot（A+B）=
cotAcotB-1
cotB+cotA
cot（A-B）=
cotAcotB+1
cotB一cotA
倍角公式
Sin2A=2SinA>
CosA
Cos2A=CosA-Sin2A=2Cos2A-l=l-2sin2A三倍角公式
sin3A=3sinA-4（sinA）3
cos3A=4（cosA）3-3cosAtan3a=tana•tan（—+a）•tan（—-a）
半角公式33
zA.11-cosA
叫）
tan（-）=
2
1-cosA
sinA
和差化积
sina+sinb=2sin
a+b
"
T"
COS
a-b
sina-sinb=2cos
a+b
sin
.a+ba-b
cosa+cosb=2coscos
22
\r•d+b•Cl-b
cosa-cosb=・2sinsin
tana+tanb二如也
cosacosh
积化和差
sinasinb=[cos（a+b）-cos（a-b）]cosacosb=—[cos（a+b）+cos（a-b）]
sinacosb=—[sin（a+b）+sin（a-b）]
cosasinb二[sin（a+b）-sin（a-b）]
诱导公式
sin（-a）=-sina
cos（-a）=cosa
sin（—-a）=cosa
cost—-a）=sina
sin（—+a）=cosa
cos（y+a）=・sina
sin（n-a）=sina
cos（n-a）=-cosa
sin（n+a）二-sina
cos（n+a）=・cosa
…亠Asinci
tgA=tanA=
cosa
万能公式
ca
2tan—
sina二
l+（tan—）2
l-（tan^）2
cosa=
7
tana=
l-（tan—）2
其它公式
a*sina+b・cosa二J（a，+b‘）Xsin（a+c）[其中tanc=—]
a
a*sin（a）-b*cos（a）=J（a2+b2）Xcos（a-c）[Jt中tan（c）=—]
h
1+sin（a）二（sin—+cos—）2l-sin（a）=（sin--cos—）2
22其他非重点三角函竅
csc（a）=
sin（7
sec（a）=
cosa
双曲函数
sinh（护于
e+e
cosh（a）—
_、sinh（tz）
tgn（a）=——-
cosh（a）
公式一：
设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kn+a）=sina
cos（2kn+a）=cosa
tan（2kn+a）=tana
cot（2kn+a）=cota
公式二：
设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:
sin（ii+a）=-sina
cos（n+a）=-cosa
tan（n+a）=tana
cot（兀+a）=cota
任意角a与・a的三角函数值Z间的关系：
sin（-a）=-sina
cos（-a）=cosa
tan（-a）=-tana
cot（-a）=-cota
公式四：
利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系:
sin（n-a）二sina
cos（n-a）=-cosa
tan（n?
a）=-tana
cot（R-a）=-cota
公式五：
利用公式■和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值Z间的关系:
sin（2n-a）=-sina
cos（2n-a）=cosa
tan（2n?
cot（2n-a）=-cota
公式六：
評及近如与。
的三角两数值之间的关条
cos
tan
cot
（—+a）
（一+a）
（-+a）
（一+a）=・tana
=cosa
=-sina
=-cota
（£
_a）
（——a）
（——a）
（—・a）
（——+a）=-cosa
（3龙、
（——+a）
（a）=-cosa
（3兀、
（a）=-sina
/3龙、
（a）=cota
（3兀、
（a）=tana
=sina
=cota
=tana
=-tana
（以上kez）
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来，希望对人家有用
三角函数公式证明（全部）
公式表达式
乘法与因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）三角不等式|a+b|<
|a|+|b||a-b|<
|a|+|b||a|<
b<
=>
-b<
a<
b
|a-b|>
|a|-|b|-|a|<
|a|
一元二次方程的解・b+V（b2・4ac）〃a-b-b+V（b2-4ac）/^a
根与系数的关系Xl+X2=-b/aXl*X2=c/a注：
韦达定理
判别式b2-4a=0注：
方程冇相等的两实根
b2-4ac>
0注：
方程有一个实根
b2-4ac<
方程有共辘复数根
三角函数公式
两角和公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosAcos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=（tanA+tanB）/（l-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（l+tanAtanB）ctg（A+B）=（ctgActgB-l）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）倍角公式tan2A=2tanA/（l-tan2A）ctg2A=（ctg2A-l）/2ctga
cos2a=cos2a・sin2a=2cos2a・1二1・2sin2a
半角公式sin（A/2）=V（（l-cosA）/2）sin（A/2）=-V（（l-cosA）/2）
cos（A/2）=V（（l+cosA）/2）cos（A/2）=>
V（（l+cosA）/2）
tan（A/2）=V（（l-cosA）/（（l+cosA））tan（A/2）=-V（（l-cosA）/（（l+cosA））
ctg（A/2）=V（（1+cosA）/（（1-cosA））ctg（A/2）=-V（（l+cosA）/（（l-cosA））
和差化积2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB
ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB
某些数列前n项和l+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n（n+l）/2l+3+5+7+9+ll+13+15+...+（2n-l）=n2
2+4+6+8+10+12+14+...+（2n）=n（n+l）12+22+32+42+52+62+72+82+...+n2=n（n+l）（2n+l）/6
13+23+33+43+53+63+...n3=n2（n+l）^l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+...+n（n+l）=nm+l）（n+2）/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：
其中R表示三角形的外接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：
角B是边a和边c的夹角
正切定理：
[（a+b）/（a-b）]={[Tan（a+b）/2]/[Tan（a-b）/2]}
圆的标准方程（x・a）2+（y・b）2二r2注（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F二0注：
D2+E2-4F>
抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'
*h
正棱锥侧面积S=l/2c*h'
.TF:
棱台侧面积S=l/2（c+c'
）h'
圆台侧面积S=l/2（c+c'
）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi*r2
圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=l/2*c*l=pi*r*l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>
0扇形面积公式s=l/2*l*r
锥体体积公式V=V3*S*H圆锥休休积公式V=l/5*pi*r2h
斜棱柱体积V二St注：
其中S是直截面面积，L是侧棱长
柱体体积公式V二s*h圆柱体V=pi*r2h
三角函数积化和差和差化积公式
记不住就自己推，用两角和差的正余弦：
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加:
cosAcosB=[cos（A+B）+cos（A-B）]/2
相减：
sinAsinB=-[cos（A+B）-cos（A-B）]/2
sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA
sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差：
相力口:
sinAcosB=[sin（A+B）+sin（A-B）]/2
sinBcosA=[sin（A+B）-sin（A-B）]/2
这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了
不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下
正加正正在前
正减正余在前
余加余都是余
余减余没有余还负
正余正加余正正减
余余余加正正余减还负
■
3•三角形中的一些结论：
（不要求记忆）
（l）anA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC
（2）sinA+tsinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）
（3）cosA+cosB+cosC=4sin（A/2）-sin（B/2）-sin（C/2）+l
（4）sin2A+sin2B+sin2C=4sinA-sinB-sinC
（5）cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-l
己知sina=msin（a+2p）,Im^l,求证tan（a+p）=（l+m）/（l-m）tan（3解:
sina=msin（a+2P）
sin（a+p-P）=msin（a+p+3）
sin（a+P）cosp-cos（a+p）sinB二msin（a+P）cosP+mcos（a+P）sinR
sin（a+P）cosp（l-m）=cos（a+3）sinP（m+l）
tan（a+P）=（l+m）/（l-m）tanp
降幕公式
（sinA2）x=l-cos2x/2
（cosA2）x=i=cos2x/2
令tan（a/2）=t
sina=2t/（l+tA2）
cosa=（l-tA2）/（l+tA2）
tana=2t/（l-tA2）
ill屮//ki7JU-4XL•
可（
1+cosA
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