高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算教师用书文苏教版Word文件下载.docx
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如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素)
A=B
3.集合的基本运算
运算
交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
并集
由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
补集
设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集
∁SA={x|x∈S,且x∉A}
【知识拓展】
1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.A∩∁UA=∅;
A∪∁UA=U;
∁U(∁UA)=A.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( ×
)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ×
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( ×
(4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
(5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
(6)若A∩B=A∩C,则B=C.( ×
1.(教材改编)设A={x|x2-4x-5=0},B={x|x2=1},则A∪B=__________.
答案 {-1,1,5}
解析 ∵A={-1,5},B={-1,1},∴A∪B={-1,1,5}.
2.已知集合A={x|x2-6x+5≤0},B={x|y=
},则A∩B=__________.
答案 {x|3≤x≤5}
3.(教材改编)设全集U=R,A={x|x<
1},B={x|x≥m}.若A∩B=∅,A∪B=R,则m=________.
答案 1
解析 ∵A∩B=∅,A∪B=R,∴B=∁UA,故m=1.
4.(2016·
天津改编)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=________.
答案 {1,4}
解析 因为集合B中,x∈A,所以当x=1时,y=3-2=1;
当x=2时,y=3×
2-2=4;
当x=3时,y=3×
3-2=7;
当x=4时,y=3×
4-2=10;
即B={1,4,7,10}.
又因为A={1,2,3,4},所以A∩B={1,4}.
5.(2016·
苏州模拟)已知集合A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则m=________.
答案 2
解析 ∵A∪B={1,3,m}∪{3,4}={1,2,3,4},
∴2∈{1,3,m},∴m=2.
题型一 集合的含义
例1
(1)已知集合A={x|x∈Z,且
∈Z},则集合A中的元素个数为________.
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=________.
答案
(1)4
(2)0或
解析
(1)∵
∈Z,
∴2-x的取值有-3,-1,1,3,
又∵x∈Z,∴x值分别为5,3,1,-1,
故集合A中的元素个数为4.
(2)若a=0,则A=
,符合题意;
若a≠0,则由题意得Δ=9-8a=0,解得a=
.
综上,a的值为0或
思维升华
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
(1)(2016·
盐城模拟)已知A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是________.
①-1∉A②-11∈A
③3k2-1∈A(k∈Z)④-34∉A
(2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=________.
答案
(1)③
(2)2
解析
(1)∵k∈Z,∴k2∈Z,∴3k2-1∈A.
(2)因为{1,a+b,a}=
,a≠0,
所以a+b=0,得
=-1,
所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
题型二 集合的基本关系
例2
(1)设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是________.
(2)已知集合A={x|x2-2017x+2016<
0},B={x|x<
a},若A⊆B,则实数a的取值范围是__________________.
答案
(1)4
(2)[2016,+∞)
解析
(1)∵{1,2}⊆B,I={1,2,3,4},
∴满足条件的集合B有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
(2)由x2-2017x+2016<
0,解得1<
x<
2016,
故A={x|1<
2016},
又B={x|x<
a},A⊆B,如图所示,
可得a≥2016.
引申探究
本例
(2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________.
答案 (-∞,1]
解析 A={x|1<
2016},B={x|x≥a},A⊆B,如图所示,可得a≤1.
思维升华
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解;
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
(1)已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的值为____________.
(2)(2016·
连云港模拟)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<
2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是____________.
答案
(1)-
或
或0
(2)(-∞,4]
解析
(1)由题意知A={2,-3}.
当a=0时,B=∅,满足B⊆A;
当a≠0时,ax-1=0的解为x=
,
由B⊆A,可得
=-3或
=2,
∴a=-
或a=
综上,a的值为-
或0.
(2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2;
当B≠∅时,若B⊆A,如图,
则
解得2<
m≤4.
综上,m的取值范围为(-∞,4].
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3
(1)(2017·
江苏前黄中学月考)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B=________.
(2)设全集U是实数集R,M={x|x<-2或x>2},N={x|1≤x≤3}.如图所示,则阴影部分所表示的集合为________.
答案
(1){7,9}
(2){x|-2≤x<1}
解析
(1)U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},画出Venn图,如图所示,阴影部分就是所要求的集合,即(∁UA)∩B={7,9}.
(2)阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}={x|-2≤x<1}.
命题点2 利用集合的运算求参数
例4
(1)设集合A={x|-1≤x<
2},B={x|x<
a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是____________.
(2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为________.
答案
(1)(-1,+∞)
(2)4
解析
(1)因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>
-1.
(2)由题意可得{a,a2}={4,16},∴a=4.
思维升华
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;
集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
(1)已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x>
5},若A∩B=∅,则实数a的取值范围为________.
(2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1<
m+1},且A∩B=B,则实数m的取值范围为________.
答案
(1)a≤2或a>
3
(2)[-1,+∞)
解析
(1)要使A∩B=∅,则
或2a>
a+3,
∴a≤2或a>
3.
(2)由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B⊆A.
①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2.
②当B≠∅时,有
解得-1≤m<
2.
综上,m的取值范围为[-1,+∞).
题型四 集合的新定义问题
例5 若对任意的x∈A,
∈A,则称A是“伙伴关系集合”,则集合M={-1,0,
,1,2}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为________.
答案 7
解析 具有伙伴关系的元素组有-1;
1;
2和
共三组,它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合,所以非空伙伴关系集合分别为{1},{-1},{
,2},{-1,1},{-1,
,2},{1,
,2},{-1,1,
,2},共7个.
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
定义一种新的集合运算△:
A△B={x|x∈A,且x∉B}.若集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2≤x≤4},则按运算△,B△A=____________.
答案 {x|3≤x≤4}
3},B={x|2≤x≤4},由题意知B△A={x|x∈B,且x∉A}={x|3≤x≤4}.
1.集合关系及运算
典例
(1)已知集合A={1,3,
},B={1,m},A∪B=A,则m=____________.
(2)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B⊆A,则实数a的取值范围是________.
错解展示
解析
(1)由A∪B=A得B⊆A,∴m=3或m=
故m=3或m=0或m=1.
(2)∵B⊆A,讨论如下:
①当B=A={0,-4}时,
解得a=1.
②当BA时,由Δ=0得a=-1,
此时B={0}满足题意,
综上,实数a的取值范围是{1,-1}.
答案
(1)1或3或0
(2){1,-1}
现场纠错
解析
(1)A={1,3,
},B={1,m},A∪B=A,故B⊆A,所以m=3或m=
,即m=3或m=0或m=1,其中m=1不符合题意,所以m=0或m=3.
(2)因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得
解得a=1;
②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},
并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<
0,
解得a<
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.
答案
(1)0或3
(2)(-∞,-1]∪{1}
纠错心得
(1)集合的元素具有互异性,参数的取值要代入检验.
(2)当两个集合之间具有包含关系时,不要忽略空集的情况.
1.(2016·
江苏苏州暑期检测)已知集合A={0,1},B={-1,0},则A∪B=________.
答案 {0,-1,1}
解析 由集合并集的定义可得A∪B={0,-1,1}.
2.(2017·
扬州月考)已知集合A={x|x2-2x<
0},B={0,1,2},则A∩B=__________.
答案 {1}
解析 因为A={x|0<
2},B={0,1,2},
所以A∩B={1}.
3.(2016·
盐城模拟)已知集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7,9},C=A∩B,则集合C的子集的个数为________.
答案 8
解析 因为A∩B={1,3,5},所以C={1,3,5},故集合C的子集的个数为23=8.
4.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则下图中阴影部分所表示的集合为__________.
解析 因为A∩B={2,3,4,5},而图中阴影部分为A去掉A∩B,所以阴影部分所表示的集合为{1}.
5.若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A的真子集的个数是________.
答案 3
解析 集合A中有两个元素,则集合A的真子集的个数是22-1=3.
6.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素的个数为_____________________________________________________________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.
7.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<
0,c>
0},若A⊆B,则实数c的取值范围是__________.
答案 [1,+∞)
解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>
0}=(0,1),B={x|x2-cx<
0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.
8.(2015·
浙江改编)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q=__________.
答案 {x|1<
2}
解析 ∵P={x|x≥2或x≤0},∁RP={x|0<x<2},
∴(∁RP)∩Q={x|1<x<2}.
9.设集合Q={x|2x2-5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件的集合P的个数是________.
解析 因为Q={x|2x2-5x≤0,x∈N}={x|0≤x≤
,x∈N}={0,1,2},
所以满足P⊆Q的集合P的个数是23=8.
10.设集合M=
,N=
,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.
答案
解析 由已知,可得
即0≤m≤
;
即
≤n≤1,取m的最小值0,n的最大值1,可得M=
,所以M∩N=
∩
=
,此时集合M∩N的“长度”的最小值为
-
11.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为__________.
答案 -
解析 ∵3∈A,∴m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,不符合集合的互异性,舍去;
当2m2+m=3时,解得m=-
或m=1(舍去),
当m=-
时,m+2=
≠3,符合题意,
∴m=-
12.(2016·
南通模拟)设全集U=R,集合A={x|y=
},B={y|y=ex+1},则A∪B=__________.
答案 (-∞,-1]∪(1,+∞)
解析 因为A={x|x≥3或x≤-1},B={y|y>
1},
所以A∪B={x|x>
1或x≤-1}.
13.(2016·
江苏无锡新区期中)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合P*Q中元素的个数是________.
解析 按P*Q的定义,P*Q中元素为2,-2,0,共3个.
14.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是________.
答案 5
解析 当x=0,y=0时,x-y=0;
当x=0,y=1时,x-y=-1;
当x=0,y=2时,x-y=-2;
当x=1,y=0时,x-y=1;
当x=1,y=1时,x-y=0;
当x=1,y=2时,x-y=-1;
当x=2,y=0时,x-y=2;
当x=2,y=1时,x-y=1;
当x=2,y=2时,x-y=0.
根据集合中元素的互异性知,B中元素有0,-1,-2,1,2,共5个.
15.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________.
答案 (-∞,-2]
解析 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}
={x|2≤x≤4}=[2,4],
因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,
即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].