23离散型随机变量的均值与方差教案二新人教A版选修23Word文档下载推荐.docx

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　　离散型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

　　．连续型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

　　离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:

离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；

但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

　　若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性

　　分布列:

设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，

　　ξ取每一个值xi的概率为，则称表

　　ξx1x2…xi…

　　PP1P2…Pi…

　　为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

　　分布列的两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；

⑵P1+P2+…=1．

　　离散型随机变量的二项分布:

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是

　　．

　　于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

　　ξ01……n

　　P

　　…

　　称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B，其中n，p为参数，并记＝b．

　　离散型随机变量的几何分布：

在独立重复试验中，某事件次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第次独立重复试验时事件次发生.如果把次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P=p，P=q，那么

　　．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

　　ξ123……

　　称这样的随机变量ξ服从几何分布

　　记作g=，其中＝0,1,2,…，．

　　二、讲解新课：

　　根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：

已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下

　　ξ45678910

　　P0.020.040.060.090.280.290.22

　　在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望

　　根据射手射击所得环数ξ的分布列，

　　我们可以估计，在n次射击中，预计大约有

　　次得4环；

　　次得5环；

　　…………

　　次得10环．

　　故在n次射击的总环数大约为

　　从而，预计n次射击的平均环数约为

　　这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．

　　对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个，我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:

　　…．

　　均值或数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

　　ξx1x2…xn…

　　Pp1p2…pn…

　　则称……为ξ的均值或数学期望，简称期望．

　　均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

　　平均数、均值:

一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

　　均值或期望的一个性质:

若，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

　　η

　　于是……

　　＝……）……）

　　＝，

　　由此，我们得到了期望的一个性质:

　　若ξB，则Eξ=np

　　证明如下：

　　∵　，

　　∴　0×

＋1×

＋2×

＋…＋×

＋…＋n×

．

　　又∵，

　　∴＋＋…＋＋…＋．

　　故

　　若ξ～B，则np．

　　三、讲解范例：

　　例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望

　　解：

因为，

　　所以

　　例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~B,,

　　由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

　　例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：

　　方案1：

运走设备，搬运费为3800元．

　　方案2：

建保护围墙，建设费为XX元．但围墙只能防小洪水．

　　方案3：

不采取措施，希望不发生洪水．

　　试比较哪一种方案好．

用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失．

　　采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即

　　X1=3800.

　　采用第2种方案，遇到大洪水时，损失XX+60000=6XX元；

没有大洪水时，损失XX元，即

　　同样，采用第3种方案，有

　　于是，

　　EX1＝3800,

　　EX2＝6XX×

P+XX00×

P

　　=6XX×

0.01+XX×

=2600,

　　EX3=60000×

P+10000×

P+0×

　　=60000×

0.01+10000×

0.25=3100.

　　采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.

　　值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：

假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．

　　例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望

∵，

　　=3.5

　　例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望

抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次取出次品的概率：

　　需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：

由此可得的概率分布如下：

　　345678910

　　0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316

　　根据以上的概率分布，可得的期望

　　例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．

抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

　　ξ123456

　　×

＋3×

＋4×

＋5×

＋6×

　　＝×

＝3.5．

　　抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

　　例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4时租车费为10元，若行驶路程超出4，则按每超出l加收2元计费．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η

　　求租车费η关于行车路程ξ的关系式；

　　若随机变量ξ的分布列为

　　ξ15161718

　　P0.10.50.30.1

　　求所收租车费η的数学期望．

　　已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

依题意得　η=2十10，即　η=2ξ+2；

　　∵η=2ξ+2

　　∴2Eξ+2=34.8

　　故所收租车费η的数学期望为34.8元．

　　由38=2ξ+2，得ξ=18，5=15

　　所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟

　　四、课堂练习：

　　口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则

　　A．4；

　　B．5；

　　c．4.5；

　　D．4.75

　　答案：

c

　　篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

　　⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；

　　⑵他罚球2次的得分η的数学期望；

　　⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．

⑴因为，，所以

＋0×

　　⑵η的概率分布为

　　η012

　　P所以0×

＝1.4．

　　⑶ξ的概率分布为

　　ξ０１23

　　所以0×

＝2.1.

　　．设有升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．

　　分析：

任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=”发生，即n个大肠杆菌中恰有个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A恰好发生次的概率计算方法可求出P,进而可求Eξ.

记事件A：

“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P=．

　　∴　P=Pn=c）n－．

　　∴　ξ～B，故　Eξ=n×

=

　　五、小结：

离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

　　求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np

　　六、课后作业：

P64-65练习1,2,3,4P69A组1,2,3

　　一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是

令取取黄球个数则的要布列为

　　012

　　p于是E=0×

+1×

+2×

=0.8

　　故知红球个数的数学期望为1.2

　　袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数

　　①求的概率分布列

　　②求的数学期望

①依题意的取值为0、1、2、3、4

　　=0时，取2黑p=

　　=1时，取1黑1白p=

　　=2时，取2白或1红1黑p=+

　　=3时，取1白1红，概率p=

　　=4时，取2红，概率p=

　　01234

　　p

　　∴分布列为

　　期望E=0×

+3×

+4×

　　学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望

设表示产生故障的仪器数，Ai表示第i台仪器出现故障

　　表示第i台仪器不出现故障，则：

　　p=p+p+p

　　=p1+p2+p3

　　=p1+p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3

　　=p1p2+p1p3+p2p3

　　=p1p2+p1p3+p2p3－3p1p2p3

　　p=p=p1p2p3

　　∴=1×

p+2×

p+3×

p=p1+p2+p3

　　注：

要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望

　　一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是1.2

从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为

　　两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

　　对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率

　　A¬

1¬

对B1

2¬

对B2

3¬

对B3

　　现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，

　　求，的概率分布；

求，

，的可能取值分别为3，2，1，0

　　根据题意知，所以

　　；

　　因为,所以

　　七、板书设计

　　八、教学反思：

　　离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

　　①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

　　②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

　　③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。