二、填空题
7.已知y=
x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的取值范围为________.
[答案] b<-1或b>2
[解析] 若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,
由题意b<-1或b>2.
8.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.
[答案] (-∞,-1)
[解析] 函数y=ln(x2-x-2)的定义域为
(2,+∞)∪(-∞,-1),
令f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得x<
,
∴函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1).
9.函数y=x3-x2-x的单调递增区间为________.
[答案] (-∞,-
),(1,+∞)
[解析] ∵y′=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),
∴由y′>0得,x>1或x<-
.
三、解答题
10.已知曲线y=x3+3x2+6x-10,点P(x,y)在该曲线上移动,在P点处的切线设为l.
(1)求证:
此函数在R上单调递增;
(2)求l的斜率的取值范围.
[解析]
(1)证明:
y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3>0恒成立,∴此函数在R上递增.
(2)解:
由
(1)知f′(x)=3(x+1)2+3≥3,
∴l的斜率的取值范围是k≥3.
能力拓展提升
一、选择题
11.(2012·天津理,4)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[答案] B
[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题的能力.
∵f(x)=2x+x3-2,00在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1)上单调递增.
又f(0)=20+0-2=-1<0,f
(1)=2+1-2=1>0,f(0)f
(1)<0,则f(x)在(0,1)内至少有一个零点,
又函数y=f(x)在(0,1)上单调递增,则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点.
[点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数.
12.函数y=x3+ax+b在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,则( )
A.a=1,b=1B.a=1,b∈R
C.a=-3,b=3D.a=-3,b∈R
[答案] D
[解析] f′(x)=3x2+a,由条件f′
(1)=0,
∴a=-3,b∈R.
[点评] 如果f(x)在(a,b)上单调增(减),在(b,c)上单调减(增),且f(b)有定义,则必有f′(b)=0.
13.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
[答案] A
[解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义.
∵导函数f′(x)是增函数,
∴切线的斜率随着切点横坐标的增大,逐渐增大,
故选A.
[点评] B图中切线斜率逐渐减小,C图中f′(x)为常数,D图中切线斜率先增大后减小.
14.已知函数y=xf′(x)的图象如图
(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
[答案] C
[解析] 当0∴f′(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数.
当x>1时xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定A、B、D故选C.
二、填空题
15.已知函数f(x)=x3-ax2+4,若函数y=f(x)在(0,2)内单调递减,则实数a的取值集合是____________;若函数y=f(x)的单调递减区间是(0,2),则实数a的取值集合是________.
[答案] {a|a>3} {3}
[解析] y′=3x2-2ax,
(1)由题意知3x2-2ax≤0在区间(0,2)内恒成立,
即a≥
x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3.
(2)由题意不等式3x2-2ax<0的解集是(0,2),∴
=2,∴a=3.
[点评] 要注意区分f(x)在区间A内单调递减和f(x)的单调递减区间为A.
三、解答题
16.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
(1)求a、b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
[解析]
(1)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b.
由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f
(1)=-11,f′
(1)=-12,
即
,
解得a=1,b=-3.
(2)由a=1,b=-3得
f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)
=3(x+1)(x-3).
令f′(x)>0,解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0,解得-1所以当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数;
当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数;
当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.
17.设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.
(1)若a=
,求f(x)的单调区间;
(2)当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.
[解析]
(1)a=
时,f(x)=x(ex-1)-
x2,
f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减.
(2)f(x)=x(ex-1-ax).
令g(x)=ex-1-ax,则g′(x)=ex-a.
若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时g(x)≥0,即f(x)≥0.
当a>1,则当x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x∈(0,lna)时g(x)<0,即f(x)<0,不合题意.
综合得a的取值范围为(-∞,1].
1.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的单调减区间为(-1,1),则a的取值集合为________.
(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,则a的取值集合为________.
[答案]
(1){0}
(2){a|a<0}
[解析] f′(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).
(1)∵f(x)的单调减区间为(-1,1),
∴-1和1是方程f′(x)=0的两根,
∴
=1,∴a=0,∴a的取值集合为{0}.
(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,∴f′(x)<0在(-1,1)内恒成立,又二次函数y=f′(x)开口向上,一根为-1,∴必有
>1,∴a<0,
∴a的取值集合为{a|a<0}.
[点评] f(x)的单调减区间为(m,n),则必有f′(m)=0,f′(n)=0或x=m,x=n是函数f(x)的不连续点,f(x)在区间(m,n)上单调递减,则(m,n)是f(x)的单调减区间的子集,f′(x)≤0在(m,n)上恒成立.
2.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a的取值范围为________.
[答案] a≥1
[解析] 由已知a>
在区间(1,+∞)内恒成立.
设g(x)=
,则g′(x)=-
<0 (x>1),
∴g(x)=
在区间(1,+∞)内单调递减,
∴g(x)<g
(1),
∵g
(1)=1,
∴
<1在区间(1,+∞)内恒成立,
∴a≥1.
3.求证:
方程x-
sinx=0只有一个根x=0.
[证明] 设f(x)=x-
sinx,x∈(-∞,+∞),
则f′(x)=1-
cosx>0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数.
而当x=0时,f(x)=0,
∴方程x-
sinx=0有唯一的根x=0.