所以假设成立，甲受的摩擦力为10N，方向向左。
应选D。
例3一升降机在箱底装有若干个弹簧，如图2—10—3所示，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（）
A．升降机的速度不断减小
B．升降机的速度不断变大
C．先是弹力做的负功小于
重力做的正功，然后是
弹力做的负功大于重力
做的正功
D．到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值
解析升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程，它受重力、弹簧弹力两个力作用。
当重力大于弹力时速度继续增大，当重力等于弹力时速度增大到最大，当重力小于弹力时，速度开始减小，最后减为零，因而速度是先增大后减小，所以选项C正确。
假设升降机前一运动阶段只受重力作用，做初速度为零的匀加速直线运动，它下降了h高度，末速度为v，则
v2=2gh
后一运动阶段升降机只受弹力作用，做初速度为v、末速度为零的匀减速直线运动，把弹簧压缩了x，则
v2=2ax
所以2gh=2ax
而
因为
所以选项D也正确.
例4一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°，如图2—10—4所示。
一长为L的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（可看做质点）。
物体以速度v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。
（1）当
时，求绳对物体的拉力；
（2）
，求绳对物体的拉力。
解析当物体以某一速率绕圆锥体的轴线做水平匀面内的匀速圆周运动时，可能存在圆锥体对物体的弹力为零的临界状况，此时物体刚好与圆锥面接触但不发生形变。
而当速率变大时，物体将脱离圆锥面，从而导致绳对物体的拉力大小和方向都要变化。
因此，此题的关键是先求出临界状态下线速度的值。
以小物体为研究对象，假设它与圆锥面接触，而没有弹力作用。
受力如图2—10—4—甲所示，根据运动定律得：
Tcosθ=mg①
Tsinθ=
②
解得：
（1）因为
所以物体m与圆锥而接触且有压力，受力如图2—10—4—乙所示，由运动定律得
T1cosθ+Nsinθ=mg①
T1sinθ－Ncosθ=m
②
解得拉力：
（2）因为
，所以物体m脱离圆锥面，设绳子与轴线的夹角为
，受力如图2—10—4—丙所示，由运动定律得：
①
②
解得绳子拉力：
T2=2mg
例5如图2—10—5所示，倾角为α的斜面和倾角为β的斜面具有共同的顶点P，在顶点上安装一个轻质小滑轮，重量均为W的两物块A、B分别放在两斜面上，由一根跨过滑轮的细线连接着，已知倾角为α的斜面粗糙，物块
与斜面间摩擦因数为μ；倾角为β的斜面光滑，
为了使两物块能静止在斜面上，试列出α、β必
须满足的关系式。
解析因题目中没有给出具体数值，所以
精糙斜面上物块的运动趋势就不能确定，应考虑两种可能。
令细线的张力为T，假设物块A有沿斜面向上运动的趋势时，对A物块有
T－μWcosα=Wsinα
对B物块有：
T=Wsinβ
两式联立解得：
sinβ=sinα+μcosα
同理，假设物块A有沿斜面向下运动的趋势时，可解得
sinβ=sinα－μcosα
因此，物块静止在斜面上时两倾角的关系为sinα－μcosα≤sinβ≤sinα+μcosα
例6如图2—10—6所示，半径为r的铅球内有一半径为
的球形空腔，其表面与球面相切，此铅球的质量为M，在铅球和空腔
的中心连线上，距离铅球中心L处有一质量为m的小球
（可以看成质点），求铅球小球的引力。
解析设想把挖去部分用与铅球
同密度的材料填充，填充部分铅球的质
量为M1.为了抵消填充球体产生的引力，
我们在右边等距离处又放置一个等质量
的球体。
如图2—10—6甲所示。
设放置的球体的质量为M1，
则
填补后的铅球质量：
M0=M+M1=8M/7.
则原铅球对小球引力为
例7三个半径为r、质量相等的球放一在
一个半球形碗内，现把第四个半径也为r，质量也
相等的相同球放在这三个球的正上方，要使四个球
都能静止，大的半球形碗的半径应满足什么条件？
不考虑各处摩擦。
解析假设碗的球面半径很大，把碗面变成平面。
因为各接触面是光滑的，当放上第四个球后，下面的三个球会散开，所以临界情况是放上第四个球后，下面三个球之间刚好无弹力。
把上面的球记为A，下面三个球分别记为B、C、D，则四个球的球心连起来构成一个正四面体，正四面体的边长均2r，如图2—10—7所示。
设A、B球心的连线与竖直方向的夹角为α，设碗面球心为O，O与B球心的连线与竖直方向的夹角为β，碗面对上面三个球的作用力都为F，如图2—10—7—甲所示。
先以整体为研究对象，受重力、碗面对三个球的弹力F，在竖直方向上有
3Fcosβ=4mg①
再以B球为研究对象，受重力mg、碗面对B球的作用力F、A球对B的压力FN，根据共点力平衡条件，有
消去FN，得：
②
①、②联立，消去F得：
③
因为四个球的球心构成一个边长为2r正四面体，如图2—10—7所示，根据几何关系，可以知道：
代入③式得：
于是碗面的半径为
=7.633r
所以半球形碗的半径需满足R≤7.633r.
例8如图2—10—8所示，一根全长为L、
粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑
轮上，当受到轻微的扰动，铁链开始滑动，当铁
链下降L1（L1≤L/2）的瞬间，铁链的速度多大？
解析在铁链下降时，只有重力做功，机
械能守恒。
当铁链下降L1时，如图2—10—8—甲所示，假设此位置是把左侧铁链下端AB=L1段剪下来再接到右侧铁链的下端CD处实现的。
设铁链的总质量为m，铁链下降到L1时，L1段中心下降L1高，所以重力做功
根据机械能守恒定律：
解得铁链的速度：
例9如图2—10—9所示，大小不等的两个容器被一根细玻璃管连通，玻璃管中有一段水银柱将容器内气体隔开（温度相同），当玻璃管竖直放置时，大容器在上，小容器在下，水银柱刚好在玻璃管的正中间，现将两容器同时降低同样的温度，若不考虑容器的变化，则细管中水银柱的移动情况是（）
A．不动B．上升C．下降D．先上升后下降
解析只要假设水银柱不动，分析气体压强随温度的变化情况，就可判定水银柱怎样移动。
假设水银柱不移动，则两部气体的体积都不变，根据查理定律，有：
例10如图2—10—10所示，将一定量的水银灌入
竖直放置的U形管中，管的内径均匀，内直径d=1.2cm.
水银灌完后，两管听水银在平衡位置附近做简谐振动，振
动周期T=3.43s.已知水银的密度ρ=1.36×104kg/m3.试求水
银的质量m.
解析题中水银做简谐振动，已知振动周期要求水银的质量m.根据简谐振动的周期公式
，T已知，关键是求出k.简谐振动的物体受的回复力F=－kx，找出F与 x的关系，求出k，问题就可以求解.
如图2—10—10所示，设水银离开平衡位置的距离为xcm,则回复力为
由回复力的大小F=kx,得：
根据
解得水银的质量
例11热气球是靠加热气球内部空气排除部分气体而获得上升动力的装置，现外界气体温度是15℃，密度为1.2kg/m3,气球内、外气压相等，要用容积1000m3的气球吊起200kg的重物，必须把气球内的空气温度加热到多少才行？
（取g=10m/s2）
解析加热气球内的气体时，气体被排出，质量减少，在浮力不变的情况下，使F浮≥G总时，热气球升空.这里出现了气体质量减小的变质量问题，为应用三大实验定律只有依靠假设法，在此，为应用等压变化规律，假设升温后排出去的气体与留在热气球内的气体状态相同，如图2—10—11所示。
初态体积V1=V0，末态体积V2=V0+△V0
气体质量m=ρV0=1.2kg/m3×1000m3=1.2×103kg
F浮=ρ空gV0≥G总=（m′+m物）g
代入已知数据：
1.2×10×103≥（m′+200）×10
得m′≤1.0×103（kg）
其中m是加热前热气球内空气质量，m′为
加热后热气球内空气质量.
△m=m－m′=1.2×103kg－10×103kg=200kg
当密度相同时，
对等质量、等压的气体应用盖·吕萨克定律
初态V=V0=103m3
T1=273+15=288k
未态V2=V0+△V=1.2×103m3
根据：
解得加热后气体温度：
T2=
T1=345.6K=72.6℃.
例120.2L的氧气瓶内，装有4g氧气，在室温为0℃时，瓶内氧气的压强是多少？
解析本题乍一看似乎缺少已知量，更无法利用理想气体状态方程，但当我们假设这些氧气的标准状态为初态时，则问题就可以解决了.
假设这些氧气的初态为标准状态，则有
由已知该氧气的末状态为V1=0.2L，T2=273K，p2未知，
由于T1=T2，所以根据玻意耳定律p1V1=p2V2
解得p2=1.4atm
例13如图2—10—12所示，用导热材料制成的两端开口的U型管ABCD，其中AB高L1=24cm,CD高L2=20cm，截面积分别为SAB=1cm2,SCD=2cm2,开始时两管均有高h=16cm的水银柱，现用两个橡皮帽将两个管口封闭，打开下方的阀门K，有注射器从底部缓慢抽出水银，当其中的一个管内的水银被抽干时立即关闭阀门K.（已知大气压强为p0=75cmHg）
（1）请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银？
（2）另一只管中剩余的水银柱高度为多少？
解析求解这一类题时，应根据可解的情况
先做出必要的假设，然后按着所做出的假设进行推
理，在推理过程中，对所做假设做出否定或认同即
可求解.
假设左管内水银先被抽干，并设这时右管内剩余
水银柱的高度为x,对左管内封闭气体用玻意耳定律有p1V1=p1′V1′
可得
所以右管内气体压强为p2′=（25－x）cmHg
再对右管内被封气体，根据玻意耳定律得：
75（20－16）SCD=（25－x）（20－x）SCD
整理得：
x2－45x+200=0
解得：
x=5cm或40cm（不合题意舍去）
在根据以上假设列的方程中，有满足题设的实数解，故所做假设成立，即左管内水银先抽干，且此时右管内剩余水银柱高度为5cm.
例14如图2—10—13所示，正四面体
ABCD各面均为导体，但又彼此绝缘，已知带
电后四个面的电势分别为
1，
2，
3，
4，
求四面体中心点的电势.
解析保持四面体不动，假设按照一定
方式调换四个面上的电荷，即假设四个面的电荷
绕中心O转动，结果会得到正四面体的四个面的若干带电模式，由于转动时并未改变各面电荷之间的相对位置，所以各种模式在中心O点的电势
0都相同。
现假设将四种模式叠加，则O点电势应为4
0。
另一方面，四处模式叠加后，正四面体的每个面的电势皆为
1+
2+
3+
4，这时正四面体构成一近似封闭的等势面，它所包围的空间（其中无电荷）就近似为一等势体，因此O点的电势为
1+
2+
3+
4。
所以上分析得出：
4
0=
1+
2+
3+
4
所以中心点的电势
0=
（
1+
2+
3+
4）
例15有一半径为R的不导电的半球薄壳，均匀带电，倒扣在xOy平面上，如图2—10—14所示，图中O为球心，ABCD为球壳边缘，AOC为直径。
有一电电为q的点电荷位于OC上的E点，OE=r。
已知将此点电荷由E点缓慢移至球壳顶点T时，外力需要做功W（W>0），不计重力影响.
（1）试求将此点电荷由E点缓慢移至A点外力需做功的正负、大小，并说明理由；
（2）P为球心正下方的一点，OP=R.试求将此点
电荷由E点缓慢移至P点，外力需做功的正负及大小，
并说明理由.
解析
（1）假设取另一完全相同的带电半球壳
扣在题给的半球壳下面，构成一个完整的地均匀带电球
壳，则球壳及其内部各点电势都相等，令U表示此电势。
根据对称性可知，上下两个半球壳分别在圆面ABCD上各
点引起的电势是相等的，再由电势叠加原理可知，当只有上半球壳存在时，圆面ABCD上各点的电势都应为完整球壳内电势的一半，即U/2，所以将电荷由E点移至A点的过程中，外力做功为零。
（2）对完整球壳，E点与T点等势，电势差为零。
由电势叠加原理可知，若上半球壳在T、E两点形成的电势差为（UT－UE）,则下半球壳在T、E两点形成的电势差必为－（UT－UE）.已知W=q（UT－UE）.所以在下半球产生的电场中，q由E到T外力做功必为－W.由对称性可知，在上半球壳产生的电场中，q由E到P外力的功刀必为－W.
例16无穷方格电阻丝网格如图2—10—15所示，
其中每一小段电阻丝的电阻均为r，试求相邻两个格点
A、B间的等效电阻RAB.
解析假设从A点注入电流I，根据对称性，
追踪一条支路，再根据欧姆定律可求出RAB.
假设电流I从A点流入，不从B点流出，I将
分流到无穷远处。
据对称性，其中有
流经AB段。
再假设电流I不是从A点流入，而是从无穷远处流向
B点，从B点流出，据对称性，其中也有I/4流经AB段。
现在假设电流I从A点流入，经过足够长的时间达稳定后，从B点流出的电流也应为I，经AB段的电流为两个I/4的叠加，如图2—10—15—甲所示，即为
，于是有UAB=（
）r.所以AB间的等效电阻RAB=UAB/I=r/2.
例17如图2—10—16所示，在半径为r的圆柱形区域内，充满与圆柱轴线平行的匀强磁场，一长为
r的金属棒MN与磁场方向垂直地放在磁场区域内，棒的端点MN恰在磁场边界的圆周上，已知磁感应强度B随时间均匀变化，其变化率为
=k，求MN中产生的电动势为多大？
解析由题可知，MN上有感应电动势，这种感应电动势无法直接计算。
但如果注意MN的长为
r，结合题意，可虚构两根与NM完全相同的金属棒与MN棒一起刚好构成圆的内接正三角形，如图2—10—16—甲所示.由法拉第电磁感应定律，这一回路中的感应电动势
MN上的感应电动势是整个回路中电动势的1/3，所以
针对训练
1．两个物体A和B，质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连，A静止于水平地面上，
如图2—10—17所示，不计摩擦，A对绳的作用力的大小与地面对A的作用力的大小分
别为（）
A．mg,（M－m）gB．mg,Mg
C．（M－m）g,MgD．（M+m）g,（M－m）g
2．如2—10—18所示，A、B是静止在水平地面
上完全相同的两块长木板，A的左端和B的右端
相接触，两板的质量皆为M=2.0kg，长度皆为L=1.0m，
C是质量为m=1.0kg的小物块。
现给它一个初速度
v0=2.0m/s，使它从板B的左端向右滑动，已知地面是
光滑的，而C与板A、B之间的动摩擦因数皆为μ=0.10，
求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动。
取重力加
速度g=10m/s2。
3．质量为m的物体A置于质量为M、倾角为θ的斜面体
B上，A、B之间光滑接触，B的底面与水平地面也是光滑
接触。
设开始时A与B均静止，而后A以某初速度沿B
的斜面向上运动，如图2—10—19所示，试问A在没有到
达斜面顶部前是否会离开斜面？
为什么？
讨论中不必考虑B向前倾倒的可能性。
4．半径为r、质量为m的三个相同的球放在水平桌面上，两两互相接触。
用一个高为1.5r的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三球套在筒内，圆筒的内径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持无形变接触。
现取一质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三球的上方正中。
设四个球的表面、圆筒的内壁表现均由相同物质构成，其相互之间的最大静摩擦系数为μ=3/
（约等于0.775），问R取何值时，用手缓慢竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？
5．如图12—10—20所示的一段封闭、水平放置
的粗细均匀的玻璃管中，有水银柱将气体隔成
了体积不同的左右两部分，初温T左>T右，当两
部分气体升高相同的温度时，判断水银柱如何移动。
（提示：
假设用一装置将水银柱固定住，两边气体
作等容变化。
）
6．如图2—10—21所示，A、B两容器容积相等，用粗
细均匀的细玻璃管相连，容器内装有不同气体，细管
中央有一段水银且保持平衡，此时A中气体的温度为
0℃，B中气体温度为20℃，若将它们的温度都降低
10℃，则水银柱将（）
A．向A移动B．向B移动
C．不动D．不能确定
7．如图2—10—22所示，半径为R的大球O被内切地挖去半径为R/2的小球O′，大球余下的部分均匀带电量为Q，试求距大球球心O点r处（r>R）P点的场强。
已知OP的连线经过小球球心。
8．如图2—10—23所示，两种电路中电源相同，各电阻器阻值相等，各电流表的内阻相等且不可忽略，电流表A1，A2，A3，和A4读出的电流值分别为I1、I2、I3和I4。
下列关系式中正确的是
A．I1=I3B．I19．如图2—10—24所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，质量为m、电量为+q的微粒在磁场中由静止开始下落，空气阻力不计。
求微粒下落的最大高度和最大速度。
10．两根相距d=0.2m的平行光滑金属长轨道与水平方向成30°角固定，匀强磁场的磁感应强度B=0.2T，方向垂直两导轨组成的平面。
两根金属棒ab、cd互相平行且始终与导轨垂直地放在导轨上，它们的质量m1=0.1kg,m2=0.02kg,两棒电阻均为0.02Ω，导轨的电阻不计。
如图2—10—25所示，ab棒在平行于导轨平面斜向上的外力作用下，以v=1.5m/s的速度沿斜面匀速向上运动，求在此过程中金属棒cd运动的最大速度。
11．两个定值电阻R1、R2串联后接在输出电压U稳定于12V的直流电源上。
有人把一个内阻不是远大于R1、R2的电压表接在R1两端，如图2—10—26所示，电压表的示数8V，如果把此电压表改接在R2的两端，则电压表的示数将（）
A．小于4VB．等于4V
C．大于4V，小于8VD．等于或大于8V
12．如图2—10—27所示的电路中，电池的电动势为ε，内阻为r，R1和R2是两个阻值固定的电阻。
当可变电阻R的滑片向a点移动时，通过R1的电流I1和通过R2的电流I2将发生如下的变化中，正确的是（）
A．I1变大，I2变小B．I1变大，I2变大
C．I1变小，I2变大D．I1变小，I2变小
十、假设法
1．A2．
3．不会离开斜面，因为A与B的相互作用力为
，始终为正值。
4．
5．水银柱将向左移动
6．A7．
8．B、D9．
10．
=1m/s，方向沿斜面向下11．A12．C
升级会员 