空间与图形中考如何复习.docx
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空间与图形中考如何复习
关于初三数学空间与图形复习的几点想法
我们知道空间与图形是初中数学的重要内容，在中考试题中也占有相当的比重。
第一部分：
数据分析
近五年来安徽省中考试卷空间与图形内容的分布情况：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
题量
9
9
9
10
9
累计分
62
69
56
66
61
占总分的百分比
41.3﹪
46﹪
37.3﹪
44﹪
41﹪
从表中可以看出，近五年来，空间与图形部分的总题量维持在9～10道题，分值在56～69分之间，占总分（150分）的37.3%～46%。
我们知道，近五年来安徽省中考试卷的选择题的9、10两题、填空题的第14题和解答题的第22题或第23题几乎是空间与图形题，而这些题在试卷中所占的分量都是比较重的。
第二部分：
关于近五年安徽中考试题几点感受：
1、趋于稳定
这种稳定不仅是题型、分值上的稳定，更是难易程度上的稳定。
我们感觉近五年来安徽省中考数学像和风细雨，难度平稳适当。
既考虑到知识的覆盖面，又突出了重点知识内容的考查，难易兼顾，又增强区分度，有利于学生的全面发展和高一级学校的选拔。
2、“空间与图形”内容方面的增加
这个增加体现在两个方面，一是分值比例的增加；二是考查地位的增加。
那为什么说考查地位也在增加呢？
我们看看它们所在的位置，13年在选择题的9、10两题、填空题的13、14两题和试卷的第23题（压轴题），14年的选择题的8、9、10三题、填空题的第14题和试卷的第23题都是“空间与图形”，具有较强的区分度，足见其考察地位的增加。
3、具体分析
发现为“四个不变、两个变化、两个加强”，具体如下：
四个较稳定的地方：
①视图，②图形变换，③解直角三角形，④相似。
①视图通过对近五年来中考视图的试题的比较，可以看出这部分的内容考查的一直是基础的内容，没有出现难度较大的题目。
②图形变换近几年来都有一道解答题是直角坐标系或网格中的图形变换，涉及到轴对称、平移、旋转和位似变换等图象变换。
复习时，一方面，让学生动手画图、操作，注意看清变换的几个要素，掌握图形变换技巧。
另一方面关注图形内的点P（x,y）通过变换后的坐标。
③解直角三角形.解直角三角形在安徽省中考数学试卷中考查的形式、难度基本不变,主要表现在三个方面，一是难度不大，二都是应用，三都是具体角的三角函数值。
复习时，这部分内容要求学生掌握用具体角的三角函数解基本图形的解题技巧即可，不必要通过大量的题海战术或者做复杂图形的解直角三角形。
④相似形相似一直是安徽中考试题的考查重点，也是难点。
建议在教学中，既要重视知识的传授，又要重视数学思想方法的渗透，只有两者和谐地同步实施，学生才能举一反三、触类旁通。
两个变化的地方：
①圆的要求降低,内容删减了；②梯形不考
圆的知识考查无论从数量上还是难度上都大大降低了要求。
在复习中建议紧扣考纲要求,精心选题,不要过度的让学生做一些难、繁、偏的题目，而注重圆中最基本的定理、重要的公式等较为基础的方面。
两个加强的地方：
全等三角形与四边形
第三部分：
关于中考复习的几点想法
1、关注考纲变化。
近年来考纲一直在变化，对于部分知识有删减，也有的知识的地位在增强。
只有了解了这些，才能做到有的放矢，不盲目，在有限的时间取得更好的效果。
2、注重数学思想方法的教学。
安徽省数学中考试题，对数学思想方法的考查力度加大了，对题海战术的冲击也加大了。
要培养学生数学思维能力，只讲解题方法，只讲题型训练是不够的，要想以不变应万变，提高学生数学思维能力（当然也包括解题能力）必须注意数学思想方法的教学，在培养学生数学思维能力上下功夫。
至于通过大量的题型训练，试图猜到中考题，已被近几年中考历史证明是徒劳的，是枉费心机。
一、第一轮复习。
（一）、重视构建知识网络——把握数学框架
要学会构建知识网络，数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学中考考查的重点。
因此，我们要掌握几何中的平行线、三角形、四边形、相似形、圆、视图的概念、分类，定义、性质和判定，并会应用这些概念去解决一些问题。
例如,在“平行四边形”复习中,遵循从特殊到一般再到特殊的数学思想,以图形的中心对称性和轴对称性作为出发点,就可以形成以下简约的认知线索,知识框架（如图1）：
图1
从整体的角度,平行四边形其实就是两个全等的三角形按中心对称的方式拼成的,接下来具体地用边、角、对角线三种元素的位置关系和数量关系来表示,对于特殊的平行四边形的判定,由于种属关系、逻辑关系比较复杂,因此特殊的平行四边形的判定是一个难点,有不少学生喜欢堆砌一些特殊条件来判定。
实际上我们只要紧紧抓住矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,因此必须具备两个条件：
一是平行四边形条件（共性）,二是特殊条件（个性）即可。
（二）、重视夯实数学双基——掌握知识技能
在复习过程中夯实数学基础，要注意知识的不断深化，注意知识之间的内在联系，将新知识及时纳入已有知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时，就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息，选出最佳组合信息，寻找解题途径、优化解题过程。
例如,平行线在不同的章节有着不同的地位和作用,复习完圆以后,我们就可以归纳总结平行线的作用：
⑴移角；⑵移比；⑶移线；⑷等面积移点。
又如，复习相似形时，我们可以归纳提炼出几种常见的、基本的相似模型：
⑴平行相似（“A”、“X”型）；⑵共边共角型母子相似；⑶一线三等角型相似（插角模型）；⑷旋转相似等。
二、第二轮复习。
中考第二轮复习的时间紧、任务重，我们既要系统的复习主干知识和核心内容，又要关注中考的热点和试题特征，准确把握复习方向；既要注重学生解题的数量和质量，又要注重揭示解题的思维过程，发现学生思维上的漏洞，及时加以弥补；既要关注学生的创新意识和能力的培养，又要注重“四基”的落实，发现薄弱之处及时带领学生回归教材；既要关注习题的选择，又要防止单纯地就题论题，注重解题后的反思，以积累解题经验、形成能力为落脚点；既要重视知识的综合、联系，又要关注数学思想方法、策略、学科能力的训练和培养，把复习工作真正落到实处。
（一）、重视基本题、基本图形的提炼和挖掘
如果把一道综合题比喻成一幢房子的话，那么具体的知识点就好比砖头、钢筋、水泥等，而基本题、基本图形就好比一堵墙、一个房间。
墙与墙之间、房间与房间之间如何搭建，就是解题的思路了。
在考场上，面对每一道题目，都要求学生在较短的时间内对解题思路做出选择和判断，如果熟悉一些基本题、基本图形，无疑能提高他们探索解题思路的速度。
例1如图2，在
ABCD中，4N、BP、C0、DM分别是四个角的
平分线，依次交于点E、G、F、H，已知AB=3，AD=5，求EH的长。
图2
分析：
此题图中包含以下几个基本图形：
如图3，△ABP是等腰三角形。
如图4，AE⊥BP，结合图4又可以得知点E为BP的中点。
如图5，四边形ANCO是平行四边形。
图3图4图5
因此，可以联系以下几个基本问题（满足原题条件）。
问题l：
在图3中，求线段PD的长。
问题2：
在图2中，求线段P0的长。
问题3：
在图2中，求证：
四边形EGFH是矩形。
结合这些基本图形和基本题，此题的思路可以整理如下：
先证明四边形ANC0是平行四边形，得AN∥C0，并且AN=C0。
接着证明E为BP的中点。
同理，点E、F分别为AN、C0的中点。
所以AE∥OF，且AE=OF。
所以四边形AEFO为平行四边形，所以EF=A0。
最后证得△0CD是等腰三角形，从而EF=5-3=2。
又如，等腰三角形、角都是轴对称图形，两条平行线组成的图形是中心对称图形，线段既是轴对称图形又是中心对称图形，如果从对称的角度，根据对称性补所缺的就可以得到一些基本图形，如：
过夹在两条平行线之间的线段的中点任作一条直线可得到一对成中心对称的全等三角形，绕线段的中点旋转就有倍长中线的辅助线的作法，角平分线＋垂线→等腰三角形，角平分线＋平行线→等腰三角形等。
（二）善于采用题组教学
以近几年全国各地学业考试试题为基本素材，精心选择和配备例、习题，以中档题为训练重点，以题组训练为主。
题组教学的特点是题组内各个习题之间具有一定的内在联系（或条件（包括图形）相似，或结论一致，或方法相同）。
教学过程中，教师更应发挥习题间的这种共性，激发学生的兴趣及参与热情。
通过题目变式，多题一解掌握解题通法，抓住变中的不变，提炼归纳出图形的共性，加深对图形本质的认识；通过方法变式，一题多解，多解归一，帮助学生寻找解题的“切入点”，领会数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想。
例2：
“相似三角形”专题复习以一组平行线为载体的组题设计：
引例：
如图6，点B、P、C在同一条直线上，且∠ABP=∠APD=∠C，我们不妨把具备这种条件的图形叫做“一线三等角”型基本图形。
得到两个结论：
（1）△ABP∽△PCD；
图7图8
图6
（2）AB·CD=PC·BP。
我们把它们叫做“一线三等角”型基本图形的一般性质。
问题l：
如图7，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线问的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=￣＿。
问题2：
如图8，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC=90°。
AD∥BC，且AB=3AD，则tanα=＿。
问题3：
如图9，现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm。
调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，测得∠a=32°。
（1）求矩形卡通图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的卡通图案?
（参考数据：
sin32°≈0.5，COS32°≈0.8，tan32°≈0.6）
图9
图10图11
问题4：
如图10，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为3，则AC的长是（）。
问题5：
如图1１，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC的边长。
组题解析：
以上5个问题表面上各不相同，但其本质相同，都可以通过适当的添线，构造出引例中的“一线三等角”的基本图形，达到应用基本图形解决问题的目的。
复习阶段教师要将同类问题像“链条”一样串联起来，多题归一，环环紧扣，层层递进，这样能够使学生懂其原理，知其方法，通其变化，从而解决问题，获得方法，提高数学思维能力。
又如有关角平分线的性质的应用，可以从以下几个方面设计题组：
⑴三角形的两条角平分线（内角或外角）的交角与第三个角的关系；⑵共边的两个角的平分线的交点到三边的距离相等；⑶角平分线与平行线；角平分线与垂线；⑷利用角平分线进行翻折变换；⑸角平分线上的点到角的两边的距离相等，等等。
（三）、培养学生养成解题后反思的习惯，帮助学生形成和运用数学思想方法
要求学生除了做基础训练题、平面几何每日一题外，还可以做一些综合题，并且养成解题后反思的习惯。
反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣，反思各种方法的纵横联系。
从而总结出它所用到的数学思想、策略方法及同一类型问题的解法，帮助学生在数学思想的指导下建构起相应的数学模型，并将它们用到新的情境中去，进行体验和认识的又一次深化过程。
例3（2006年江西省课标卷）问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
1
图12，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，若BM与CN相交于点0，若∠BON=60°，则BM=CN；
图13
图12
2图13，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，若BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN。
然后运用类比的思想提出了如下命题：
3图14，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，若BM与CN相交于点O，若∠BON=108。
，则BM=CN。
图14
图15
任务要求
（1）请你从上述①、②、③三个命题中选择一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索：
①如图14，在正n（n≥3）边形ABCDE……中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CE相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立?
（不要求证明。
）
②如图15，在正五边形ABCDE中，当M、N分别是DE、AE上的点，且BM与CN相交于点O，当∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立?
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
解完此题后，可以引导学生总结反思这些题目表面上各不相同，但其本质相同都可以归结为下列基本模型：
已知：
如上图∠ABC=∠BCD=α，AB=BC，点M、N分别是射线BC、CD上的点，若AM、BN相交于点O，∠AON=α，则BM=CN。
又如，几何中我们经常要用到方程思想来求线段的长度和角的度数，通过解题反思我们可以总结出求线段的长的常用等量关系是：
①面积的不变性；②勾股定理；③相似三角形的性质；④直角三角形的边与角的关系。
例4、如图16，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在X轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8。
在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标。
例5（2007年江苏·南京卷）已知：
如图１7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6。
∠ABC=60°。
点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°，设AE=ｘ，DE=ｙ
（1）求ｙ与x的函数关系式。
（2）当ｘ为何值时，ｙ有最大值，最大值是多少?
图17
图16
例6．（安徽省2009年中考题）如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）。
（1）画出拼成的矩形的简图；
（2）求
的值。
解：
（2）解法一：
由拼图前后的面积相等得：
[（x+y）+y]y=（x+y）。
因为y≠0，整理得（
）2+
-1=0，解得
=
（
解法二：
由拼成的矩形可知：
再譬如，几何图形的证明与计算中，我们经常需要引入一个辅助量（或中间量），即辅助量思想，它相当于一个桥梁的作用。
这个辅助量可以是辅助角、辅助线段、辅助三角形、中间比、中间积、线段上辅助点、从角顶点出发的辅助射线。
譬如，在说明两个角的关系时，我们可以考虑能不能找到第三个角（即辅助角）和这两个角都有关联。
例７已知：
线段AB=4，延长AB至点C，使AC=11。
点D是AB的中点，点E是AC的中点。
求DE的长。
解：
如图18，4=20，因为AB=4，点D为AB中点，故AD=2。
又因为AC=11，点E为AC中点，AE=5.5。
故DE=AE-AD=5.5-2=3.5。
图18
图19
例８、如图，平移一张边长为2的正方形纸片ABCD去覆盖一张斜边长为4的等腰直角△EKG纸片（BC与EG在同一条直线上），设点C与点E之问的距离为ｘ（0≤ｘ≤4）。
三角形没有被覆盖住部分的图形面积为ｙ。
则ｙ关于ｘ的函数图象的大致形状是（）
例9l0时30分时，钟表的分针与时针所成的角为（）
图21
（A）180°（B）135（C）240°（D）120°
图20
例10、如图21，已知：
△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC，EF⊥AB，垂足为F。
求证：
CE=C0
例11、在△ABC中，点D是AB上的一点，AD∶DB=1∶2，DE∥BC，DE交AC于点E，若S△BDE=S0，则S△BDE=＿。
图22
图23
例12、如图23，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M、N。
（1）图中相似三角形共有上对；
（2）证明：
AM2=MN·MP；
（3）若AD=6，DC∶CP=2∶1，求BN的长。
（四）、二轮复习应慎重选题
1、选择好“宽进严出”的试题
好题的标准并不是试题难度越大越好，好的题目应该让各类学生都能入手，解决问题的方法应该多样化，但是好的试题也应该有它的区分度，思维能力不同的学生解决问题的程度应有所区别，就是我们通常所说的：
题目入口要宽，出口可以窄一些。
例13、按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据．要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（i）新数据都崔60～100（含60和l00）之间：
（ii）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y与x的关系式是y=x+p（100-x），请说明：
当p=
时，这种变换满足上述两个要求；
（2）若按关系式Y=α（x-h）2+k（α＞0）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
2、选择好“蕴含丰富的数学思想”的试题
数学考试中很多难度较大的压轴题，或者在中考中涌现出来的好题，大多数都是数学思想方法比较丰富的试题，学生只有真正掌握和内化了这些数学思想方法，才能顺利地解决问题。
可以这样说：
好的数学思想方法支撑了好的数学试题，所以好的试题中应蕴含常见的数学思想方法，只有让学生理解和灵活运用数学思想方法，学生的思维能力才能得以提高。
例14、如图24，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）。
（1）求证：
h1=h3；
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：
S=（h1+h2）2+h12；
（3）若
h1+h2=1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况。
图24
3、选择好“促进学生思维能力的提升”的试题
选择的试题应该在学生思维的薄弱环节处提高学生思考问题的策略与技巧，在提高学生思维的深刻性和灵活性上有所建树，选题应把促进学生思维能力的发展作为出发点和归宿点。
例15问题探究
图25图26图27
（1）请在图25中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图26，M是正方形ABCD内一定点．请在图7中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）。
使它们将正方形A8CD的面积四等分，并说明理由。
问题解决
（3）如图27，在四边形ABCD中，AB//CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD面积分成相等的两部分?
若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由。
图28图29图30
解析：
（1）如图28
（2）如图29，连接AC、BD交于点D，作直线OM分别交AD、BC于点P、Q，过点O作PQ的垂线分别AB、CD于点E、F，则直线OM、EF将正方形的面积四等分。
由O是正方形ABCD的对称中心，得AP=CQ，BE=DE
由四边形ABCD的正方形，得OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，AC⊥BD。
由EF⊥PQ，得∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠ADE，则∠AOP=∠BOE，则△AOP≌△BDE。
则AP=BE=CQ=DF，AE=BQ=CF=DP，
设点O到正方形一边的距离为d，
（AE+AP）d=
（BQ+BE）d=
（CF+CQ）d
=
（DP+DF）d。
则S四边形OPAE=S四边形OEBQ=S四边形OQDF=S四边形OFDP
要经过正方形内一点将它的面积四等分，对学生的思维能力要求较高。
思维要具有一定的灵活性和创新性，若反过来，此题中给出的条件为加上EF，证明正方形的面积被四等分，那么难度就大大降低了。
通过证明△AOE、△BOQ、△COF、△DOP全等，也可以解决问题，这样的试题恰好就反映了学生思维的薄弱环节，问题的方法和策略要求学生自己去探索，要数学化地进行思维，恰好命中了学生思维的肓点。
4、选择好“有普遍性和可移植性”的试题
选择的试题应该注重解的通法，不过分强调特殊的解题技巧，解题所用的解题策略和数学思想方法具有普遍性，问题的解决方法具有共性，可以移植到其他问题的解决上，要有利于学生进行知识类比和正迁移，真正促成学生思维能力有质的飞跃。
我们教师应指导学生做一定数量的好的数学习题，积累解题经验、总结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法
案例（同例15）
解析：
第三问：
存在，当BQ=CD=b时，直线即将四边形ABCD的面积二等分。
如图30，延长BA至E．使E=b，延长CD至点F，使DF=a，连接EF。
由BE
CF，得四边形BCFE是平行四边形。
BC=AB+CD=a+b，BE=AB+AE=a+b。
则四边形BCFE是菱形，
连接BF，如D于点M，易证△MAB≌△MDE
则AM=DM，则P、M俩点重合，点P为菱形的对称中心，
在BC上截取BQ=CD=b，则AB=CQ=a，
设点P到菱形BC腰一边的距离为d，
（AB+BQ）d=
（CD+CQ）d=
（a+b）d。
则S四边形ABQP=S四边形CDPQ
回顾此问题的解决方法，应该是有一些共性的，将一个图形的面积四等分,数学化地思考问题,可以先将图形的面积二等分,对于中心对称的图形来说，经过对称中心的任意一条直线都能将其面积平分，然后将平分的面积再平分就实现了面积四等分，第一问则反其道而行之，要将梯形的面积二等分，由前面两问的方法，先构造一个中心对称图形（菱形），把它的面积四等分，也就实现了梯形面积的二等分，在很多数学问题中，如角和线段的倍分关系，都可以采用类似的思考问题的办法，思考此类问题的策略也具有一般性和可移植性，此题还可以引发更深的思考，对于平行四边形、梯形、甚至一般的四边形，如何把它们的面积等分及四等分呢?
以上是我的一些不成熟的想法，耽误了大家许多宝贵的时间，不妥之处，请批评斧正！
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