分段函数常见题型解法含答案.docx

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分段函数常见题型解法含答案

【知识要点】

分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.

1、求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：

，不要写成

.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域

.一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.

2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.

3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.

4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：

定义法.方法二：

数形结合.

5、分段函数的值域（最值）,方法一：

先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.方法二：

数形结合.

6、分段函数的单调性的判断，方法一：

数形结合，方法二：

先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.

7、分段函数的零点问题，方法一：

解方程，方法二：

图像法，方法三：

方程+图像法.和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.

虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的.

【方法讲评】

题型一

分段函数的解析式问题

解题方法

一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.

【例1】已知函数

对实数

满足

，若当

时，

.

（1）求

时，

的解析式；

（2）求方程

的实数解的个数.

（2）

是奇函数，且以2为周期.方程

的实数解的个数也就是函数

的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程

的实数解的个数为2.

【点评】

（1）本题的第一问，根据题意要把

分成三个部分，即

再一段一段地求.在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等.

（2）本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.