完整版高数中需要掌握证明过程的定理一docWord文档下载推荐.docx
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证明：
ln（1
x）
1：
由极限lim（1x）x
e两边同时取对数即得
。
limex1
在等式limln（1
1中，令ln（1
t，则x
et
1。
由于极限
过程是x
0，此时也有t
t
极限的值与取极限的符号
0，因此有lim
t0et
是无关的，因此我们可以吧式中的
t换成x，再取倒数即得limex
lna：
利用对数恒等式得lim
limexlna
1，再利用第二个极限可
得limexlna
lnalimexlna1
lna。
因此有limax
x0xlna
（1
x）a
a：
利用对数恒等式得
limealn（1
alimealn（1x）
1ln（1x）
1limln（1x）
a
x0aln（1
x）x0
上式中同时用到了第一个和第二个极限。
sinx
cosx
2sin2
：
利用倍角公式得
x2
2x0
2）导数与微分的四则运算法则
（uv）'
u'
v'
d（uv）dudv
（uv）'
vuv'
d（uv）
vdu
udv
（u）'
vu'
uv'
d（u）
udv（v0）
v
v2
这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。
而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概
念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。
具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。
3）链式法则
设yf（u）,u
（x），如果
（x）在x处可导，且f（u）在对应的u
（x）处可导，
则复合函数y
f（（x））在x处可导可导，且有：
f（
（x））
f'
（u）'
（x）或dy
dydu
'
同上。
dx
dudx
4）反函数求导法则
设函数y
f（x）在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'
（x）
0，并令其反函
数为x
g（y），且x0所对应的y的值为y0，则有：
g
（y0）
（x0）
（g（y0））
或dy
dy
5）常见函数的导数
x1，
cosx，cosx
sinx，
lnx'
1，logax'
，
xlna
e
x'
，a
elna
这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。
实际上，
掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。
现选取其中典型予以证明。
1：
导数的定义是f'
f（x
f（x），代入该公式得
（x
x）
1lim
x）1
1。
最后一
步用到了极限
0的情形。
a。
注意，这里的推导过程仅适用于
x0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。
cosx：
利用导数定义sinx
sin（x
sinx，由和差化积公式得
limsin（xx）
2cos（x
x）sin
cosx
sinx的证明类
似。
ln（x
lnx
利用导数定义lnx
lnx）。
logax
的证明类似（利用换底公式
loga
xlna
lna
利用导数定义
e（xx）
ex1
a
lna的
lime
证明类似（利用对数恒等式
ax
exlna）。
6）定积分比较定理
如果在区间[a,b]上恒有f（x）0，则有
b
f（x）dx0
推论：
ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f（x）
g（x），则有f（x）dx
g（x）dx；
ⅱ设M和m是函数f（x）在区间[a,b]上的最大值与最小值，则有：
m（ba）f（x）dxM（ba）
定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。
掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。
具体的证明过程教材上有。
7）定积分中值定理
设函数f（x）在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使得下式
成立：
f（x）dxf（）（ba）
微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。
考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。
具体证明过程见教材。
8）变上限积分求导定理
如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数
可导，并且它的导数是
d
f（x）dxf（x）,ax
dxa
设函数F（x）
u（x）
（x）f（u（x））u'
f（t）dt，则有F
v（x）
（x）f（x）dx在[a,b]上
f（v（x））v'
（x）。
不说了，考试直接就考过该定理的证明。
9）牛顿-莱布尼兹公式
如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则有
f（x）dxF（b）F（a），其中F（x）是
f（x）的原函数。
微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。
10）费马引理：
设函数f（x）在点x0的某领域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的
xU（x0），有f（x0）f（x）或f（x0）f（x），那么f'
（x0）0
费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。
11）罗尔定理：
如果函数f（x）满足
（1）在闭区间
[a,b]
上连续；
（2）在开区间
（a,b）
上可导
（3）在区间端点处的函数值相等，即
f（a）
f（b）
那么在
（a,b）内至少存在一点
（a
b），使得f
（）
0。
罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；
它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。
这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。
中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。
具体证明过程见教材。
12）拉格朗日中值定理：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导
那么在（a,b）内至少存在一点
b），使得f'
f（a）。
13）柯西中值定理：
如果函数f（x）和g（x）满足
f（a）。
g'
g（b）
g（a）
14）单调性定理：
设函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导。
如果在（a,b）上有f（x）0，那么函数f（x）在[a,b]上单调递增。
这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。
仅证明
（x）0的情形，f'
（x）0的情形类似。
x1,x2
（a,b），假定x1x2
则利用拉个朗日中值定理可得，
x2,x2使得f（x1）f（x2）f'
（x1x2）。
由于f'
0，因此f（x1）
f（x2）
由x1,x2
的任意性，可知函数
f（x）在[a,b]上单调递增。
14）（极值第一充分条件）
o
设函数f（x）在x0处连续，并在x0的某去心邻域U（x0,）内可导。
ⅰ）若x
（x0
x0）时，f'
0,而x
（x0,x0
）时，f'
0,则f（x）在x0处
取得极大值
ⅱ）若x
取得极小值；
ⅲ）若x
U（x0,）时，f'
（x）符号保持不变，则f（x）在x0处没有极值；
单调性定理的推论，具体证明过程见教材。
15）（极值第二充分条件
）
设函数
f（x）
在
x0处存在二阶导数且
（x0）
0，那么
ⅰ）若f'
0,
则f（x）在x0
处取得极小值；
ⅱ）若f'
处取得极大值。
这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。
仅证明f'
0,的情形，f'
0,的情形类似。
由于f（x）在x0处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。
x0的某领域
x0
内成立f（x）
fx0
x0
0，因此
xx0
oxx0
2f'
由高阶无穷小的定义可知，当x
0，又由于fx0
0，
x0时，有
因此在x0的某领域内成立
进一步，我们有fx0
f
x0。
也即，在x0的某领域内成立f（x）
由极值点的定义可知f（x）在x0处取得极小值。
16）洛必达法则
设函数f（x）,g（x）在x
a的空心邻域内可导，g'
0，且lim
A
xag'
则有lim
。
A，其中A可以是有限数，也可以是
xag（x）
洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。
洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。
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