三、解答题（19题12分，20～23题每题8分，24题10分，25题12分，共66分）
19．用适当的方法解下列方程．
（1）x2－x－1＝0;
（2）x2－2x＝2x＋1；
（3）x（x－2）－3x2＝－1;（4）（x＋3）2＝（1－2x）2.
20．已知关于x的一元二次方程（m＋1）x2－x＋m2－3m－3＝0有一个根是1，求m的值及另一个根．
21．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：
解方程x（x＋4）＝6.
解：
原方程可变形，得
[（x＋2）－2][（x＋2）＋2]＝6.
（x＋2）2－22＝6，
（x＋2）2＝6＋22，
（x＋2）2＝10.
直接开平方并整理，得x1＝－2＋
，x2＝－2－
.
我们称这种解法为“平均数法”．
（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x＋2）（x＋6）＝5时写的解题过程．
解：
原方程可变形，得
[（x＋□）－○][（x＋□）＋○]＝5.
（x＋□）2－○2＝5，
（x＋□）2＝5＋○2.
直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤.
上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“¤”表示的数分别为________，________，________，________.
（2）请用“平均数法”解方程：
（x－3）（x＋1）＝5.
22．已知x1，x2是关于x的一元二次方程（a－6）x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
（2）求使（x1＋1）（x2＋1）为负整数的实数a的整数值．
23．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30辆．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么该月需售出多少辆汽车？
（注：
销售利润＝销售价－进价）
24．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离是10cm?
（第24题）
25．杭州湾跨海大桥通车后，A地到宁波港的路程比原来缩短了120km.已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的
h缩短到2h.
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与
（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：
1车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
参考答案及解析
一、1.D 2.C 3.B 4.D
5．A 点拨：
第一次降价后的价格为289×（1－x）元，第二次降价后的价格为289×（1－x）×（1－x）元，则列出的方程是289（1－x）2＝256.
6．C 7.D 8.C 9.D
10．B 点拨：
设AC交A′B′于H.
∵∠A＝45°，∠AA′H＝90°，
∴△AA′H是等腰直角三角形．
设AA′＝xcm，则A′H＝xcm，A′D＝（2－x）cm.
∴x（2－x）＝1，解得x1＝x2＝1.
即AA′＝1cm.故选B.
二、11.4
12．a<1且a≠0
13．2 点拨：
∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝k.
∴
＋
＝
＝
＝3.
解得k＝2.经检验，k＝2满足题意．
14．100（1＋x）＋100（1＋x）2＝260
点拨：
根据题意知：
第二季度投入资金100（1＋x）万元，第三季度投入资金100（1＋x）2万元，
∴100（1＋x）＋100（1＋x）2＝260.
15．1 点拨：
由方程x2－4x＋3＝0，得
（x－1）（x－3）＝0，
∴x－1＝0或x－3＝0.
解得x1＝1，x2＝3；
当x＝1时，分式方程
＝
无意义；当x＝3时，
＝
，
解得a＝1，
经检验，a＝1是方程
＝
的解．
16．4 点拨：
设她周三买了x瓶酸奶，根据题意得（x＋2）·
＝10＋2，化简得x2＋6x－40＝0，解得x1＝4，x2＝－10.经检验．x1＝4，x2＝－10都是分式方程的根，但x＝－10不符合题意，故x＝4.
17．3或－3 点拨：
x2－5x＋6＝0的两个根为x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2.
当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝2×3－32＝－3；
当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32－2×3＝3.
18．6 点拨：
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，∴AD＝BD＝CD＝8
cm.
又∵AP＝
tcm，
∴S1＝
AP·BD＝
×
t×8
＝8t（cm2），PD＝（8
－
t）cm.易知PE＝AP＝
tcm，∴S2＝PD·PE＝（8
－
t）·
tcm2.∵S1＝2S2，
∴8t＝2（8
－
t）·
t.解得t1＝0（舍去），t2＝6.
三、19.解：
（1）（公式法）a＝1，b＝－1，c＝－1，
所以b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5.
所以x＝
＝
，
即原方程的根为x1＝
，
x2＝
.
（2）（配方法）原方程可化为x2－4x＝1，
配方，得x2－4x＋4＝1＋4，（x－2）2＝5.
两边开平方，得x－2＝±
，
所以x1＝2＋
，x2＝2－
.
（3）（公式法）原方程可化为2x2＋2x－1＝0，
a＝2，b＝2，c＝－1，b2－4ac＝22－4×2×（－1）＝12.
所以x＝
＝
，
即原方程的根为x1＝
，x2＝
.
（4）（因式分解法）移项，得（x＋3）2－（1－2x）2＝0，
因式分解，得（3x＋2）（－x＋4）＝0，
解得x1＝－
，x2＝4.
20．解：
∵（m＋1）x2－x＋m2－3m－3＝0有一个根是1，
∴（m＋1）·12－1＋m2－3m－3＝0.整理，得m2－2m－3＝0，
∴（m－3）（m＋1）＝0.
又∵方程（m＋1）x2－x＋m2－3m－3＝0为一元二次方程，
∴m＋1≠0，∴m－3＝0.∴m＝3.
∴原方程为4x2－x－3＝0，
解得x1＝1，x2＝－
.
∴原方程的另一个根为－
.
21．解：
（1）4；2；－1；－7（最后两空可交换顺序）；
（2）（x－3）（x＋1）＝5，
原方程可变形，
得[（x－1）－2][（x－1）＋2]＝5，
整理，得（x－1）2－22＝5，
（x－1）2＝5＋22，即（x－1）2＝9，
直接开平方并整理，得x1＝4，x2＝－2.
22．解：
（1）存在．Δ＝4a2－4a（a－6）＝24a，
∵一元二次方程有两个实数根，
∴Δ≥0，即a≥0.又∵a－6≠0，
∴a≠6.∴a≥0且a≠6.由题可知x1＋x2＝
，x1x2＝
.
∵－x1＋x1x2＝4＋x2，即x1x2＝4＋x1＋x2，
∴
＝4＋
.解得a＝24，经检验，符合题意．∴存在实数a，a的值为24.
（2）（x1＋1）（x2＋1）＝x1＋x2＋x1x2＋1＝
＋
＋1＝
.
∵
为负整数，
∴实数a的整数值应取7，8，9，12.
23．解：
（1）当x≤5时，y＝30.
当5∴y＝
（2）当x≤5时，（32－30）×5＝10<25，不合题意．
当5（32＋0.1x－30.5）x＝25，
∴x2＋15x－250＝0.
解得x1＝－25（舍去），x2＝10.
∴该月需售出10辆汽车．
（第24题）
24．解：
（1）设P，Q两点从出发开始到xs时，四边形PBCQ的面积为33cm2，则AP＝3xcm，CQ＝2xcm，所以PB＝（16－3x）cm.因为（PB＋CQ）×BC×
＝33，所以（16－3x＋2x）×6×
＝33.解得x＝5，所以P，Q两点从出发开始到5s时，四边形PBCQ的面积为33cm2.
（2）设P，Q两点从出发开始到as时，点P和点Q之间的距离是10cm.
如图，过点Q作QE⊥AB于E，易得EB＝QC，EQ＝BC＝6cm，
所以PE＝|PB－BE|＝|PB－QC|＝|16－3a－2a|＝|16－5a|（cm）．
在Rt△PEQ中，PE2＋EQ2＝PQ2，所以（16－5a）2＋62＝102，即25a2－160a＋192＝0，解得a1＝
，a2＝
，所以P，Q两点从出发开始到
s或
s时，点P和点Q之间的距离是10cm.
25．解：
（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为xkm，
由题意得
＝
，解得x＝180.
∴A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180km.
（2）1.8×180＋28×2＝380（元），
∴该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是380元．
（3）设这批货物有y车，由题意得y[800－20×（y－1）]＋380y＝8320，整理得y2－60y＋416＝0，解得y1＝8，y2＝52（不合题意，舍去），
∴这批货物有8车．
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