mba数学基础阶段讲义.doc
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第一章实数的概念性质和运算
(甲)内容要点
一、充分条件
定义:
如果条件A成立,那么就可以推出结论B成立。
即AB,这时我们就说A是B的充分条件。
例如:
A为x>0,B为x0,BO 2>0.
由x>0x2>0A是B的充分条件.
MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”:
本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.(而不必考试条件是否必要)
在这类题目中有五个选项,规定为
(A)条件
(1)充分,但条件
(2)不充分;
(B)条件
(2)充分,但条件
(1)不充分;
(C)条件
(1)和
(2)单独都不充分,但联合起来充分;
(D)条件
(1)充分,条件
(2)也充分;
(E)条件
(1)和
(2)单独都不充分,联合起来也不充分.
二、实数
1、数的概念和性质
(1)自然数N、整数Z、分数(百分数%)
(2)数的整除:
设a,b∈Z且b≠0若P∈Z使得a=pb成立,则称b能整除a,或a能被 b整除,记作b︱a,此时我们把b叫做a因数,把a叫做b的倍数。
定理(带余除法),设a,b∈Z,且b>0,则P,r∈Z使得a=bP+r,0≤r
(3)质数与合数
质数:
如果一个大于1的整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(或素数).例如:
2、3、5、7、、、.
合数:
一个大于1的正整数,除了能被1和本身整除外,还能被其他正整数整除.这样的正整数叫做合数.例如:
4、6、9、、、.
(4)有理数与无理数
有理数,整数、有限小数和无限循环小数,统称为有理数.
无理数;无限不循环小数叫做无理数.
(5)实数;有理数和无理数统称为实数,实数集用R表示.
2、实数的基本性质:
(1)实数与数轴上的点一一对应.
(2)a,b∈R,则在ab中只有一个关系成立.
(3)a∈R,则a2≥0.
3、实数的运算.
实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律,结合律和分配律。
下面讨论实数的乘方和开方运算
(1)乘方运算
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当a∈R,a≠0时,a0=1,a-n=,负实数的奇数次幂为负数;负数的偶次数幂为
正数。
(2)开方运算
在实数范围内,负实数无偶次方根;0的偶次方根是0;正实数的偶次方根有两个,它们互为相反数,其中正的偶次方根称为算术根。
在运算有意义时,
三、绝对值
1、定义 实数a的绝对值,用︱a︱表示
几何意义:
数轴上表示数a的点A到原点O的距离。
2、性质
(1)︱a︱≥0
(2)︱–a︱=︱a︱
(3)–︱a︱≤a≤︱a︱
(4)
(5)
(6)(a≠0)
(7)︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱,当且仅当a,b同号时,等式成立.
(8)︱a-b︱≥︱a︱-︱b︱,当且仅当a,b同号时,等式成立.
(9)a∈R时,︱a︱2=a2
四、平均值
1、算术平均值:
n个数的算术平均值为
2、几何平均值:
n个正数,的几何平均值为
五、比和比例
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1、比的意义:
两个数相除,又叫做这两个数的比记做、即
a叫做比的前项,b叫做比的后项,若的商为k则称k为a:
b的值。
2、比的性质
(1)a:
b=ka=kb
(2)a:
b=ma:
mb(m≠0)
3、百分比
把比值表示成分母为100的分数,这个数就称为百分比或百分率,如1:
2=50%
a:
b=r%常表述为a是b的r%,即a=br%.
4、比例的定义
如果两个比a:
b和c:
d的比值相等,就称a、b、c、d成比例,记作
a:
b=c:
d或=a和d叫做比例的外项,b和c叫做比例的内项。
当a:
b=b:
d时,称b为a和d的比例中项即b2=ad
(乙)典型例题
一、充分条件判断,举例
1、方程x2-5x+6=0
(1)x=2
(2)x=1
解:
将
(1)x=2代入方程,22-52+6=0满足方程.
条件
(1)充分.
将
(2)x=1代入方程12-51+6=20条件
(2)不充分.答案应选A
注:
若比题题干不变
所给出的条件有如下变化时:
(一)
(1)x=1,
(2)x=3答案应选B
(二)
(1)x=2
(2)x=3答案应选D
(三)
(1)x=0
(2)x=1答案应选E
2、等式x=y成立(x,y实数)
(1)x2=y2
(2)x和y同号
解:
由x2=y2x=y或x=-y条件
(1)不充分.x和y同号时,可能x-y,条件
(2)不充分.
但条件
(1)与
(2)联合起来,x2=y2且x与y同号x=y故答案选C
3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高
(1)录入员甲与录入员丙合作,需3小时完成;
(2)录入员乙与录入员丙合作,需4小时完成;
解:
设甲单独录入需x小时录完,乙单独录入y小时录完.
由条件
(1)丙每小时录入量为-,再由条件
(2)得+(-)==+>
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即:
甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量.
即:
甲的效率比乙高,此题应选C
二、实数
5、从1到105的自然数中,能被3整除或被5整除的数的个数是()
(A)58个(B)57个(C)56个(D)49个(E)47个
解:
能被3整除的数可表示为3k,k=1,2、、、、35是1到105能被整除的数.能被5整除的数可表示为5k,k=1,2、、、、,21是1到105能被整除的数.
3和5的最小公倍数是15既能被3整除,又能被5整除的数一定是15的倍数,可表示为15k,k=1,2、、、、、7是从1到105中能被15整除的数,从而能被3整除或被5整除的个数为35+21-7=49个答案是D
5、(充分性判断)(2009年10月考题)
m是一个整数。
(1)若m=,其中p与q为非零整数,且m2是一个整数。
(2)若m=,其中p与q为非零整数,且是一个整数。
解:
由条件
(1),若m=,知m是有理数,又m2是一个整数,即有理数的平方是整数,则该有理数m必是一个整数,条件
(1)充分
由条件
(2),若m=,知m是有理数,又=z是一个整数,即2m+4=3 zm=故m不一定是一个整数,条件
(2)不充分,故选A.
6、(2008年10月考试)
一个大于1的自然数的算术平方根为a,则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为()
(A)-1,+1(B),(C),,(D),(E),
解:
设n是大于1的自然数,则,分别为,,从而,的算术平方根分别为,故选D
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7、把无理数记作,它的小数部分记作则等于()
(A)-1(B)1(C)-2(D)2(E)-3
解:
因为9<13<16所以3<<4,故的整数部分是3,即b=a-3.所以,答案选E
三、绝对值
8、已知︱︱+()2=0,则logyx=_______
解:
由
log28=3答案:
3
9、求适合下列条件的所有x的值
(1)
(2)
(3)
解:
(1)
(2)
(3)
10、已知.
解:
已知等式可能简化表示为
由
所以取值范围是
11、(2001年考题)
已知
(A)2(B)-2(C)12(D)-12(E)6
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解:
由则可知
当
从而
当
从而所以答案选C
12、(充分性判断)
方程f(x)=2有且只有一个实根
(1)
(2)
解:
由
(1)得
得,x=3,条件
(1)充分
由
(2),
此方程有两个实根:
所以条件
(2)不充分,此题应选A
13、(充分性判断)(2003年考题)
不等式
(1)
解:
即,显然当,不等式无解,即条件
(1)充分
当时,不等式有解,即条件
(2)不充分,所以选A
三平均值
14、将一长为a的线段截成为x和a-x,使x恰是a与a-x的几何平均值,我们称对任意一个量a的这种分割为黄金分割,试求x
解:
由已知,得
两边平方整理得
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舍去负值,即
15、(问题求解)
车间共有40人,某次技术操作考核的平均值成绩为80分,某中男工平均成绩为83分,女工平均成绩为78分,该车间有女工()
(A)16人(B)18人(C)20人(D)22人(E)24人
解:
设该车间有女工x人,则有男工(40-x)人
由已知女工的平均成绩为78分,女工所得总分为
故
故此题应选E
16、(2006年考题)
如果三个数的算术平均值为5,则与8的算术平均值为()
(A)(B)(C)7(D)(E)
解:
由已知
即
因此
所以选C
17、(充分性判断)
a与b的算术平均值为8
(1)a,b为不等的自然数,且,的算术平均值为
(2)a,b为自然数,且,的算术平均值为
解:
由条件
(1)知
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又因a,b是自然数,故a,b中至少有一个是3的倍数
不妨设a为3的倍数,即a=3k(k为自然数)
则
由于k与k-1互质,所以k-1必为3的约数.
又因a>3所以k-1>0因此k-1=1或k-1=3
即k=2或k=4
当k=2时a=6,b=6,此时a,b的算术平均值为6不是8
当k=4时a=12,b=4
此时
所以条件
(1)充分,条件
(2)不充分,故选A
18、试判断x与三个数的算术平均值与x的大小关系
解:
因为有意义,所以
于是算术平均值
所以(当且仅当时等号成立)
四比和比例
19、设求使成立的z值
解:
由已知条件,设
所以代入
所以
20、一公司向银行借款31万元,欲按的份额分配给下属甲、乙、丙三个车间进行技术改造,求甲车间应得的款数.
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解:
设甲、乙、丙三个车间应得的款数依次为万元,万元,万元,于是有++=31
故甲车间应得=15(万元)
21、(问题求解)(2009年考题)
某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:
12,由于先增加若干女运动员,于是男女运动员比例变为20:
13,后又增加了若干男运动员,于是男女运动员的比例最终变为30:
19,如果后增加的男运动员比先增加的女运动员才多3人,则最后运动员的总人数为()
(A)686(B)637(C)700(D)661(E)600
解:
设原男女运动人数分别a与b,后增加女运动员x人,增加男运动员为y人
则有
从而最后运动员总人数为380+240+7+10=637(人)
所以选B
22、(问题求解)(2005年考题)
甲,乙两个储煤仓库的库存煤量之比为10:
7,要使这两个仓库的库存煤量相等,甲仓库需向仓库搬入的煤矿量占甲仓库库存煤量的()
(A)10%(B)15%(C)20%(D)25%(E)30%
解:
设甲仓库存煤矿量为a吨,则乙仓库存煤量为吨,现从甲仓库运走x吨,依题意
所以=15%故选B
23、(充分性判断)(2003年考题)
某公司得到一笔贷款共68万元,用于下属三个工厂的设备改造,结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到36万元,24万元和8万元
(1)甲、乙、丙三个工厂按的比例分配贷款.
(2)甲、乙、丙三个工厂按9:
6:
2的比例分配贷款.
解:
设甲、乙、丙三个工厂分别得到贷款为x、y、z(万元)
由条件
(1)知
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于是,,条件
(1)充分
由条件
(2)设一份贷款为a(万元),
则
于是条件
(2)也充分,所以选D
24、(充分性判断)
一轮船沿河航行于相距48公里的两码头间,则往返一共需10小时(不计到达码头后停船的时间)
(1)轮船在静水中的速度是每小时10公里
(2)水流的速成度是每小时2公里
解:
条件
(1)和条件
(2)单独都不充分
联合条件
(1)和条件
(2),则轮船顺水流行驶需,而往返共需4+6=10(小时),所以选C
25(问题求解)(2007年考题)
完成某项任务,甲单独做需要4天,乙单独做需要6天,丙单独做需要8天,现甲、乙、丙三人依次一日一轮地工作,则完成该项任务共需的天数为()
(A)(B)(C)6(D)(E)4
解:
甲、乙、丙三人的工作效率分别为
即故甲做2天,乙做2天,丙做1天,还剩,剩下的由丙完成,需要,一共所以选B
练习1
一、问题求解
1、已知()
(A)4(B)3(C)(D)(E)
2、使得的值不存在的x是()
(A)0或1(B)6或1(C)6或0
(D)1(E)2
3、若,则x的取值范围是()
(A)(B)(C)D)(E)
4、已知是三个正数,且若的算求平均值为,几何平均值4且之积恰为则的值依次为()
(A)6,5,3(B)12,6,2(C)4,2,8
(D)8,2,4(E)8,4,2
5、某商品单价上调15%后,再降为原价,则降价率为()
(A)15%(B)14%(C)13%(D)12%(E)11%
6、今年王先生的年龄是他父亲年龄的一半,他父亲的年龄又是王先生儿子的15倍,两年后他们三人的年龄之和恰好是100岁,那么王先生今年的岁数()
(A)45(B)40(C)38(D)32(E)30
7、原价a元可购5件衬衫,现价a元可购8件衬衫,则该衬衫降价的百分比是()
(A)25%(B)30%(C)37.5%(D)38.5%(E)40%
8、公司有职工50人,法律知识考试平均成绩为81分,按成绩将公职工分为优秀与非优秀两类,优秀职工的平均成绩为90分,非优秀职工的平均成绩是75分,则优秀职工的人数为()
(A)30(B)25(C)22(D)20(E)18
9、若,则x的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)(E)
10、不等式()
(A)(B)(C)(D)(E)
11、若,则等于()
(A)(B)(C)(D)(E)
12、甲与乙的比是3:
2,丙与乙的比是2:
3,则甲与丙的比是()
(A)1:
1(B)2:
3(C)3:
2(D)9:
4(E)8:
5
13、车间共有60人,某次技术考核的平均成绩为80分,其中男工平均成绩为82分,女工平均成绩为77分,该车间有女工人数为()
(A)36(B)34(C)30(D)24(E)22
14、某校今年的毕业生中,本科生和硕士生人数之比为5:
2椐5月份统计,本科生有70%,硕士生有90%已经落实了工作单位,此时,尚未落实工作单位的本科生和硕士生人数比是()
(A)35:
18(B)15:
2(C)10:
3(D)8:
3(E)7:
4
15、一个分数的分子减少25%,而分母增加25%,则新分数比原来分数减少的百分率是()
(A)40%(B)45%(C)50%(D)55%(E)60%
16、已知A股票上涨的0.16元相当于该股票原价的16%,B股票上涨的1.68元也相当于其原价的16%,则这两种股原价相差()
(A)8元(B)9元(C)9.5元(D)10元(E)10.5元
17、一商店把某商品按标价的9折出售,仍可获利20%,该商品进价为每件21元,则该商品的每件的标价的16%,则这两种股票原价相差()
(A)24元(B)26元(C)28元(D)30元(E)32元
18、某工厂生产某种定型产品,一月份每件产品销售的利润是出厂价的25%(假设利润等于出厂价减去成本),若二月份每件产品的出厂价降低10%,成本不变,销售件数比一月份增加80%,那么,二月份的销售总利润比一月份销售总利润增()
(A)6%(B)8%(C)15.5%(D)21.5(E)25.5
19、已知()
(A)(B)2(C)(D)(E)
20、某商品在第一次降价10%的基础上,第二次又降价5%,若第二次降价后恢复到原来的价格,则价格上涨的百分率为()
(A)13%(B)14%(C)15%(D)16%(E)17%
21、n为任意正整数,则必有约数(因数)()
(A)4(B)5(C)6(D)7(E)8
22、每一个合数都可以写成k个质数的乘积,在小于130的合数中,k的最大值为()
(A)4(B)5(C)6(D)7(E)8
23、(2008年10月考题)
以下命题中正确的一个是()
(A)两个数的和为正数,则这两个数都是正数。
(B)两个数的差为负数,则这两个数都是负数。
(C)两个数中较大的一个其绝对值也较大
(D)加上一个负数,等于减去这个数的绝对值。
(E)一个数的2倍大于这个数本身
24、已知3个质数的倒数和为,则这三个质数的和为()
(A)112(B)113(C)114(D)115(E)116
25、有一个正的既约分数,如果其分子加上24,分母加上54后,其分数值不变,那么此既约分数的分子与分母的乘积等于()
(A)24(B)30(C)32(D)36(E)38
26、(2005年考题)
一支部队排成长度为800米的队列行军,速度为80米/分钟,在队首的通讯员以3倍于行军的速度跑步到队尾,花1分钟传达首长命令后,立即从同样的速度跑回队首,在这往返过程中通讯员所花费的时间为()
(A)6.5分钟(B)7.5分钟(C)8分钟(D)8.5分钟(E)10分钟
27、(2006年考题)
一辆大巴车从甲城以匀速行驶,可按预定时间到达乙城,但距乙城还有150公里处,因故停留了半小时,因此需要平均每小时增加10公里才能按预定时间到达乙城,则大巴车原来的速成度为()
(A)45(B)50(C)55(D)60(E)65
28、(2008年考题)
王女士以一笔资金分别投入股市和基金,但因故需抽回一部分资金,若从股市中抽回10%,从股市各基金的投资额中各抽回15%各10%,则其中总投资额减少130万元,其总投资额为()
(A)1000万元B)1500万元(C)2000万元
(D)2500万元(E)3000万元
29(2008年考题)
将价值200元的甲原料与价值480元的乙原料配成一种新原料,若新原料每千克的售价分别比甲,乙原料每千克的售价少3元和多1元,则新原料的售价是()
(A)15元(B)16元(C)17元(D)18元(E)19元
30、(2009年考题)
一家商店为回收资金,把甲,乙两件商品均以480元一件卖出,已知甲商品赚了20%,乙商品亏了20%,则商店盈亏结果为()
(A)不亏不赚(B)亏了50元(C)赚了50元
(D)赚了40元(E)亏了40元
二.条件充分性判断
31、(2007年考题)
(1)若x和y都是正整数,且;
(2)若x和y都是正整数,且;
32、(2007年考题)
(1)a为实数,;
(2)a为实数,
33、使
(1)
(2)
34使
(1)ab>0
(2)ab<0
35、(2008年考题)
(1)实数a,b,c满足a+b+c=0
(2)实数a,b,c满足a
36、(2008年10月考题)
(1)
(2)
37、(2008年10月考题)
是一个整数
(1)n是一个整数,且也是一个整数
(2)n是一个整数,且也是一个整数
38计算某商销售额增加的百分比
(1)某商品销售量增加了500件
(2)某商品打八折,使销售量增加60%
39、确定x和y的值
(1);
(2)
40、某班男生人数比女生人数少
(1)男生中共青团员的人数是全班人数的20%
(2)女生中共青团员的人数是全班人数的52%
41、商品换季大甩卖,某种上衣价格下降60%
(1)原来买2件的钱,现在可以买5件;
(2)原来的价格是现在价格的2.5倍;
42、两个正数x与y的算术平均值等于几何平均值。
(1)x=5,y=5
(2)x=3,y=3
43、质检员在A,B两种相同数量的产品中进行抽样检查后,可以计算出A产品的合格率比B产品的合格率高出5%,则抽样的产品数可求出
(1)抽出的样品中,A产品中合格品有48个;
(2)抽出的样品中,B产品中合格品有45个;
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