31不等式与不等关系教案.docx
《31不等式与不等关系教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《31不等式与不等关系教案.docx（19页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
31不等式与不等关系教案
第三章不等式
§3.1不等式与不等关系教案
单县五中陈星
【学习目标】
1、知识与技能：
（1）．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
（2）．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；
（3）．能用不等式（组）正确表示出不等关系；
（4）.掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式。
2、过程与方法：
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；掌握等价转化与化归的思想；
3、情态与价值：
通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【学习重点】
1、能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；
2、掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式。
【学习难点】
1、能用不等式（组）正确表示出不等关系；
2、利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
问题一用不等式表示不等关系
一、课题导入
1、引题：
现实生活中的不等关系：
长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超过或不少于、两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边等等。
问：
怎么用不等式去表示它哪?
2、入题：
请同学们阅读课本内容，完成下列题目：
（1）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
答：
v≤40
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示：
答：
f≥2.5％
P≥2.3％
二、精讲精练
例题1：
设点A与平面
的距离为d,B为平面
上的任意一点，则d——｜AB｜
答：
≤
直角三角形中，斜边大于任一直角边。
例题2：
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
答：
不等关系是：
销售的总收入仍不低于20万元。
不等式为：
[8﹣（x-2.5）／0.1×0.2]x≥20
例题3：
某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。
按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。
怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
答：
设截得500mm的钢管x根，600mm的y根。
则不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不超过500mm的3倍；
（3）截得两种钢管的数量不能为负。
则对应的不等式：
500x＋600y≤4000
{3x≥y
x、y≥0
小结：
1、找出不等关系；
2、根据不等关系列出不等式。
[当堂练练]课本P74的练习1、2
问题二不等式的基本性质
一、课题导入
问题：
你能说出等式的哪些性质？
答：
等式的两边加（减）、乘（除）同一个数（式子），结果仍相等。
二、新课探究
问题：
类比等式的性质，你能探究出不等式具有什么样的性质吗？
探究一个事实：
实数可以比较大小，这一点从数轴上可以体现：
右边的点表示的数总比左边的大，则：
若a-b＞0,则a＞b;若a-b=0,则a=b;若a-b＜0,则a＜b.反之亦然。
即：
a-b＜或=或＞0＜===＞a＜或=或＞b
说明：
1、等价符号的意义；
2、比较两个实数的大小等价转化为作差；
3、这一关系是研究不等式问题的基础。
下面分组探讨几个图表：
表1
不等式
不等式两边的数换位置
结果
与原不等式比较，不等号方向是否改变
2﹥1
1﹤2
﹥→﹤
改变
﹣2﹤﹣1
﹣1﹥﹣2
﹥→﹤
改变
…
…
…
…
表2
不等式
不等式
结果
与原不等式比较，不等号方向是否改变
10﹥5
5﹥3
10﹥3
没有
﹣10﹤﹣5
﹣5﹤﹣1
﹣10﹤﹣3
没有
…
…
…
…
表3
不等式
不等式的两边都加上（或减去）同一个数
结果
与原不等式比较，不等号方向是否改变
7﹥4
加上5
12﹥9
没有
-3﹤4
减去7
-10﹤-3
没有
…
…
…
…
…
表4
不等式
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数
结果
与原不等式比较，不等号方向是否改变
7﹥4
乘以5
35﹥20
没有
-8﹤4
除以4
-2﹤1
没有
…
…
…
…
表5
不等式
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数
结果
与原不等式比较，不等号方向是否改变
7﹥4
乘以-5
-35﹤-20
改变
-8﹤4
除以-4
2﹥-1
改变
…
…
…
…
【范例讲解】：
例1、已知
求证
。
[当堂练练]
用不等号“﹤”或“﹥”填空：
（1）a﹥b,c﹤d←→a-c__＞____b-d；
（2）a﹥b﹥0,c﹤d﹤0←→ac___＜___bd；
（3）a﹥b﹥0←→√a__＞___√b；
（4）a﹥b﹥0←→1／a2___＜___1／b2
小结：
在解决不等式的有关问题时，必须以不等式的基本性质为依据。
例2、比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：
此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）。
根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。
比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：
∵（a+3）（a-5）—（a+2）（a-4）=a2-2a-15—（a2-2a-8）
=-7﹤0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
[当堂练练]
比较大小：
（x+5）（x+7）与（x+6）2
答：
（x+5）（x+7）＜（x+6）2
小结：
比较两个实数大小的方法：
作差——化简变形——判断差值正负（与0比较大小）。
问题三课堂小结：
问题四评价设计
课本P75习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1、2题
第三章不等式
§3.1不等式与不等关系
教学实录
【学习目标】：
（师生齐诵：
目的使学生加深印象，引起注意。
）
1、知识与技能：
（1）．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
（2）．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；
（3）．能用不等式（组）正确表示出不等关系；
（4）.掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式。
2、过程与方法：
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；掌握等价转化与化归的思想；
3、情态与价值：
通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【学习重点】
1、能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；
2、掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式。
【学习难点】
1、能用不等式（组）正确表示出不等关系；
2、利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
问题一用不等式表示不等关系
一、课题导入
1、引题：
现实生活中的不等关系：
长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超过或不少于、两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边等等。
师问：
怎么用不等式去表示它哪?
2、入题：
请同学们阅读课本内容，完成下列题目：
（1）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
生答：
v≤40
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示：
生答：
f≥2.5％
P≥2.3％
[设计意图：
通过学生思考、讨论、回答，使学生了解、知道怎么样找不等关系，进而列不等式。
]
师引入语：
为了更好地解决这一问题，我们再看几个例子。
二、精讲精练
例题1：
设点A与平面
的距离为d,B为平面
上的任意一点，则d——｜AB｜
生答：
≤
师：
直角三角形中，斜边大于任一直角边。
【设计意图】通过开放式的提问，激发学生的思维，学会从多角度寻找不等关系。
例题2：
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
生答：
不等关系是：
销售的总收入仍不低于20万元。
不等式为：
[8﹣（x-2.5）／0.1×0.2]x≥20
师点评：
比上一题又进一步，知道不等关系，让列不等式。
鼓励学生表达自己的思路。
【设计意图】解决这个问题的关键是列出不等关系，让学生能在已有的基础上学会建立稍微复杂一些不等关系是其主要内容】
例题3：
某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。
按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。
怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
生答：
设截得500mm的钢管x根，600mm的y根。
则不等关系：
（4）截得两种钢管的总长度不超过4000mm；
（5）截得600mm钢管的数量不超过500mm的3倍；
（6）截得两种钢管的数量不能为负。
则对应的不等式：
500x＋600y≤4000
{3x≥y
x、y≥0
教师：
鼓励学生提出约束条件，并根据学生的回答进行完善，归纳出用不等式表示不等关系的优点。
【设计意图】借助实际问题，完善学生用不等式表示不等关系的方法，为线性规划奠定基础。
小结：
1、找出不等关系；
2、根据不等关系列出不等式。
[当堂练练]课本P74的练习1、2
师生-----生答，师评。
【设计意图】通过练习，巩固知识，掌握方法。
问题二不等式的基本性质
一、课题导入
问题：
你能说出等式的哪些性质？
【设计意图】复习等式的性质，便于联想、类比推出不等式的性质，这样便于注重知识的连续性，培养类比方法。
师生活动：
生答：
等式的两边加（减）、乘（除）同一个数（式子），结果仍相等。
师评：
鼓励学生探讨问题。
二、新课探究
问题：
类比等式的性质，你能探究出不等式具有什么样的性质吗？
【设计意图】通过等式性质的引入，激发学生的好奇心。
是学生不由自主的产生疑问：
等式与不等式一字之差，性质会有什么不同？
从而产生探究欲望。
探究一个事实：
实数可以比较大小，这一点从数轴上可以体现：
右边的点表示的数总比左边的大，则：
若a-b＞0,则a＞b;若a-b=0,则a=b;若a-b＜0,则a＜b.反之亦然。
即：
a-b＜或=或＞0＜===＞a＜或=或＞b
说明：
1、等价符号的意义；
2、比较两个实数的大小等价转化为作差；
3、这一关系是研究不等式问题的基础。
下面分组探讨几个图表：
教师-----首先分组，然后展示幻灯片。
让学生探究，得出规律。
培养探索能力。
表1
不等式
不等式两边的数换位置
结果
与原不等式比较，不等号方向是否改变
2﹥1
1﹤2
﹥→﹤
改变
﹣2﹤﹣1
﹣1﹥﹣2
﹥→﹤
改变
…
…
…
…
生------先思考后回答规律。
师-----表扬，过渡语，转入下一组。
表2
不等式
不等式
结果
与原不等式比较，不等号方向是否改变
10﹥5
5﹥3
10﹥3
没有
﹣10﹤﹣5
﹣5﹤﹣1
﹣10﹤﹣3
没有
…
…
…
…
生------先思考后回答规律。
师-----表扬，过渡语，转入下一组。
表3
不等式
不等式的两边都加上（或减去）同一个数
结果
与原不等式比较，不等号方向是否改变
7﹥4
加上5
12﹥9
没有
-3﹤4
减去7
-10﹤-3
没有
…
…
…
…
…
生------先思考后回答规律。
师-----表扬，过渡语。
提示学生用等式性质类比。
表4
不等式
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数
结果
与原不等式比较，不等号方向是否改变
7﹥4
乘以5
35﹥20
没有
-8﹤4
除以4
-2﹤1
没有
…
…
…
…
表5
不等式
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数
结果
与原不等式比较，不等号方向是否改变
7﹥4
乘以-5
-35﹤-20
改变
-8﹤4
除以-4
2﹥-1
改变
…
…
…
…
生------先思考后回答规律。
师-----表扬，过渡语。
提示学生用等式性质类比，理解是主要的，证明是次要的。
学生-----分组讨论，大胆猜测，解决问题，找出规律，回答结论。
教师-----适时引导学生，将具体的数据用一般字母表示，总结出规律，最后得出不等式的性质。
并且引导学生适时论证，做到有理有据，心服口服。
【范例讲解】：
例2、已知
求证
。
学生：
板演。
练习规范。
教师点评：
1、不等式性质的重要性；
2、规律方法：
一是不等式性质的应用；二是作差法的应用。
[当堂练练]
用不等号“﹤”或“﹥”填空：
（1）a﹥b,c﹤d←→a-c__＞____b-d；
（2）a﹥b﹥0,c﹤d﹤0←→ac___＜___bd；
（3）a﹥b﹥0←→√a__＞___√b；
（4）a﹥b﹥0←→1／a2___＜___1／b2
【设计意图】进一步体现不等式的应用，熟悉不等式性质的作用。
师生-------生答、师评。
小结：
在解决不等式的有关问题时，必须以不等式的基本性质为依据。
例2、比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：
此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）。
根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。
比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：
∵（a+3）（a-5）—（a+2）（a-4）=a2-2a-15—（a2-2a-8）
=-7﹤0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
[当堂练练]
比较大小：
（x+5）（x+7）与（x+6）2
答：
（x+5）（x+7）＜（x+6）2
【设计意图】通过题目，进一步熟悉比差法。
小结：
比较两个实数大小的方法：
作差——化简变形——判断差值正负（与0比较大小）。
问题三课堂小结：
师-------布置作业，宣布下课。
问题四评价设计
课本P75习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1、2题
教学反思
单县五中陈星
通过本节课的教学，又聆听了各位专家的点评，颇有感触。
1、按照预先设计，让学生一起来朗诵学习目标、重点性质，加强了学生的记忆，效果比较明显；学生热情马上高涨，同时求知欲也随之而来。
2、适时调整教学策略，以不变应万变。
当学生对问题回答不上来时，及时提示不失为一种好方法，使得教学过程流畅。
3、适当的多媒体展示，使教学效果明显，同时也加大了容量。
4、适时的板书，使学生的记忆更深刻。
5、师生互动，活跃了课堂气氛，加强了学生的探究能力，分析、解决问题的能力；同时也培养了学生善于动脑的好习惯。
6、本节课的不足之处就是：
时间短，备课有点仓促，教材内容多，时间有点紧，例2没处理完；对初中不等式部分了解不足，在性质讲述过程中，主次把我不太好。
7、通过与评课老师的交流，受益匪浅。
在思考一个问题：
如何更好地让学生动起来，老师轻松驾驭课堂？
当学生基础很差的时候，光让学生探究，行吗？
教师应如何引导？
总之，通过本堂课，的的确确学到很多东西，无论是知识上，还是教学方法上。
相信，通过这种交流与学习，自己的教学水平一定能提高到一个新的境界与高度。
升级会员 