不等关系与不等式.docx

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不等关系与不等式

[学习目标]　1.能用不等式（组）表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．

知识点一　不等关系与不等式

1．不等关系

在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：

（1）用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；

（2）用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4m；

（3）用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f（x）大于成本g（x）；

（4）用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2000元．

2．不等式

（1）不等式的定义

用数学符号“＝”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．

（2）关于a≥b和a≤b的含义

①不等式a≥b应读作：

“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．

②不等式a≤b应读作：

“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．

知识点二　比较大小的依据

（1）比较实数a，b大小的文字叙述

①如果a－b是正数，那么a＞b；

②如果a－b等于0，那么a＝b；

③如果a－b是负数，那么a

（2）比较实数a，b大小的符号表示

①a－b＞0⇔a>b；

②a－b＝0⇔a＝b；

③a－b<0⇔a

思考　

（1）x＞1时，x2－x____0（填“＞”或“＜”）．

（2）（＋）2____10＋4（填“＞”或“＜”）．

答案　

（1）＞　

（2）＜

解析　

（1）x2－x＝x（x－1）

x＞1时，x－1＞0，x＞0，

∴x（x－1）＞0，∴x2－x＞0.

（2）（＋）2＝8＋2＝8＋4＜10＋4.

知识点三　常用的不等式的基本性质

（1）a>b⇔b

（2）a>b，b>c⇒a>c（传递性）；

（3）a>b⇒a＋c>b＋c（可加性）；

（4）a>b，c>0⇒ac>bc；

a>b，c<0⇒ac

（5）a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

（6）a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

（7）a>b>0⇒an>bn）（n∈N，n≥1；

（8）a>b>0⇒>）（n∈N，n≥2.

题型一　用不等式（组）表示不等关系

例1　《铁路旅行常识》规定：

一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．

……

十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……

设身高为h（米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系．

文字表述

身高在1.1～1.4米

身高超过1.4米

身高不足1.1米

物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米

符号表示

解　由题意可获取以下主要信息：

（1）身高用h（米）表示，物体长、宽、高尺寸之和为P（厘米）；

（2）题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．

身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4，

身高超过1.4米可表示为h＞1.4，

身高不足1.1米可表示为h＜1.1，

物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：

文字表述

身高在1.1～1.4米

身高超过1.4米

身高不足1.1米

物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米

符号表示

1.1≤h≤1.4

h＞1.4

h＜1.1

P≤160

跟踪训练1　如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．

解　由题意，得

题型二　比较实数（式）的大小

例2　

（1）比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；

（2）设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．

解　

（1）∵x6＋1－（x4＋x2）

＝x6－x4－x2＋1

＝x4（x2－1）－（x2－1）

＝（x2－1）（x4－1）

＝（x2－1）2（x2＋1）≥0.

∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；

当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.

综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时取等号．

（2）∵（5x2＋y2＋z2）－（2xy＋4x＋2z－2）

＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1

＝（2x－1）2＋（x－y）2＋（z－1）2≥0，

∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，

当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．

跟踪训练2　设a＞0，b＞0，且a≠b，比较aabb与abba的大小．

解　＝aa－bbb－a＝a－b，

当a＞b＞0时，＞1，a－b＞0，∴a－b＞1，

当b＞a＞0时，0＜＜1，a－b＜0，∴a－b＞1，

∴a－b＞1，即＞1，

又∵aabb＞0，abba＞0，∴aabb＞abba.

题型三　不等式性质的应用

例3　已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：

＞.

证明　∵c＜d＜0，

∴－c＞－d＞0，

又∵a＞b＞0，

∴a＋（－c）＞b＋（－d）＞0，

即a－c＞b－d＞0，

∴0＜＜，

又∵e＜0，

∴＞.

跟踪训练3　已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：

n－ap＜m－bp.

证明　∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp.

∴－ap＜－bp，

又m＞n，即n＜m.

∴n－ap＜m－bp.

忽视性质成立的条件导致错误

例4　已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．

错解　1≤a－b≤2，①

2≤a＋b≤4，②

由①＋②，得3≤2a≤6，

∴≤a≤3，③

由②＋①×（－1），得0≤2b≤3，

∴0≤b≤，④

由③×4＋④×（－2），

得3≤4a－2b≤12.

错因分析　由上述解题过程可知，当a＝且b＝时，3≤4a－2b才取等号，而此时a－b＝0，不满足①式，因此4a－2b是不能等于3的．同理可验证4a－2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形，因此结论是错误的．

正解　令a＋b＝u，a－b＝v，

则2≤u≤4,1≤v≤2.

由解得

∴4a－2b＝4·－2·

＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.

∵2≤u≤4,3≤3v≤6，

∴5≤u＋3v≤10.

∴5≤4a－2b≤10.

误区警示　把条件中的a－b和a＋b分别看做一个整体，采用整体代入法，并结合不等式的性质求解，可以得到正确的结论．

1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是（　　）

A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200

C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200

2．设x

A．x2ax>a2

C．x2a2>ax

3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（　　）

A．M＞N B．M＝N

C．M＜N D．与x有关

4．若x∈R，则与的大小关系为________．

一、选择题

1．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是（　　）

A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞b

C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b

2．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（　　）

A．ab＜b2＜1 B．logb＜loga＜0

C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1

3．已知a，b∈（0,1），记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是（　　）

A．M＜N B．M＞N

C．M＝N D．不确定

4．已知四个条件：

①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出＜成立的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列选项中不恒成立的是（　　）

A.＞ B.＞0

C.＞ D.＜0

6．下列命题中，一定正确的是（　　）

A．若a＞b，且＞，则a＞0，b＜0

B．若a＞b，b≠0，则＞1

C．若a＞b，且a＋c＞b＋d，则c＞d

D．若a＞b，且ac＞bd，则c＞d

7．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室（　　）

A．甲 B．乙

C．同时到达 D．无法判断

二、填空题

8．给出下列命题：

①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题序号是________．

9．一辆汽车原来每天行驶xkm，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________．

10．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－3y的取值范围是______．

三、解答题

11．

（1）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：

≤；

（2）已知a，b，m均为正数，且a＜b，求证：

＞.

12．若二次函数f（x）的图象关于y对称，且1≤f

（1）≤2,3≤f

（2）≤4，求f（3）的取值范围．

13．设f（x）＝1＋logx3，g（x）＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f（x）与g（x）的大小．

当堂检测答案

1．答案　D

解析　据题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故选D.

2．答案　B

解析　∵xa2.

∵x2－ax＝x（x－a）>0，∴x2>ax.

又ax－a2＝a（x－a）>0，∴ax>a2.

∴x2>xa>a2.

3．答案　A

解析　M－N＝x2＋x＋1＝（x＋）2＋＞0.

∴M＞N.

4．答案　≤

解析　－＝＝≤0.

∴≤.

课时精练答案

一、选择题

1．答案　C

解析　方法一　∵a＋b＞0，∴a＞－b，

又b＜0，∴a＞0，且|a|＞|b|，

∴a＞－b＞b＞－a.

方法二　设a＝3，b＝－2，则a＞－b＞b＞－a.

2．答案　C

解析　设a＝，b＝，验证即得A、D错误；结合y＝logx，y＝2x的单调性得B错误，C正确．

3．答案　B

解析　M－N＝ab－（a＋b－1）＝ab－a－b＋1

＝（a－1）（b－1）．

∵a，b∈（0,1），∴a－1＜0，b－1＜0

∴M－N＞0，∴M＞N.

4．答案　C

解析　①中，a＜0＜b，∴＜，

②中，b＜a＜0，∴＜，

④中a＞b＞0，∴＜，

故①②④三个均可推得＜.

5．答案　C

解析　∵c＜b＜a，且ac＜0，∴a＞0，c＜0.由a＞0，得＞0，

又b＞c，∴＞，故A恒成立；

∵b＜a，∴b－a＜0，又c＜0，∴＞0，故B恒成立；

∵c＜a，∴a－c＞0，又ac＜0，∴＜0，故D恒成立；

当b＝－2，a＝1时，b2＞a2，又c＜0，∴＜，故C不恒成立．故选C.

6．答案　A

解析　对于A，∵＞，∴＞0，

又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＜0，∴a＞0，b＜0，故A正确；

对于B，当a＞0，b＜0时，有＜1，故B错；

对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1＞2＋3，但1＜3，故C错；

对于D，当a＝－1，b＝－2时，有（－1）×（－1）＞（－2）×3，但－1＜3，故D错．故选A.

7．答案　B

解析　设路程为S，步行速度v1，跑步速度v2，则

甲用时t1＝＋，

乙用时t2＝，

t1－t2＝＋－

＝S

＝·S

＝＞0

∴甲用时多．

二、填空题

8．答案　②③

解析　①当c2＝0时不成立．

②一定成立．

③当a＞b时，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）＝（a－b）·＞0成立．

④当b＜0时，不一定成立．如：

|2|＞－3，但22＜（－3）2.

9．答案　8（x＋19）＞2200　＞9

解析　由题意知，汽车原来每天行驶xkm,8天内它的行程超过2200km，则8（x＋19）＞2200.若每天行驶的路程比原来少12km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9.

10．答案　[－6,9]

解析　设9x－3y＝a（x－y）＋b（4x－y）＝（a＋4b）x－（a＋b）y，

∴⇒

∴9x－3y＝（x－y）＋2（4x－y），

∵－1≤4x－y≤5，∴－2≤2（4x－y）≤10，

又－4≤x－y≤－1，

∴－6≤9x－3y≤9.

三、解答题

11．解　

（1）方法一　∵bc－ad≥0，

∴bc≥ad.

∵bd＞0，∴≥，

∴＋1≥＋1，

即≤.

方法二　作差比较，

－＝＝，

∵ad－bc≤0，bd＞0，

∴≤0，∴≤.

（2）－＝＝，

∵a＜b，∴b－a＞0，

又m，b均为正数，∴＞0，

∴＞.

12．解　由题意设f（x）＝ax2＋c（a≠0），

则

所以

而f（3）＝9a＋c＝3f

（2）－3f

（1）＋

＝，

因为1≤f

（1）≤2,3≤f

（2）≤4，

所以5≤5f

（1）≤10,24≤8f

（2）≤32，

所以－10≤－5f

（1）≤－5，

所以14≤8f

（2）－5f

（1）≤27，

所以≤≤9，

即≤f（3）≤9.

13．解　f（x）－g（x）＝1＋logx3－2logx2＝logx，

（1）当或

即1＜x＜时，logx＜0，∴f（x）＜g（x）；

（2）当＝1，即x＝时，logx＝0，即f（x）＝g（x）；

（3）当或

即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f（x）＞g（x）．

综上所述，当1＜x＜时，f（x）＜g（x）；

当x＝时，f（x）＝g（x）；

当0＜x＜1，或x＞时，f（x）＞g（x）．