届高考数学知识集合与简易逻辑复习讲义.docx
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届高考数学知识集合与简易逻辑复习讲义
2012届高考数学知识集合与简易逻辑复习讲义
高中数学复习讲义第一集合与简易逻辑
第1时集合的概念及运算
【考点导读】
1了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言,集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.
2理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义.
3理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给定集合中一个子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用氏图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
4集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想.
【基础练习】
1集合用列举法表示.
2设集合,,则.
3已知集合,,则集合_______.
4设全集,集合,,则实数a的值为____8或2___.
【范例解析】
例已知为实数集,集合若,或,求集合B
分析:
先化简集合A,由可以得出与的关系;最后,由数形结合,利用数轴直观地解决问题
解:
(1),或又,,
可得
而或,
或
借助数轴可得或
【反馈演练】
1.设集合,,,则=_________.
2.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q=,则P+Q中元素的个数是____8___个.
3.设集合,
(1)若,求实数a的取值范围;
(2)若,求实数a的取值范围;
(3)若,求实数a的值
解:
(1)由题意知:
,,
①当时,得,解得.
②当时,得,解得.
综上,.
(2)①当时,得,解得;
②当时,得,解得.
综上,.
(3)由,则.
第2命题及逻辑联结词
【考点导读】
1了解命题的逆命题,否命题与逆否命题的意义;会分析四种命题的相互关系.
2了解逻辑联结词“或”,“且”,“非”的含义;能用“或”,“且”,“非”表述相关的数学内容.
3理解全称量词与存在量词的意义;能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.理解对含有一个量词的命题的否定的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【基础练习】
1下列语句中:
①;②你是高三的学生吗?
③;④.
其中,不是命题的有____①②④_____.
2一般地若用p和q分别表示原命题的条和结论,则它的逆命题可表示为若q则p,否命题可表示为,逆否命题可表示为;原命题与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题.
【范例解析】
例1写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题并判断真假
(1)平行四边形的对边相等;
(2)菱形的对角线互相垂直平分;
(3)设,若,则
分析:
先将原命题改为“若p则q”,在写出其它三种命题
解:
(1)
原命题:
若一个四边形是平行四边形,则其两组对边相等;真命题;
逆命题:
若一个四边形的两组对边相等,则这个四边形是平行四边形;真命题;
否命题:
若一个四边形不是平行四边形,则其两组对边至少一组不相等;真命题;
逆否命题:
若一个四边形的两组对边至少一组不相等,则这个四边形不是平行四边形;真命题
(2)
原命题:
若一个四边形是菱形,则其对角线互相垂直平分;真命题;
逆命题:
若一个四边形的对角线互相垂直平分,则这个四边形是菱形;真命题;
否命题:
若一个四边形不是菱形,则其对角线不垂直或不平分;真命题;
逆否命题:
若一个四边形的对角线不垂直或不平分,则这个四边形不是菱形;真命题
(3)
原命题:
设,若,则;真命题;
逆命题:
设,若,则;假命题;
否命题:
设,若或,则;假命题;
逆否命题:
设,若,则或;真命题
点评:
已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式,找出其条p和结论q,再根据四种命题的定义写出其它命题;对于含大前提的命题,在改写命题时大前提不要动;在写命题p的否定即时,要注意对p中的关键词的否定,如“且”的否定为“或”,“或”的否定为“且”,“都是”的否定为“不都是”等
例2写出由下列各组命题构成的“p或q”,“p且q”,“非p”形式的命题,并判断真假
(1)p:
2是4的约数,q:
2是6的约数;
(2)p:
矩形的对角线相等,q:
矩形的对角线互相平分;
(3)p:
方程的两实根的符号相同,q:
方程的两实根的绝对值相等
分析:
先写出三种形式命题,根据真值表判断真假
解:
(1)p或q:
2是4的约数或2是6的约数,真命题;
p且q:
2是4的约数且2是6的约数,真命题;
非p:
2不是4的约数,假命题
(2)p或q:
矩形的对角线相等或互相平分,真命题;
p且q:
矩形的对角线相等且互相平分,真命题;
非p:
矩形的对角线不相等,假命题
(3)p或q:
方程的两实根的符号相同或绝对值相等,假命题;
p且q:
方程的两实根的符号相同且绝对值相等,假命题;
非p:
方程的两实根的符号不同,真命题
点评:
判断含有逻辑联结词”或”,“且”,“非”的命题的真假,先要把结构弄清楚,确定命题构成的形式以及构成它们的命题p,q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假
例3写出下列命题的否定,并判断真假
(1)p:
所有末位数字是0或的整数都能被整除;
(2)p:
每一个非负数的平方都是正数;
(3)p:
存在一个三角形,它的内角和大于180°;
(4)p:
有的四边形没有外接圆;
()p:
某些梯形的对角线互相平分
分析:
全称命题“”的否定是“”,特称命题“”的否定是“”
解:
(1):
存在末位数字是0或的整数,但它不能被整除,假命题;
(2):
存在一个非负数的平方不是正数,真命题;
(3):
任意一个三角形,它的内角和都不大于180°,真命题;
(4):
所有四边形都有外接圆,假命题;
():
任一梯形的对角线都不互相平分,真命题
点评:
一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下:
正面词语等于大于小于是都是
否定词语不等于不大于不小于不是不都是
正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的…
否定词语至少有两个一个也没有某个某些…
【反馈演练】
1.命题“若,则”的逆否命题是__________________
2.已知命题:
,则
3.若命题的否命题n,命题n的逆命题p,则p是的____逆否命题____
4.命题“若,则”的否命题为________________________.
.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
(1)设,若,则或;
(2)设,若,则.
解:
(1)逆命题:
设,若或,则;真命题;
否命题:
设,若,则且;真命题;
逆否命题:
设,若且,则;真命题;
(2)逆命题:
设,若,则;假命题;
否命题:
设,若或,则;假命题;
逆否命题:
设,若,则或;真命题.
第3时充分条和必要条
【考点导读】
1理解充分条,必要条和充要条的意义;会判断充分条,必要条和充要条.
2从集合的观点理解充要条,有以下一些结论:
若集合,则是的充分条;
若集合,则是的必要条;
若集合,则是的充要条.
3会证明简单的充要条的命题,进一步增强逻辑思维能力.
【基础练习】
1若,则是的充分条.若,则是的必要条.若,则是的充要条.
2用“充分不必要条,必要不充分条,充要条和既不充分也不必要条”填空
(1)已知,,那么是的_____充分不必要___条.
(2)已知两直线平行,内错角相等,那么是的____充要_____条.
(3)已知四边形的四条边相等,四边形是正方形,那么是的___必要不充分__条.
3若,则的一个必要不充分条是.
【范例解析】
例用“充分不必要条,必要不充分条,充要条和既不充分也不必要条”填空
(1)是的___________________条;
(2)是的___________________条;
(3)是的___________________条;
(4)是或的___________________条
分析:
从集合观点“小范围大范围”进行理解判断,注意特殊值的使用
解:
(1)因为结合不等式性质易得,反之不成立,若,,有,但不成立,所以是的充分不必要条
(2)因为的解集为,的解集为,故是的必要不充分条
(3)当时,均不存在;当时,取,,但,所以是的既不充分也不必要条
(4)原问题等价其逆否形式,即判断“且是的____条”,故是或的充分不必要条
点评:
①判断p是q的什么条,实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假,若原命题为真,逆命题为假,则p为q的充分不必要条;若原命题为假,逆命题为真,则p为q的必要不充分条;若原命题为真,逆命题为真,则p为q的充要条;若原命题,逆命题均为假,则p为q的既不充分也不必要条②在判断时注意反例法的应用③在判断“若p则q”的真假困难时,则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假
【反馈演练】
1.设集合,,则“”是“”的_必要不充分
条.
2.已知p:
1<x<2,q:
x(x-3)<0,则p是q的条.
3.已知条,条.若是的充分不必要条,求实数a的取值范围.
解:
,若是的充分不必要条,则.
若,则,即;
若,则解得.
综上所述,.