高一培优资料第2讲万有引力与航天.docx
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高一培优资料第2讲万有引力与航天
第2讲 万有引力与航天
1.内容：
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．
2．表达式：
F＝G
G为引力常量：
G＝6.67×10－11N·m2/kg2.
3．适用条件
（1）公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．
（1）地面上的物体所受地球引力的大小均由F＝G
决定，其方向总是指向地心．（ ）
（2）只有天体之间才存在万有引力．（ ）
（3）只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G
计算物体间的万有引力．（ ）
（4）当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．（ ）
环绕速度
1.第一宇宙速度又叫环绕速度．
2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
4．第一宇宙速度的计算方法．
（1）由G
＝m
得v＝
.
（2）由mg＝m
得v＝
.
第二宇宙速度和第三宇宙速度
1.第二宇宙速度：
v2＝11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
2．第三宇宙速度：
v3＝16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．
（1）第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是贴近地面运行的卫星的运行速度，即人造地球卫星的最大运行速度．（ ）
（2）第一宇宙速度与地球的质量有关．（ ）
（3）地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．（ ）
（4）若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行．（ ）
经典时空观和相对论时空观
1.经典时空观
（1）在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．
（2）在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．
2．相对论时空观
（1）在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝
.
（2）在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．
3．狭义相对论的两条基本假设
（1）相对性原理：
在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是不同的．
（2）光速不变原理：
不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的．
基础自测
1．（单选）关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是（ ）．
A．第一宇宙速度又叫环绕速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
2．（单选）关于万有引力公式F＝G
，以下说法中正确的是（ ）．
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
3．（多选）关于公式m＝
，下列说法中正确的是（ ）．
A．公式中的m0是物体以速度v运动时的质量
B．当物体的运动速度v>0时，物体的质量m>m0，即物体的质量改变了，故经典力学不适用，是不正确的
C．当物体以较小速度运动时，质量变化十分微弱，经典力学理论仍然适用，只有当物体以接近光速运动时，质量变化才明显，故经典力学适用于低速运动，而不适用于高速运动
D．通常由于物体的运动速度太小，故质量的变化引不起我们的感觉．在分析地球上物体的运动时，不必考虑质量的变化
4．（多选）在地球的圆形同步轨道上有某一卫星正在运行，则下列正确的是（ ）．
A．卫星的重力小于在地球表面时受到的重力
B．卫星处于完全失重状态，所受重力为零
C．卫星离地面的高度是一个定值
D．卫星相对地面静止，处于平衡状态
5．（单选）随着“神舟十号”与“天宫一号”成功“牵手”及“嫦娥”系列月球卫星技术的成熟，我国将于2020年前发射月球登陆器，采集月球表面的一些样本后返回地球，为中国人登陆月球积累实验数据．月球登陆器返回时，先由月球表面发射后绕月球在近月圆轨道上飞行，经轨道调整后与停留在较高轨道的轨道舱对接，对接完成后再经加速脱离月球飞回地球，下列关于此过程的描述中正确的是（ ）．
A．登陆器在近月圆轨道上运行的速度必须大于月球第一宇宙速度
B．登陆器与轨道舱对接后的运行周期小于对接前登陆器的运行周期
C．登陆器与轨道舱对接后必须加速到等于或大于月球第二宇宙速度才可以返回地球
D．登陆器与轨道舱对接时登陆器的速度大于其在近月轨道上的运行速度
热点一 星体表面上的重力加速度问题
计算重力加速度的方法
（1）在地球表面附近的重力加速度g
（不考虑地球自转）：
mg＝G
，得g＝
（2）在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，
mg′＝
，得，g′＝
所以
＝
（3）其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析．
【典例1】为了实现人类登陆火星的梦想，近期我国宇航员王跃与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动．已知火星半径是地球半径的
，质量是地球质量的
，自转周期也基本相同．地球表面重力加速度是g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（ ）．
A．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的
B．火星表面的重力加速度是
g
C．火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的
D．王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是
h
【跟踪短训】
1．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的（忽略其自转影响）（ ）．
A.
倍B．4倍 C．16倍 D．64倍
热点二 天体质量和密度的估算
1．天体质量及密度的估算
（1）天体质量的估算：
①已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G
＝m
2r得M＝
，只能用来求中心天体的质量．
②已知天体表面重力加速度、天体半径和引力常量，由mg＝G
得M＝
.
（2）天体密度估算一般在质量估算的基础上，利用M＝ρ×
πR3进行．
2．估算天体问题应注意三点
（1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24h，公转周期为365天等．
（2）注意黄金代换式GM＝gR2的应用．
（3）注意密度公式ρ＝
的理解和应用．
【典例2】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为（ ）．
A．8.1×1010kg B．7.4×1013kgC．5.4×1019kg D．7.4×1022kg
【跟踪短训】
2．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（ ）．
A.
B．
C．
D．
3．已知引力常量为G，那么在下列给出的各种情境中，能根据测量的数据估算出火星的平均密度的是（ ）．
A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t
B．发射一颗贴近火星表面绕火星做圆周运动的飞船，测出飞船的周期T
C．观察火星绕太阳的圆周运动，测出火星的直径D和火星绕太阳运行的周期T
D．发射一颗绕火星做圆周运动的卫星，测出卫星绕火星运行的轨道半径r和卫星的周期T
热点三 卫星运行参量的分析与计算
1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路
（1）一个模型天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
（2）两组公式G
＝m
＝mω2r＝m
r＝ma
mg＝
（g为星体表面处的重力加速度）
2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
⇒当r增大时
3．地球同步卫星的特点
轨道平面一定
轨道平面与赤道平面重合
高度一定
距离地心的距离一定，h＝4.225×104km；
距离地面的高度为3.6×104km
环绕速度一定
v＝3.08km/s，环绕方向与地球自转方向相同
角速度一定
ω＝7.3×10－5rad/s
周期一定
与地球自转周期相同，常取T＝24h
向心加速度大小一定
a＝0.23m/s2
4.卫星的可能轨道（如图所示）
卫星的轨道平面一定过地球的地心
【典例3】“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是（ ）．
A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的
D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的
反思总结 人造卫星问题的解题技巧
（1）利用万有引力提供向心力的不同表述形式：
①G
＝man；②an＝
＝rω2＝
r
（2）解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律．
①卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．
②an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．
【跟踪短训】
4．如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是（ ）．
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
5．我国于2013年6月11日17时38分发射“神舟十号”载人飞船，并与“天宫一号”目标飞行器对接．如图所示，开始对接前，“天宫一号”在高轨道，“神舟十号”飞船在低轨道，各自绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度分别为h1和h2（设地球半径为R），“天宫一号”的运行周期约为90分钟．则以下说法正确的是（ ）．
A．“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为
B．“天宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比为
C．“天宫一号”的角速度比地球同步卫星的角速度大
D．“天宫一号”的线速度大于7.9km/s
物理建模 7.宇宙双星模型
1．模型条件
（1）两颗星彼此相距较近．
（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动．
（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动．
2．模型特点
（1）“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．
（2）“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等．
（3）“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．
3．解答双星问题应注意“两等”“两不等”
（1）双星问题的“两等”：
①它们的角速度相等．
②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．
（2）“两不等”：
①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等．
【典例】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）．
A.
T B．
T
C．
T D．
T
反思总结 双星系统问题的误区
（1）不能区分星体间距与轨道半径：
万有引力定律中的r为两星体间距离，向心力公式中的r为所研究星球做圆周运动的轨道半径．
（2）找不准物理现象的对应规律．
即学即练 如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为m1、m2.
（1）求B的周期和速率．
（2）A受B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试求m′.（用m1、m2表示）
附：
对应高考题组
1．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）．
A．1－
B．1＋
C．
2 D．
2
2．今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107m．它与另一颗同质量的同步轨道卫星（轨道半径为4.2×107m）相比（ ）．
A．向心力较小B．速率较大
C．发射速度都是第一宇宙速度D．角速度较小
3．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的（ ）．
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍D．向心力大小约为卡戎的7倍
4．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是（ ）．
A．甲的周期大于乙的周期B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的向心加速度小于乙的向心加速度D．甲在运行时能经过北级的正上方
5．如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的（ ）．
A．速率大 B．向心加速度大
C．运行周期长 D．角速度小
A 对点训练——练熟基础知识
题组一 天体质量的估算
1．（多选）1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出（ ）．
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．可求月球、地球及太阳的密度
2．（单选）为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则太阳的质量为（ ）．
A.
B．
C.
D．
题组二 卫星运行参量的分析与计算
3．（多选）人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以沿椭圆轨道绕地球运动．对于沿椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是（ ）．
A．近地点速度一定等于7.9km/sB．近地点速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/s
C．近地点速度可以小于7.9km/sD．远地点速度一定小于在同高度圆轨道上的运行速度
4．（多选）2013年2月16日凌晨，2012DA14小行星与地球“擦肩而过”，距离地球最近约2.77万公里．据观测，它绕太阳公转的周期约为366天，比地球的公转周期多1天．假设小行星和地球绕太阳运行的轨道均为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2，以下关系式正确的是（ ）．
A.
＝
B．
＝
C.
＝
D．
＝
5．（多选）2013年2月，一块陨石坠落在俄罗斯乌拉尔山脉地区．假设该陨石在落地前在大气层内绕地球做圆周运动，由于空气阻力的作用，半径会逐渐减小．关于该陨石的运动，以下说法正确的是（ ）．
A．陨石的速率逐渐增大B．陨石的周期逐渐减小
C．陨石的向心加速度逐渐减小D．陨石的机械能逐渐增大
题组三 星体表面的重力加速度
6．（多选）美国航空航天局发射的“月球勘测轨道器”LRO，每天在50km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则（ ）．
A．LRO运行时的向心加速度为
B．LRO运行时的向心加速度为
C．月球表面的重力加速度为
D．月球表面的重力加速度为
7．（多选）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面重力加速度为g′，地球的质量为M地，该星球的质量为M星．空气阻力不计．则（ ）．
A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝1∶5
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
8．（单选）“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料．设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是（ ）．
A．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的
倍
B．同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的
倍
C．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的
倍
D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的
倍
题组四 双星、多星问题
9．（多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图4－4－5所示．若AO>OB，则（ ）．
A．星球A的质量一定大于B的质量
B．星球A的线速度一定大于B的线速度
C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
10．（多选）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是（ ）．
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
11．（多选）宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r.关于该三星系统的说法中正确的是（ ）．
A．在稳定运行情况下，大星体提供两个小星体做圆周运动的向心力
B．在稳定运行情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧
C．小星体运行的周期为T＝
D．大星体运行的周期为T＝
B 深化训练——提高能力技巧
12．（单选）2012年6月，“神九”飞天，“蛟龙”探海，实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”这个充满浪漫主义气概的梦想．处于340km高空的“神九”和处于7000m深海的“蛟龙”的向心加速度分别为a1和a2，转动的角速度分别为ω1和ω2，下列说法中正确的是（ ）．
A．因为“神九”离地心的距离较大，根据ω＝
得ω1<ω2
B．根据ω＝
可知，ω与圆周运动的半径r无关，所以ω1＝ω2
C．因为“神九”离地心的距离较大，根据a＝
得a1D．因为“神九”离地心距离较大且角速度也较“蛟龙”大，根据a＝ω2r得a1>a2
13．（多选）对宇宙的思考一直伴随着人类的成长，人们采用各种方式对宇宙进行着探索，搜寻着外星智慧生命，试图去证明人类并不孤单．其中最有效也是最难的方法就是身临其境．设想某载人飞船绕一类地行星做匀速圆周运动，其轨道半径可视为该行星半径R，载人飞船运动周期为T，该行星表面的重力加速度为g，引力常量为G，则（ ）．
A．飞船的速度是绕行星做圆周运动的最大速度B．该行星的平均密度可表示为
C．飞船做圆周运动的半径增大，其运动周期将减小D．该行星的平均密度可表示为
14．（单选）迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“G1－581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0℃到40℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ）．
A．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
B．如果人到了该行星，其体重是地球上的2
倍
C．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的
倍
D．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短
专题四 剖析卫星运动问题中的“两大难点”
难点一 近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动的比较
（1）轨道半径：
近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同>r近＝r物．
（2）运行周期：
同步卫星与赤道上物体的运行周期相同．由T＝2π
可知，近地卫星的周期要小于同步卫星的周期，即T近（3）向心加速度：
由G
＝ma知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度．由a＝rω2＝r
2知，同步卫星的加速度大于赤道上物体的加速度，即a近>a同>a物．
（4）动力学规律：
近地卫星和同步卫星都只受万有引力作用，由万有引力充当向心力，满足万有引力充当向心力所决定的天体运行规律．赤道上的物体由万有引力和地面支持力的合力充当向心力（或者说由万有引力的分力充当向心力），它的运动规律不同于卫星的运动规律．
【典例1】地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略），所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（ ）．
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
图1
即学即练1 如图所示，a是地球赤道上的一点，t＝0时刻在a的正上空有b、c、d三颗轨道均位于赤道平面的地球卫星，这些卫星绕地球做匀速圆周运动的运行方向均与地球自转方向（顺时针转动）相同，其中c是地球同步卫星．设卫星b绕地球运行的周期为T，则在t＝
T时刻这些卫星相对a的位置最接近实际的是（ C ）．
难点二 卫星的变轨问题
1．卫星变轨的原因
（1）由于对接引起的变轨
（2）由于空气阻力引起的变轨
2．卫星变轨的实质
（1）当卫星的速度突然增加时，G
，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆
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