奥赛培训内部资料第三讲万有引力与天体运动含高考真题共张.ppt

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第三讲：

万有引力与天体运动,牛顿定律圆周运动,“称地球的重量卡文迪许”,例1某行星围绕太阳C沿椭圆轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为vA，行星的远日点B离开太阳的距离为b，求它经过远日点B时的速度vB的大小。

解析：

设一个很短的时间微元t,由开普勒第二定律有：

A,C,B,va,vb,点评：

（1）微元法,

（2）开普勒第二定律,一开普勒定律及其应用,点评：

角动量及其守恒,r,S,r,例2利用角动量守恒证明开普勒第二定律。

例3对于太阳系中行星的运动，天文观测中发生了如下事实（称为开普勒三定律）：

（1）各个行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳的位置是椭圆的一个焦点。

（第一定律）

（2）对于每个行星来说，太阳与行星的连线在每单位时间内扫过的面积（称为面积速度）相等。

（第二定律）（3）行星椭圆轨道的半长轴的三次方和公转周期的平方的比值，对于各个行星来说是相同的。

（第三定律）行星运动的轨道如图所示，P为行星，F为椭圆焦点（太阳），a、b、c分别为半长轴，半短轴和焦距，O为椭圆的中心。

根据万有引力定律，行星和太阳的引力势能为，其中G为万有引力常量，M为太阳的质量，m为行星的质量，r为太阳至行星的距离。

试根据机械能守恒定律，开普勒第一、第二定律，分别导出行星运动的总机械能E，面积速度S和公转周期T的公式（用G、M、m、a、b表示），并证明开普勒第三定律。

解析：

如图所示，设A、B两点行星速率为vA、vB，面积速度为SA、SB，则有：

开二定律：

机械能：

机械能：

面积速度：

椭圆面积：

周期：

将上式两边平方得：

开普勒第三定律,例4一物体A由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度。

已知地球半径R=6400km，物体在地球引力场中的引力势能（M为地球的质量，m为物体的质量，r为物体到地心的距离）。

若不计物体在运动中所受的阻力，求此物体在空中运动的时间。

点评：

（1）物体A的运动能否看成是匀变速直线运动？

（2）仅受地球引力作用，物体物体的运动轨迹通常是怎样的？

解析：

将物体A的运动轨迹等效为一狭长的椭圆，其两焦点位于长轴的两端，设其半长轴为a，物体A的初始位置离地心的距离为r。

物体A落到地面时的速度为第一宇宙速度，即：

R为地球半径，g为地球表面处的重力加速度。

机械能守恒定律：

三式联立求解得：

所以：

由开普勒第三定律知,物体A绕上述椭圆轨道运动的周期与半径为R的圆轨道运动周期相等。

椭圆面积：

物体A运动过程中与地心边线扫过的面积：

开二定律：

二天体运动,1万有引力,例5试证明：

一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零。

证明：

如图所示，设想一均匀球壳内任一点位置A有一质量m的质点，设球壳质量面密度为,取面元S1，以r1表示其与A点的距离，则它对A处质点的引力为：

面元S1的边界线延长得面元S2,几何关系：

累加求和,例6不考虑地球的公转，假想将地球沿地轴打穿形成一条通道，将一小球（可看成质点）从北极自由释放，试证明小球绕地心做简谐运动。

证明：

设地球半径为R，密度为。

小球质量为m，所在位置离地心的距离为r，如图所示。

F,小球所受合外力（万有引力）F与位移方向相反，大小为：

例7小行星带起源（可追溯到古希腊有关太阳神的儿子法艾东的神话中，传说法艾东被宙斯击毙）的假设之一是这样的：

当一些大石块跟木星靠得很近时，在木星引力场的作用下崩裂成很多小石块，即形成小行星带。

若大石块的半径r=104km，它的质量m（小行星的总质量）是木星质量M的106分之一。

试问大石块刚崩裂时距木星中心的距离是多少？

点评：

大石块为什么为崩裂？

R,a1,a2,解析：

大石块崩裂的条件：

例8新发现一行星，其半径为R=6400km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋深度为10km。

学者们对该行星进行探查时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变。

试求此行星表面处的自由落体加速度。

已知万有引力常量G=6.6710-11Nm2/kg2。

点评：

均匀球体表面处重力加速度：

h,星球（包括水层）半径R，除表层海洋外内层半径R0，质量M，表层海洋深度h，点A到星球中心的距离r。

解析：

设星球表面处海水质量为m，则有：

星球表层海洋底面和表面处的重力加速度,依题意：

g表=g底,2引力做功与引力势能,例9将一质量为m的质点由地球表面移到无穷远处，这一过程中克服引力做多少功？

取无穷远处引力势能为零，由此导出物体与地心相距为r（r大于地球半径）时两者间相互作用的引力势能的表达式。

已知地球质量为M，地球的半径为R，万有引力常为G。

解析：

方法一:

微元法,R,R,R1,R2,R3,方法二：

积分法,dx,x,非保守力做的功等于相应势能的减少量,引力做功：

例10.（2013安徽）质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量。

该卫星原来的在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为ABCD,C,设m、r、v、Me,稳定运行时：

例11（2014模拟）下图所示为某行星绕太阳做椭圆运动的示意图，图中A、B两点在轨道长轴上，C点在轨道短轴上，试证明：

（1）行星运动过程中C点的速率为A、B两点速率的几何平均值；

（2）轨道上A、C两点曲率半径的乘积等于轨道半长轴与半短轴的乘积。

3曲率与曲率半径,

（1）设a、b、c,机械能守恒定律：

开普勒第二定律：

椭圆性质：

对C点：

C点速率是A、B两点速率的几何平均值。

解析：

（2）设ABC,Vc,F引,F向,对C点：

（1）第一宇宙速度,在地面上发射一航天器，使之能绕地球的圆轨道运行所需的最小发射速度。

设m、r、v、Re、Me,动能：

引力势能：

机械能：

稳定运行时：

发射后瞬时：

即：

例12.三种宇宙速度的推导,4发射速度,讨论：

（1）r越大，则所需v0也越大。

（2）r的取值范围：

结论：

（1）r=Re,第一宇宙速度,

（2）r=,第二宇宙速度,

（2）第二宇宙速度,在地面上发射一航天器，使之能脱离地球的引力所需的最小发射速度。

思考：

航天器在什么位置所受地球引力为零？

取r=,（3）第三宇宙速度,在地面上发射一航天器，使之不但能脱离地球的引力，还要脱离太阳的引力所需的最小发射速度。

太阳质量,地球公转半径,远离地球但在地球公转轨道附近的航天器的最小逃逸速度v0,地球的公转速度,航天器的发射要充分利用地球的公转速度！

航天器在脱离地球时相对于地球的速度v0,机械能守恒定律的应用,例13.（2014模拟）质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量。

若已知地球半径为Re，同步卫星轨道半径为Rc，则同步卫星的最小发射速度为（卫星发射后运动过程中空气阻力不计）：

A,例14.（2014华约）已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g，一天时间记为T0，质量为m1和m2、相距为r的两个物体万有引力势能公式。

（1）求地球同步卫星在轨道上运行的速度；

（2）在赤道上竖直发射该同步卫星的最小速度。

（1）设地球质量M，同步卫星质量为m，轨道半径为RC,解析：

卫星与地球同步，有,由地球表面重力加速度定义得,或,或,或,

（2）由机械能守恒得,或,或,或,或,例15要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料。

由地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日速度？

已知地球绕日公转的速度为v0。

点评：

地球公转轨道，设半径为R,飞船绕日运行轨道，设半长轴为a,因二者周期相等,椭圆性质：

P为椭圆轨道上短半轴端点,v,点评：

设自P点发射，速度方向如图所示，取时间微元t，则：

飞船与太阳连线扫过的面积：

地球与太阳连线扫过的面积：

例16从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确打击北极点N的目标，要求发射所用的能量最少。

假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km。

已知质量为m的物体在地球引力作用下做椭圆轨道运动时，其能量E与椭圆的半长轴a的关系为，式中M为地球质量，G为引力常量，地球表面处重力加速g=9.8m/s2。

（1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与从地心O到发射点C之间的连线之间的夹角表示）。

（2）若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？

（3）试导出。

解析：

（1）导弹做椭圆轨道运动，要击中N，该椭圆位于O、N、C组成的平面（C所在的子午面），所以发射速度必在这一平面内。

该椭圆的长轴过O点，且垂直于CN，O是椭圆的一个焦点，另一个焦点必在直线AB上。

要求发射能量最少，必须a最小,另一焦点应为CN与AB的交点P（？

）,P,设发射速度为v，则,又,联立以上各式求解得：

v,

（2）由于地球绕过ON的轴自转，赤道上的C点相对于地心的速度设为vC，地球的自转周期为T，则,为使导弹相对于地心的速度位于子午线面内，且大小和方向满足

（1）的要求，其发射速度应有一分量与vC与等大反向。

此时导弹发射速度的大小：

（3）对近地点和远地点,机械能守恒：

开二定律：

椭圆性质：

例17.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。

当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。

据报道，2014年各行星冲日时间分别是：

1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。

已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是A各地外行星每年都会出现冲日现象B在2015年内一定会出现木星冲日C天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短,5稳定运行,点评：

（1）行星冲日：

理解能力,

（2）情境示意图,（3）建模能力：

（4）发生“行星冲日”的时间间隔：

地球比行星多运动一周的时间,故选项A错误。

故选项B正确。

BD,即所有行星冲日的时间间隔均大于一年，且轨道半径越大的行星其冲日时间间隔越短。

木星冲日的时间间隔的一半不到一年，土星相邻两次冲日的时间间隔的一半更是小于一年。

故选项C错误。

由行星冲日时间间隔表达式知，轨道半径越大，相邻两次冲日时间间隔越短。

故选项D正确。

例18如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动员。

地球的运转周期为T。

地球和太阳的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。

已知该行星的最大视角为，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。

（1）求行星绕太阳转动的角速度与地球绕太阳转动的角速度之比；

（2）若某时刻该行星正处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？

解析：

（1）设行星和地球轨道半径分别为r和R，行星与太阳和地球连线的夹角为，由正弦定理有：

显然，当=900时该行星视角最大,即,

（2）如图所示，设地球、行星、太阳位置分别为A、B、O，设二者均绕太阳逆时针运转。

若处于最佳观察期时，行星落后于地球，则下一次处于最佳观察期时，行星一定超前于地球，则：

若处于最佳观察期时，行星超前于地球，则下一次处于最佳观察期时，行星一定落后于地球，则：

例19.质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量。

若某种客观原因使卫星机械能发生变化，则在以后的运动中：

A.若机械能增加，则其动能一定减少，且机械能增加多少，动能就减少多少B.若机械能增加，则其动能一定增加C.若机械能减少，则其动能一定增加，且机械能减少多少，动能就增加多少D.若机械能减少，则其动能一定减少,6变轨运行,点评：

“卫星怪象”,即：

卫星圆轨道的机械能等于动能的负值。

即：

卫星动能的增加量等于其总机械能的减少量。

例20质量为m的宇宙飞船绕地球中心O作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。

现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图所示。

求：

（1）转移所需的最少能量；

（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化量各为多少？

解析：

（1）设飞船在2R和4R轨道上稳定运行时的机械能分别为E1和E2，则：

同理可得：

（2）由

（1）得飞船在2R和4R轨道上稳定运行时的速度分别为：

设飞船在椭圆轨道A、B两点的速度分别为v1和v2，则,例21.（2010年五校联考题12分）卫星携带一探测器在半径为3R（R为地球半径）的圆轨道上绕地球飞行。

在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。

若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离为nR（n略小于3），求卫星与探测器的质量比。

（质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为-GMm/r，式中G为引力常量）,点评：

描述问题的三种方法,

（1）二者绕地球飞行,

（2）在a点，,（3）探测器恰好,（4）卫星在新的椭圆轨道上运动,解析：

设地球质量为M,卫星质量为m，探测器质量为m，当卫星与探测器一起绕地球做圆周运动时速率为v1，由万有引力定律和牛顿第二定律得,设分离后探测器速度为v2，探测器刚好脱离地球引力应满足,设探测器分离后卫星速率v3，到达近地点时，卫星速率为v4，由机械能守恒定律可得,由开普勒第二定律有,联立解得,分离前后动量守恒,联立以上各式求解得：

例22.质量为M的宇航站和对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其轨道半径是地球半径的n倍（n1.25）。

某一瞬时，飞船从宇航站沿原运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR，求质量m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？

解析：

M+m：

m：

例23.（2013北约）将地球半径R、自转周期T、地面重力加速度g取为已知量，则地球同步卫星的轨道半径为_R，轨道速度对第一宇宙速度的比值为_。

点评：

设同步卫星轨道半径为r，线速度为v，则,7同步卫星,点评：

同步卫星的六个“一定”,

（1）位置与绕行方向一定所有同步卫星均在赤道的正上方，运行方向与地球自转方向一致。

（2）周期一定同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同，即T=24h。

（3）角速度一定同步卫星的运转角速度地于地球的自转角速度。

（4）高度一定（R为地球半径）,（5）线速度一定,（6）向心加速度一定,即h处的向心加速度大小等于h处的重力加速度大小。

例24（第16届复赛）经过天文望远镜长期观察，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。

双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。

一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。

现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量均为M，两者相距L。

正围绕两者的中点做圆周运动。

（1）试计算该双星系统的运动周期T1；

（2）若实际上观察到的运动周期为T2，且（N1），为解释的T2与T1的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观察不到的暗物质。

作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响。

试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

（1）引力的大小,

（2）轨道半径的大小,（3）周期的大小,请证明：

请证明：

（4）线速度大小：

点评：

双星系统,解析：

（1）双星均绕它们连线中点做圆周运动，设速率为v，则有：

（2）因为：

将暗物质等效；观到双星的速率为发v,轨道一定时，周期与速度成反比，即：

设所求暗物质密度为，则：