初一上数学 整式的加减 培优讲义Word格式文档下载.docx

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（1）

，其中

；

（2）

.

　　分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．

　　　　　　　　=0-4a3b2-a2b-5

　　　　　　　　=-4×

13×

（-2）2-12×

（-2）-5

　　　　　　　　=-16+2-5=-19．

（2）原式=3x2y-xyz+（2xyz-x2z）+4x2z[3x2y-（xyz-5x2z）]

　　　　　=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+（xyz-5x2z）

　　　　　=（3x2y-3x2y）+（-xyz+2xyz+xyz）+（-x2z+4x2z-5x2z）

　　　　　=2xyz-2x2z

　　　　　=2×

（-1）×

2×

（-3）-2×

（-1）2×

（-3）

　　　　　=12+6=18．

　　说明本例中

（1）的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；

（2）是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．

　　【例2】已知

，求

的值．

　　分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．

　　解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简

　　a3+3ab-b3=（b-1）3+3（b-1）b-b3

　　　　　=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3

　　　　　=-1．

　　说明这是用代入消元法消去a化简求值的．

　　解法2因为a-b=-1，所以

　　原式=（a3-b3）+3ab=（a-b）（a2+ab+b2）+3ab

　　　　=-1×

（a2+ab+b2）+3ab=-a2-ab-b2+3ab

　　　　=-（a2-2ab+b2）=-（a-b）2

　　　　=-（-1）2=-1．

　　说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3因为a-b=-1，所以

　　原式=a3-3ab（-1）-b3=a3-3ab（a-b）-b3

　　　　=a3-3a2b+3ab2-b3=（a-b）3

　　　　=（-1）3=-1．

　　说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab（-1）=-3ab（a-b），从而凑成了（a-b）3．

　　解法4因为a-b=-1，所以（a-b）3=（-1）3=1，

　　即a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab（a-b）=-1，

　　所以a3-b3-3ab（-1）=-1，　　即a3-b3+3ab=-1．

　　说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．

　　解法5

　　a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab

　　　　　　=（a-b）3+3ab（a-b）+3ab

　　　　　　=（-1）3+3ab（-1）+3ab

　　　　　　=-1．

　　说明这种解法是添项，凑出（a-b）3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：

（a+b）2=a2+2ab+b2；

（a-b）2=a2-2ab+b2；

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；

（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3；

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

　【例3】已知

，求代数式

的值.

　　解由已知，xy=2（x+y），代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以

【例4】已知

　　解因为a=3b，所以c=5a=5×

（3b）=15b．

　　将a，c代入所求代数式，化简得

　【例5】已知

满足条件：

（1）

与

是同类项.

求代数式

　　解因为（x-5）2，｜m｜都是非负数，所以由

（1）有

　　由

（2）得y+1=3，所以y=2．

　　下面先化简所求代数式，然后再代入求值．

　　　　=x2y+5m2x+10xy2

　　　　=52×

2+0+10×

5×

22=250

【例6】如果

，并且

　分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．

　　解14a-2b=2（7a-b）

　　　　　=2[（4a+3a）+（-3b+2b）]

　　　　　　=2[（4a-3b）+（3a+2b）]

　　　　　　=2（7+19）=52．

【例7】当

时，求代数式｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．

　　分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：

0，1，2，

据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．

　　原式=x+（x-1）+（x-2）-（x-3）-（x-4）-（x-5）

　　　　=-1-2+3+4+5=9．

　　说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．

【例8】若x:

y:

z=3:

4:

7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？

　　分析x:

7可以写成

的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．

x=3k，y=4k，z=7k．

　　因为2x-y+z=18，　　所以2×

3k-4k+7k=18，

　　所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．

　【例9】已知x=y=11，求（xy-1）2+（x+y-2）（x+y-2xy）的值．

　　分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．

　　解设x+y=m，xy=n．

　　原式=（n-1）2+（m-2）（m-2n）

　　　　=（n-1）2+m2-2m-2mn+4n

　　　　=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2

　　　　=（n+1）2-2m（n+1）+m2

　　　　=（n+1-m）2

　　　　=（11×

11+1-22）2

　　　　=（121+1-22）2

　　　　=1002=10000．

　　说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．