北京高考理科数学试题及答案Word文档格式.docx
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3
（4）若x,y满足x<
3,
'
x+y》2,贝Ux+2y的最大值为
ywx,
（5）已知函数f（x）
=3x
1X
-1，则f（x）
（A）是奇函数，
且在
R上是增函数
（B）是偶函数，
（C）是奇函数，
R上是减函数
（D）是偶函数，
（A）1
（B）3
（C）5
（6）
（D）9
设m,n为非零向量，则“存在负数，，使得m—n”是“m・nvO”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）3-、2
（B）23
（C）2.2
（D）2
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的
原子总数N约为1O80.则下列各数中与M最接近的是
N
（参考数据：
Ig3沁0.4）
（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093
第二部分（非选择题共110分）
:
■、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2
（9）若双曲线x2-止=1的离心率为73，则实数m=
m
（10）若等差数列和等比数列紅｝满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则鱼二
b2
（11）在极坐标系中，点A在圆少-2Tcosr-4鼻in^*4=0上，点P的坐标为（1,0）,
则|AP|的最小值为.
（12）在平面直角坐标系xOy中，角a与角B均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。
若sin：
=—，贝Ucos（：
--）=
b，c的值依次为.
（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵
坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工
人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。
1记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi，Q2,Q3中最大的是。
2记Pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi，P2，P3中最大的是
三、解答题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
3在厶ABC中，NA=60°
c=—a.
7
（I）求sinC的值；
（H）若a=7,求厶ABC的面积.
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD丄平面ABCD,点M在线段PB
上，PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。
（17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组
不服药。
一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*
表示服药者，“+”表示为服药者.
60
B!
A
*?
欷*:
•:
:
;
!
*+\,++*
•/.?
•<
>
.**+十2*卜
••姬■•―一一4
・**••*•:
•■
1
O
1.7
（I）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率;
数，求°
的分布列和数学期望E^）;
（川）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小
（只需写出结论）
（18）（本小题14分）
21
已知抛物线C:
y2=2px过点P（1,1）.过点（0,）作直线I与抛物线C交于不同的两点M,N,
过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中0为原点.
（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（n）求证：
A为线段BM的中点.
（19）（本小题13分）
已知函数f（x）=ecosx-x.
（I）求曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程；
■JT
（n）求函数f（x）在区间［0,—］上的最大值和最小值.
（20）（本小题13分）
设｛an｝和｛bn｝是两个等差数列，记
Cn=max｛bi-ain血力2n,-nn｝（n=1,2,3,•厂）
其中max｛xi,x2,--xs｝表示xi,x2,^xs这s个数中最大的数.
（I）若an=n,bn=2n-1,求Ci,C2,C3的值，并证明｛cn｝是等差数列；
M；
或者存在正整数
（H）证明：
或者对任意正数M，存在正整数m,当n沏时，§
.
n
m,使得Cm,Cm+i,Cm+2,•是等差数列.
数学（理）（北京卷）答案
（3）C（4）D
⑺B（8）D
（10）1
（12）-1
9
（14）Q1P2
、
（I）A
（2）B
（5）A（6）A
、
（9）2
（II）1
（13）_1,一2,；
（答案不唯一）
三、
（15）（共13分）
解：
（I）在厶ABC中，因为.A=60,c=3a,
所以由正弦定理得sinC二浊△_!
二工.
a7214
（n）因为a=7，所以c7=3.
由余弦定理a2^b2c2-2bccosA得723^2b3-,
解得b=8或b=-5（舍）
（I）设AC,BD交点为E，连接ME•
因为PD//平面MAC，平面MAC「|平面PBD=ME，所以PD//ME.
因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点•
（II）取AD的中点O,连接OP,OE.
因为PA二PD，所以OP—AD.
又因为平面PAD_平面ABCD，且0P平面PAD，所以0P_平面ABCD.
因为0E平面ABCD，所以OP_0E.
因为ABCD是正方形，所以OE_AD.
如图建立空间直角坐标系O_xyz，则P（0,0,、、2）,D（2,0,0）,B（_2,4,0）,
BD=（4,-4,0），PD=（2,0,=2）.
『T
nBD=04x「4y二0设平面BDP的法向量为n=（x,y,z），贝U，即_.
nPD=0[2x—V2z=0
令x=1，则y=1,z「2.于是n二（1,1八2）.
TT
由题知—面角B-'
PD-'
A为锐角，所以它的大小为.
42I
（III）由题意知M（-1,2,）,D（2,4,0）,MC=（3,2,
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为
（17）（共13分）
（I）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，
15
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为0.3.
50
（n）由图知，A,B,C,D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：
A和C.
所以•的所有可能取值为0,1,2.
P（®
CM，P（JrCCM，P（SC
C46C43C4
所以'
的分布列为
P
6
121
故'
的期望E（）=0121.
636
（川）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差
（18）（共14分）
（I）由抛物线C:
y=2px过点P（1,1）,得p=—.
所以抛物线C的方程为y二x.
l的方程为y=kx+—（k式0）,1与抛物线C的交点为M（X1,yJ,
N（X2,y2）.
y=kx22
由2，得4k2x2（4k—4）x1二0.
.y2=x
xiX22
4k
因为点P的坐标为（1,1）,所以直线OP的方程为y=x，点A的坐标为（x1,y1）.
直线ON的方程为，点B的坐标为（刘,'
2必）.
X2X2
因为
.y2y1_ym+y2y1—2x1X2
y12x1:
11
（kx1）x2（kx2）x^2x1x2
（2k-2）x1x2扣2为）
X2
所以％•纱=2Xi.
故A为线段BM的中点.
（19）（共13分）
（I）因为f（x）二excosx-x，所以f（x）二eX（cosx-sinx）-1,f（0）=0•
又因为f（o）=1，所以曲线目二f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为y=「
（n）设h（=xx）ex,-则
h（x）=ex（cosx-sinx-sinx-cosx）--2exsinx.
当x（0,扌）时，h（x）：
：
0,
所以h（x）在区间［0,」］上单调递减.
所以对任意X（0,?
］有h（x）:
h（0）=0，即f（x）:
0.
所以函数f（x）在区间［0,—］上单调递减.
因此f（x）在区间［0,亍］上的最大值为f（0）-1，最小值为“亍）=一寺
（20）（共13分）解：
（I）g=bj-ai=1-1=0,c2二max{b-2a4,b2-2a2}=max{1-21,3-22}=-1,
c3=max{D-3a2,b3-3a3}=max{1-31,3-32,5-33}--2.
当n丄3时，（bk1—nak1）-（bk-nak）=（bk1-bj-n（ak1-ak）=2-n：
0,所以bk-nak关于k三N*单调递减.
所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,|,bn-ann}二dpn=1-n.
所以对任意n_1,Cn=1-n，于是Cn彳-Cn--1,
所以{Cn}是等差数列.
（n）设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2，贝U
bk-nak=b（k-1）d2-[a（kT）dj]n=DVn（d2-ndj（k-1）.
[b_an,当d2兰nd|时,
①当a0时，取正整数m-，则当n-m时，ndj•d?
，因此c.=D-玄勺n.
此时，陥，陥1,Cm』H是等差数列.
2当a=0时，对任意n一1,
Cn二bi-ajn（n-1）max{d2,0}-a1（n「1）（max{d2,0}「aj.
此时，G,C2,C3,|l（,Cn,|l（是等差数列.
3当d1<
0时，
rdo
当n-时，有ndj:
d2.
所以Cn丿-卸（n-1）（d2-ndi）二n（_dj•diyd2匕
nnn
"
（-d1）dj7d2-Id-d21.
对任意正数M，取正整数m-max{M——也——d2-1ai——di———2,—2
Vd1
故当n_m时，Cn.M.
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