专题10 图表信息问题研究解析版Word格式文档下载.docx
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x
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润；
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．
【解析：
（1）
产品种类
每天工人数/人
每天产量/件
每件产品可获利润/元
甲
65－x
2（65－x）
15
乙
x
130－2x
（2）由题意得15×
2（65－x）＝x（130－2x）＋550，∴x2－80x＋700＝0，解得x1＝10，x2＝70（不合题意，舍去），∴130－2x＝110（元），所以每件乙产品可获得的利润是110元；
（3）设生产甲产品m人，
W＝x（130－2x）＋15×
2m＋30（65－x－m）
＝－2x2＋100x＋1950
＝－2（x－25）2＋3200，
∵2m＝65－x－m，∴m＝
，
∵x，m都是非负整数，
∴取x＝26，此时m＝13,65－x－m＝26，
即当x＝26时，W大＝3198（元）．
所以安排26人生产乙产品时，可获得的最大总利润为3198元．
技法归纳：
利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
类型三：
例题3：
（2019甘肃省陇南市）（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
【答案】是2元、6元．
设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：
解得：
中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．
用方程（组）解决实际问题关键是要将数学“文字语言”转化为“符号语言”，所以理解数学语言既是学习数学的基础，也是解决数学问题的关键．年龄问题要随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量，且两个人的年龄差是不变的．
类型四：
例题4：
（2019·
贵州安顺·
10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
（1）设一次函数解析式为：
y＝kx+b
当x＝2，y＝120；
当x＝4，y＝140；
∴
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）由题意得：
（60﹣40﹣x）（10x+100）＝2090，
整理得：
x2﹣10x+9＝0，
x1＝1．x2＝9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
本题系图象信息题，通过图象上已知点坐标来求一次函数的解析式，从而轻松地解答本题．在解答过程中，要学会读图、分析图与用图，从图象上获取有用的解题信息．
类型五：
例题5：
（2019湖南益阳10分）某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表．
类别
频率
A
m
B
0.35
C
0.20
D
n
E
0.05
（1）求本次调查的小型汽车数量及m，n的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量．
（1）本次调查的小型汽车数量为32÷
0.2＝160（辆），
m＝48÷
160＝0.3，n＝1﹣（0.3+0.35+0.20+0.05）＝0.1；
（2）B类小汽车的数量为160×
0.35＝56，D类小汽车的数量为0.1×
160＝16，
补全图形如下：
（3）估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量为5000×
0.3＝1500（辆）．
综合利用各个统计图的信息是解题的关键；
扇形统计图，一般是两种形式出现：
一种形式是以百分比的形式出现，这样，用1减去其他百分比，即可算出该百分比；
另外一种形式是度数，则根据圆心角的度数除以360度，可算出该百分比，具体题目，还应学会灵活应用．
【变式训练】
1.（2018吉林）（7.00分）如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）冰冰同学所列方程中的x表示 ，庆庆同学所列方程中的y表示 ；
（2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
（3）解
（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
【分析】
（1）根据两人的方程思路，可得出：
x表示甲队每天修路的长度；
y表示甲队修路400米所需时间；
（2）根据题意，可找出：
（冰冰）甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；
（庆庆）乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米；
（3）选择两个方程中的一个，解之即可得出结论．
（1）∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程，
∴x表示甲队每天修路的长度；
∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
∴y表示甲队修路400米所需时间．
故答案为：
甲队每天修路的长度；
甲队修路400米所需时间．
（2）冰冰用的等量关系是：
甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；
庆庆用的等量关系是：
乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米（选择一个即可）．
（3）选冰冰的方程：
=
去分母，得：
400x+8000=600x，
移项，x的系数化为1，得：
x=40，
检验：
当x=40时，x、x+20均不为零，
∴x=40．
甲队每天修路的长度为40米．
选庆庆的方程：
﹣
=20，
600﹣400=20y，
将y的系数化为1，得：
y=10，
经验：
当y=10时，分母y不为0，
∴y=10，
=40．
2.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？
最大值是多少？
【解析】
（1）方法一：
设AE＝a，由题意，
得AE·
AD＝2BE·
BC，AD＝BC，
所以BE＝
a，AB＝
a，由题意，
得2x＋3a＋2×
a＝80，所以a＝20－
x，y＝AB·
BC＝
a·
x＝
x，
即y＝－
x2＋30x，其中0＜x＜40.
方法二：
根据题意得CF·
，CF＝
，DF·
，DF＝
所以2x＋2×
＋3×
＝80，
整理得y＝－
x2＋30x，其中0＜x＜40；
（2）y＝－
x2＋30x＝－
（x－20）2＋300，
由于－
＜0，抛物线开口向下，又0＜x＜40，
所以当x＝20时，y取最大值，最大值为300m2.
3.（2019湖北省鄂州市）．（8分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类型
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
人数
11
20
40
4
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中m的值为 25 ，统计图中n的值为 25 ，A类对应扇形的圆心角为 39.6 度；
（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
（1）∵样本容量为20÷
20%＝100，
∴m＝100﹣（11+20+40+4）＝25，n%＝
×
100%＝25%，A类对应扇形的圆心角为360°
＝39.6°
25、25、39.6．
（2）1500×
＝300（人）
该校最喜爱体育节目的人数约有300人；
（3）画树状图如下：
共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，
所以所选2名同学中有男生的概率为
．
4.4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
【解析】解：
设妹妹年龄为x，哥哥的年龄为y，根据题意，
得
解得
∴妹妹年龄为6岁，哥哥的年龄为10岁．
5.（2019甘肃省天水市）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生．
（2）请你补全条形统计图．
（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为______度．
（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？
【答案】50
115.2
（1）8÷
16%=50，
所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；
（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），
条形统计图为：
（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°
=115.2°
；
故答案为50；
115.2；
（4）1200×
=288，
所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．
6.（2018·
日照）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5h后到达甲地，游玩一段时间后按照原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示．
（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为__________km/h；
（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式，并求出乙地离小红家多少千米？
（1）10÷
0.5＝20（km/h），所以小红从甲地到乙地骑车的速度为20km/h；
（2）解法1：
20×
（2.5－1.5）＝20,20＋10＝30，
∴点C的坐标为（2.5,30）．当1.5≤x≤2.5时，
设路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式为y＝kx＋b.
把点B（1.5,10），点C（2.5,30）代入y＝kx＋b，
∴当1.5≤x≤2.5时，路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式为y＝20x－20，
乙地离小红家30千米．
解法2：
当1.5≤x≤2.5时，设路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式为y＝20x＋b.
把点B（1.5,10）代入y＝kx＋b，
得10＝20×
1.5＋b，
解得b＝－20.
所以当1.5≤x≤2.5时，
路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式为y＝20x－20.
当x＝2.5时，y＝20×
2.5－20＝30.
所以乙地离小红家30km.
7.（2018•咸宁）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；
若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金/（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为 辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？
其中哪种租车方案最省钱？
请说明理由．
【解析】：
（1）设老师有x名，学生有y名．
依题意，列方程组为
解之得：
老师有16名，学生有284名；
（2）∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能大于8辆；
又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于
（取整为8）辆，
综合起来可知汽车总数为8辆；
8；
（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：
（8﹣x）辆，
∵车总费用不超过3100元，
∴400x+300（8﹣x）≤3100，
x≤7，
为使300名师生都有座，
∴42x+30（8﹣x）≥300，
x≥5，
∴5≤x≤7（x为整数），
∴共有3种租车方案：
方案一：
租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；
方案二：
租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；
方案三：
租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；
故最节省费用的租车方案是：
租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
8.（2019•甘肃省庆阳市•8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°
．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：
当CD与水平线所成的角为30°
时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？
（参考数据：
取1.73）．
如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．
∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE＝FH，
在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°
∴CE＝AC•sin60°
＝34.6（cm），
∴FH＝CE＝34.6（cm）
∵DH＝49.6cm，
∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），
在Rt△CDF中，sin∠DCF＝
＝
∴∠DCF＝30°
∴此时台灯光线为最佳．
9.（2019•河北省•10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．
（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S的值；
在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴S头＝2t+300
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷
（2v﹣v）＝300÷
v＝300÷
2＝150s，此时S头＝2t+300＝600m
甲返回时间为：
（t﹣150）s
∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×
150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．
（2）T＝t追及+t返回＝
+
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：
v×
（T﹣150）＝v×
（
﹣﹣150）＝400﹣150v；
因此T与v的函数关系式为：
T＝
，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．
10.直线y=﹣
x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣
x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．
（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；
（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．
①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；
②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．
（1）在y=﹣
x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=2，
∴点A（2，0）、点B（0，3），
将点A（2，0）代入抛物线解析式，得：
4+4m﹣3m=0，
m=3，
所以抛物线解析式为y=﹣
x2+6x﹣9，
∵y=﹣
x2+6x﹣9=﹣
（x﹣4）2+3，
∴点D（4，3），对称轴为x=4，
∴点C坐标为（6，0）；
（2）如图1，
由
（1）知BD=AC=4，
根据0≤3t≤4，得：
0≤t≤
①∵B（0，3）、D（4，3），
∴BD∥OC，
∴∠CAD=∠ADB，
∵∠DPE=∠CAD，
∴∠DPE=∠ADB，
∵AB=
、AD=
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠DPE=∠ABD，
∴PQ∥AB，
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ=BP，即2t=4﹣3t，
t=
即当∠DPE=∠CAD时，t=
秒；
②（Ⅰ）当点N在AB上时，0≤2t≤2，即0≤t≤1，
连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H，
∵PN⊥BD、EM⊥BD，BD∥OC，PN=EM，
∴OF=BP=2t，PF=OB=3，NE=FH、NF=EH，NE∥FQ，
∴FQ=OC﹣OF﹣QC=6﹣5t，
∵点N在直线y=﹣
x+3上，
∴点N的坐标为（2t，﹣3t+3），
∴PN=PF﹣NF=3﹣（﹣3t+3）=3t，
∵NE∥FQ，
∴△PNE∽△PFQ，
∴FH=NE=
•FQ=
（6﹣5t）=6t﹣5t2，
∵A（2，0）、D（4，3），
∴直线AD解析式为y=
x﹣3，
∵点E在直线y=
x﹣3上，
∴点E的坐标为（4﹣2t，﹣3t+3），
∵OH=OF+FH，
∴4﹣2t=2t+6t﹣5t2，
t=1+
＞1（舍）或t=1﹣
（Ⅱ）当点N在AD上时，2＜2t≤4，即1＜t≤
∵PN=EM，
∴点E、N重合，此时PQ⊥BD，
∴BP=OQ，
∴2t=6﹣3t，
综上所述，当PN=EM时，t=（1﹣
）秒或t=
秒．
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