数学运算共18期.docx

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数学运算共18期

 2011.11.1数学运算第1期（基本题型全解析）

我现在觉得，这部分怎么去准备，应该是取决于你自己当前的水平和行测考试给自己定的目标。

之前出的资料分析专题里面我也有谈过，如果说资料分析的意义是保平的话，那数学这部分的战略意义就应该是争胜。

如果是普通的过关考试，无所谓，我这部分不行还有那边帮我补着呢，只要能考到60就行；但是择优类考试，你就必须强迫自己去会那些别人不会的东西，因为试题是会有区分度的，不然那种全卷都是1+1=？

的考试，如何从1000人中挑出最优秀的1个？

当你的竞争者越优秀，职位竞争越激烈，这一点的意义就越大。

当然换过来说，按正常的试卷难度，如果觉得自己考个60多点的行测就很满足、就足够了的话，那对试卷的整体把握还是更为重要些的。

     行测中65分是个槛，以下的要提到这个分数只要花段时间多做些真题还是不难的，但后面想再提高，细节就更为关键，而且上了70分以后每提1分都不是简单的事，越高的分数就越要求你在任何一个题型上都不能偏。

所以我还是想提醒一下那些不得已一定得冲高分（职位报考比例很高的那种）的朋友，这一部分必然是决胜的筹码，不然如果在这15道左右的题目中错误率过高或者直接选择全蒙，我敢保证你永远都是炮灰命，特别是国考。

     因此还是好好静下来思考下自己的现状，需要一个什么样的结果，然后再给自己的备考做些规划吧。

    下面进入正题，这一期主要还是从基本题型开始，然后后面渐渐加深。

因为数学运算，你如果连最基本的题型都不会，是真的很难去再做更深层次的题目。

现在真题几乎很少会直接出这种比较基本类型的题目，但它始终是基础，只是在这之上的千姿百态各种变化而已。

我会拿一些简单的题目来做例子，希望大家在学习这些基本题型的时候多思考多尝试拓展，而不是简单地去把公式背下来，或者只局限于记某道题的解法，那样是绝对没用的。

其实很多时候真的不是不会，而是懒得去钻研去思考罢了。

就像电脑刚普及的那会，586的机器windows98进系统读进度条读了半天我们都不嫌慢，但是换作在今天，打开个软件如果要等个10几秒，估计都有种砸电脑的冲动了，这也许就是习惯了快节奏所形成的一种浮躁心态吧，很缺乏耐性...所以想学好数量关系的题目，信心和耐心非常重要。

一.【数学计算】：

（下面^2表示平方的意思，^3表示立方...）需要掌握的东西：

平方差公式：

a^2-b^2=（a+b）（a-b）如：

13^2-11^2=（13+11）*（13-11）=24*2=48完全平方和差公式：

（a+b）^2=a^2+2ab+b^2                    （a-b）^2=a^2-2ab+b^2如：

（4+5）^2=4^2+2*4*5+5^2=16+40+25=81立方和差公式：

a^3+b^3=（a+b）（a^2-ab+b^2）               a^3-b^3=（a-b）（a^2+ab+b^2）如：

3^3+2^3=（3+2）（3^2-3*2+2^2）=5*（9-6+4）=35----记忆的话主要是如果是求和，那么后面就是-ab，如果是求差，那么后面就是+ab，符号相反而已。

很常见的每项分子一样，分母差也一样，然后N项相加求和的那种题目：

分数裂项公式：

（1/分母最小值-1/分母最大值）*（分子/分母差）如：

2/（1*4）+2/（4*7）+2/（7*10）....+2/（2001*2004）=（）的这种类型题那么套公式就是（1/1-1/2004）*（2/3）=2003/3006分配律的应用：

（a+b）*c=ac+bc如：

（5+3）*2=5*2+3*2      好了，基本公式都在这里了，那么怎么去运用它们呢？

套你应该会吧。

我随便出一道：

求18.5^2-16.5^2=？

     那么根据公式我们就知道应该是（18.5+16.5）（18.5-16.5）=35*2=70，简单吧？

     可现在的试卷几乎不可能会这么出，那你再看这道真题：

求20.07^2+19.87^2-20.07*19.87-20.07*19.87=？

    也许很多人在考场一看到这题，尼马的这么多数字，肯定算到天亮，果断放弃。

或者想了半天，我记得QZZN论坛有个叫筱月叹息的菜比说过这种计算类题的题目，但只给我说了5道公式啊，一道都用不上，这不坑我吗。

     我想说，公式是死的，人的脑袋应该是活的，用句不好听的话来说就是不应该过于死脑筋了，一定要懂得灵活变通。

第一：

既然公式是个等式，那为什么你只会想到从左边推到右边，却没想过右边同样也可以推回左边呢？

比如这道题目正是完全平方差公式的倒推，公式（a-b）^2=a^2-2ab+b^2，那么从右边推回左边就是：

a^2-2ab+b^2=（a-b）^2，把题目位置整理一下，现在是不是一样形式了：

20.07^2-2*20.07*19.87+19.87^2，就是等于（20.07-19.87）^2=0.2^2=0.04，解这道题几乎是5秒内的事。

第二：

5道公式，加上右边推左边，就变成10道，如果这10道公式再交叉混着来，那么就可以衍生出上百道“公式”出来。

     比如同样一道江苏的真题：

1/（3^2-1）+1/（5^2-1）+1/（7^2-1）+....1/（17^2-1）=？

很明显每个分母都是一道平方差的式子，所以我们先展开来看：

1/（3+1）（3-1）+1/（5+1）（5-1）+....1/（17+1）（17-1）=1/（2*4）+1/（4*6）+...1（16*18）这样是不是很眼熟了，就是裂项公式（1/2-1/18）*1/2=2/9。

这就是平方差公式和裂项公式的结合考察。

第三：

我所列的只是在公考最经常用到的几道公式而已，我似乎没义务也没这个能力为你把整个数学中所有的公式都一一罗列出来，其它的需要你不断地去寻找和挖掘。

     这里用这个例子是为了说明一些在数学复习中应该有的态度和方法，在考试过程中一道题目很难，你要想办法去把它简单化。

但是在复习过程中，无论一道题目有多么简单，你都要尽可能去把它复杂化，想的越复杂，思路越多，你收获的便会越多。

下面就不这样累赘了，可以参照上面的这个思路去渐渐拓展开。

二. 【等差数列相关问题】：

需要掌握的东西：

求和公式：

和=（首项+末项）*项数/2=平均数*项数=中位数*项数项数公式：

项数=（末项-首项）/公差  +1     公式又在这里了，我建议你根据这两道公式，自己动笔推一下每个值的求法，比如由上面公式，可以推导出首项=末项-（项数-1）*公差，等等...这样对你在做题的时候会很有帮助的，熟练了基本是看到题目求哪项，就知道应该怎么去求。

这种题目还是很好做的，首先你必须看到题目就知道它是属于等差数列这一类的，然后通过题干的已知条件，套进公式，来解出要求的条件。

     最基本的是像那种金字塔型堆钢管、座位人数每个前排都比后排多X人之类的题目，比如：

有一堆钢管，最下面一层是30根，第一层是1根，每一层比下一层少1根钢管，求整堆有多少根。

1.每一层都比下一层少1根，那可以判定它是等差数列的问题；2.找公式已知条件：

最大也就是末项30，最小也就是首项1，公差1，项数显然是30层3.要求的：

求整堆，显然也是要求和。

4.套公式：

和=（1+30）*30/2=465比如这里你就可以进行N种思路拓展：

（后面同理）           如果它是已知总共有多少根，然后题目没说第一层有多少根，让你去求层数呢？

           如果题目是说有两堆，第一堆是像题目所说上一层比下一层少1，出现第二堆上一层比下一层多1，再求两堆一共多少根呢？

（多重等差数列的结合）           ............三. 【工程问题】：

需要掌握的东西：

1道公式：

工程总量=工程效率*工作时间1个思想：

特值     工程问题我一般都是用特值来做，不过不是假设总量为1，而是寻找相关数字的最小公倍数来设总量，这样的转化会让你很方便地去计算。

比如最简单的例子：

一项工程，甲单独完成需要3天，乙单独完成需要4天，问如果两人合作的话，完成这项工程需要多少天？

     两者最小公倍数12，所以假设工程总量是12，那么甲的工作效率就是12/3=4（工程问题唯一公式的转换：

工作总量/工作时间=工作效率）乙工作效率就是12/4=3，那么两个人工作效率和就是4+3=7，也就是说两个人一起合作一天就能做7的量，那12/7就是两人一起合作所需要的天数了（工作总量/工作效率和=工作时间）四.【行程问题】：

同样也只有1道公式：

路程=速度*时间。

     但它可以衍生出N道公式，比如：

相遇的：

速度和*时间=总路程，追击的：

追上的时间=路程/两人速度差     然后那些什么列车过桥过山洞，钟面问题、数车、数间隔时间，顺流逆流、漂流瓶等等乱七八糟的题型，全部都是基于上面的那道公式所推导出来的，所以一定要自己多动笔去写写...几个思想：

方程、画线段图、比例法。

其中画图是最重要的，线段图画得好画得熟练，可以让你的思路一下子清晰很多。

五. 【排列组合及概率】：

两道公式：

我还是举个例子说明一下，不然写着看起来会好象很复杂的样子。

排列公式：

A（5，3）=5*4*3 ----------------------由“前数”开始，逐渐递减，递减“后数“项的连乘，                比如A（7，5）就是由7开始，逐渐递减，递5项：

7*6*5*4*3组合公式：

C（5，3）=5*4*3/（3*2*1）----------------------由”前数“开始5开始，逐渐递减，递减“后数“项的连乘，然后除以”后数“开始递减到1的连乘，                比如C（7，5）就是由7开始，逐渐递减，递5项：

7*6*5*4*3，除以由5开始递减到1的连乘：

5*4*3*2*1                即：

7*6*5*4*3/（5*4*3*2*1）一个推导公式：

C（M，N）=C（M，M-N），               比如C（7，5）=C（7，2），C（8，3）=C（8，5）等等。

     做这种题目首先一定要弄清楚是不是跟顺序有关，如果有关那就是属于排列问题，无关则是属于组合的，这是最基本的。

几种思想：

捆绑，插板，插空等。

详细方法后面会说。

六.【利润问题】：

两道公式：

售价=成本+利润，           利润率=利润/成本同样是公式的各种推导和转化。

一种思想：

同样是特值，不过这是运用在题目没标明准确价格的情况下。

比如10国考的一道题：

     一商品进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为？

     题目只给了两个百分值，其它的几乎什么都没说，怎么办？

其实有这两个东西就已经足够了，既然低了5%，那我就可以假设上个月进价100，这个月就是95了（这样就低了5%是吧）要求上月利润率，按公式需要知道上月利润和成本，题目有一句话很重要：

”超市仍按上月售价销售“，意思就是说售价前后不变，那我们可以假设这个不变的量为X，那么就有（X-95）/95-（X-100）/100=6%  ------------即（这个月的售价--这个月进价）/这个月进价 --- （上个月售价-上个月进价）/上个月进价=6%进价也就是成本，售价-成本=利润没错吧，所以方程意思就是这个月利润/这个月进价-上个月利润/上个月进价=6%（这个月利润率比上个月利润率高了6个百分点），解得X=114，再代进去就是（114-100）/100=14%了这种问题最重要最重要的几点：

1.假设的量要尽量方便计算，                              2.要看清是谁比谁，千万别弄错顺序，有点像资料分析的题目。

                              3.抓住不变的量，建立方程。

七.【浓度问题】：

几乎就是两道公式的转化：

浓度=溶质/溶液，溶液=溶质+溶剂（要注意在解题过程中不要把溶液和溶剂搞混了...）非常非常重要的一个核心：

稀释的问题中，溶质的量永恒不变。

非常非常重要的一种解题方法：

十字相乘。

拿公子哥每日一练中的一道题目来说：

    现有浓度为10%的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水?

    这种A浓度多少千克，B浓度多少千克，然后混成C浓度的题目，就可以用十字相乘。

比如这道题可以这样写：

10      8     22   --------->8:

12=2:

3，也就是说他们质量的比是2：

3，前面20千克，那么后面就应该加30千克了30     12     把两个溶液的浓度写到第一列，所混成的浓度写在正中间，然后分别的差值写在对角线处（不管怎样都是大数减小数）比如这里两浓度10和30写在第一列处，混成的是22，写在正中间，斜线来看，10与22的差值是12，写在斜线下方，30与22的差值是8，写在斜线上方，结果的比值就是两个溶液的质量比。

     这个方法不管怎样一定要多加练习，不单浓度可以用这方法来做，很多题目也都可以运用到十字相乘法（两事物混成一事物的情况）    另外一种常见的方法同样是特值，有点类似于工程问题中的设特殊值。

比如这道国考题：

     一种溶液，蒸发掉一定水后，浓度为10%，再蒸发同样的水，浓度为12%；第三次蒸发同样的水后，浓度变为多少？

     又是什么都没说，只有两个浓度，那么我们可以通过这两个浓度，设他们的最小公倍数为溶质的量为60，这样就可以知道第一次蒸发后溶液为60/0.1=600，变成浓度12%溶液为60/0.12=500，也就是说蒸发掉了100的水，第三次也应该蒸发掉100的水，那么浓度就变成60/400=15%------------这里就是抓住了稀释问题的核心：

不管怎么稀释或者蒸发，溶质的量永远不变，所以才会假设这个特值出来。

八.【尾数和余数问题】：

求尾数多少的，这个比较简单，记住这个：

底数留着，指数最后两位除以4，能整除的取4，不能整除的取余数。

比如8^9521，求尾数是多少？

那么底数留8，指数后两位除以4，即是21/4=5....1，余数是1，那么就取这个1，整个表示为8^1，那尾数显然就是8了。

再比如7^2008，求尾数是多少？

底数保留7，指数2008最后两位除以4，刚好可以整除，那么就取4，整个表示为7^4，尾数就是1。

余数的特殊情况：

取除数最小公倍数，然后余同取同，和同加和，差同减差。

主要就是看除数与余数的关系，一个数被3除余2，被4除余2，最小是多少？

-------------余数相同，这就是余同的情况，先取两除数最小公倍数12，还取这个相同的余数，表示为12N+2。

这里要最小，那么就是当N=0的时候，12N+2=2，则为符合条件最小值。

一个数被3除余2，被4除余1，最小是多少？

------------除数与余数的和前后相同，即3+2=4+1=5，这就是和同的情况，那么先取两除数最小公倍数12，再取这个同和的5，表示为12N+5。

同样当N=0的时候，12N+5=5，为符合条件最小值。

一个数被3除余2，被4除余3，最小是多少？

-----------除数与余数的差前后相同，即3-2=4-3=1，这就是差同的情况，那么先取两除数最小公倍数12，再取这个差同的1，表示为12N-1，这里N取0显然在自然数范围内就不行了，最小得取1，即当N=1的时候，12N-1=11，为符合条件最小值。

     通常的题型有两种，一种就是这样求符合条件的值，如果像这种数值比较小的题目，也可以用代入法，另外一种是求范围内的个数，原理也跟这个一样，根据范围来取N值就行了。

     如果遇到不是上面3种情况的题目，那得根据剩余定理来：

比如：

一个数被4除余2，被5除余1，被6除余4，问这个数在1000以内一共有几个。

表示为4N+25N+16N+4那么按顺序一个个来，     先从4N+2，5N+0，6N+0（意思就是说求能同时满足被5和6整除，又被4除余2的数，最小是多少）6和5的最小公倍数是30，看能不能满足被4除余2，发现可以，那就取它；    再看4N+0，5N+1，6N+0的情况，同理，4和6最小公倍数12，那么看它能不能满足被5除余1，发现不能，那就对这个最小公倍数进行翻倍，看24，还是不行，继续对12翻倍，看36，满足，取它；    最后看4N+0，5N+0，6N+4的情况，4和5最小公倍数20，不满足被6除余4，翻倍40，满足，所以取它。

     三数相加为30+36+40=106，除数4，5，6最小公倍数为60，所以满足条件的数可以表示为60N+106，1000范围里面N可以取-1-14一共16个，取15就不行了，因为60*15+106=1006，已经超过了1000。

当N取-1的时候，有最小值46。

     看似很复杂，但原理知道了，口算也熟练了还是轻松加愉快的，不过遇到数值比较大会麻烦很多。

九.【容斥问题】：

两个公式：

两容斥：

满足1+满足2-都满足=总数-都不满足三容斥：

满足1+满足2+满足3-满足12-满足23-满足13+满足123=总数-都不满足     需要注意的是一些题目隐藏得比较好，比如看上去好象是道几何题，让你一下子懵住不知道怎么做，但其实它本质就是简单的容斥问题，唬到你，出题人的目的就达到了。

这个没什么好说的，记好公式，照着套就行了。

十.【年龄问题】：

最核心的一点：

抓住永恒不变的年龄差，比如你跟你老爸差25岁，总不能25年后你就跟他一样大吧.....十一.【牛吃草】：

     这个有很多种变式，比如本身的多草场变式，灌水、电梯、排队、买票什么的，等等。

但还是万变不离其宗，抓住公式：

原来草量=（牛数-每天长草量）*天数，列方程就可以了。

一般都是先求出这个每天长草量。

其它的像什么换瓶子之类的，我觉得都是跟上面这些题型有很多共通之处的，基本上你只要一类题型钻得够深，其它题型几乎都不会难倒你的。

这一期就先说到这吧，下一期再把这些基本题型拓展开来说。

一楼找了一些题目，希望大家能尽量按这些思想或者方法去练习一下，不要一下子就着急去做题。

锻炼一下一些常用的数学解题思维还是挺好的。

从12点打了5个多小时的字到天亮，真心有点累的，主要是这个编辑的功能实在太让人蛋疼了，不断地出错-- 早安吧。

2011.11.08数学运算第2期——（行程问题）

培训结束后，立马回单位，新的环境，新的领导，新的同事，都要尽快适应，上班很忙，没有想象的那么轻松，新的操作平台，新的系统，必须短时间上手，没有给自己找借口的理由。

一个人在外，我觉得我啥都会做了。

其实作为单位年纪最小的，同事和领导还是很照顾，有时候吃饭的时候晚了食堂的阿姨都会帮我另外开小灶，今天早上办公室的黄姐大清早上班给我送了早点和水果，感动的有点想哭。

答应了猴子mm来做帮帮团数学运算这块，其实心里很没底，第一同时也在做浙版帮帮团的数学运算，粤版的又是一个新的模式，第二知道筱月妞是楷模，无法超越。

不过既然接下这块，茶茶出贴前也会反复推敲，希望能做好，给大家实质的帮助，如果有不好的，希望大家多多谅解，提出意见，谢谢筱月妞帮我出贴，也谢谢大家！

对于数学运算这块，其实很经不起推敲的，像我在浙版出题，几次自己算的都和给出的答案对不到，不确定自己算的，然后问很多人，最终发现是自己做对了，而答案错了，由此，应该相信自己      前面筱月妞把基本题型全解析了，大家对于一些模块一定还是有疑问的，茶茶在接下来的每一期都会给大家仔细拆分开来说，这是我在浙版开的数学运算讨论帖，这一期就来个大块吧，行程问题。

     有些考友谈行程色变。

为何行程问题难住了我们？

原因是过程过于复杂和动态。

解决问题的总方针就是动中找静。

化动态为静态，化复杂为简单，化抽象为具体，化陌生情境为熟悉情境是我们解决行程问题的不二法门。

其实在公考中没有那么多时间去考虑或是列方程，处理行程问题的时候都是以画线段图为主来解题的。

但是对于完全依赖线段图的做法我是不赞成的。

对于动态的东西本来就难以理解，如多次相遇问题两次以内还好，当次数多于3的时候画图都画不清楚的。

我认为解决行程问题就需要2大理念，一是整体的思想，二是抓住运动过程中的不变的静止的量。

一般的辅导资料解题就是过于纠结于局部，使得我们做题缺乏大局观，往往被繁杂的细节转昏了头。

接下来我谈谈如何解决行程问题。

　　走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：

距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；　　速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.　　这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：

　　距离=速度×时间　　很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，这样的数量关系也是最常见的，例如　　总量=每个人的数量×人数.　　工作量=工作效率×时间.　　因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题。

当然，行程问题有它独自的特点，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.当然也是一个重点内容.先给大家看看直接利用行程问题基本关系解决的行程问题：

【例1】龟、兔进行1000米的赛跑。

小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：

“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手。

”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了。

当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑。

请同学们解答两个问题：

（1）它们谁胜利了？

为什么？

（2）胜者到终点时，另一个距终点还有几米？

     分析：

（1）乌龟胜利了。

因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要40÷10=4（分钟）就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要500÷100=5（分钟）才能到达，所以乌龟胜利了。

（2）乌龟跑到终点还要（40÷10）=4（分钟），而小兔跑到终点还要1000÷2÷100=5（分钟），慢1分钟。

当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：

100×1=100（米）。

【例2】解放军某部开往边境，原计划需要行军18天，实际平均每天比原计划多行12千米，结果提前3天到达，这次共行军多少千米？

     分析：

“提前3天到达”可知实际需要18-3=15天的时间，而“实际平均每天比原计划多行12千米”，则15天内总共比原来15天多行的路程为：

12×15=180千米，这180千米正好填补了原来3天的行程，因此原来每天行程为180÷3=60千米，问题就能很容易求解。

原来的速度为：

（18-3）×12÷3=60（千米/天），因此总行程为：

60×18=1080（千米）    其实最常遇到的就是关于平均速度的计算，平均速度的计算需要知道整个过程的总路程与总时间，平均速度=总路程÷总时间【例3】摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度。

      分析：

要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间。

摩托车“往”行了90千米