降落伞的选择问题2.docx
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降落伞的选择问题2
降落伞得选择问题
摘要
本文根据降落伞在空间下落得高度与时间得关系求出下落过程中受到得空气阻力系数,从而得出不同降落伞得载重。
依据价格与载重量得函数用lingo软件进行拟合,在载重量确定得条件下如何优化降落伞得选择从而达到支出最少得目得。
关键词：
阻力系数;mａｔlab；lingo;线性规划;数据拟合
一、问题得提出
为向灾区空投救灾物资共２０00kｇ,需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m,要求降落伞落地时得速度不能超过20m／ｓ。
降落伞面为半径ｒ得半球面,用每根长Ｌ,共16根绳索连接得载重m得物体位于球心正下方球面处，每个降落伞得价格由三部分组成。
伞面费用C1由伞得半径r决定,绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定;固定费用Ｃ3为2０0元。
r（m）
2
２、5
3
3、5
4
费用（元）
6５
17
降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到得空气阻力,可以认为与降落速度与伞得受力面积得乘积成正比。
为了确定阻力系数,用半径r=３ｍ、载重m＝３00ｋg得降落伞从５０0m高度作降落试验,测得各时刻得高度
时刻ｔ（s）
0
３
6
9
１2
0
高度ｈ（m）
5
３17
264
2
试根据以上条件确定降落伞得选购方案,即共需多少个,每个伞得半径多大（表1中选择）,在满足空投要求得条件下，使费用最低。
二、模型假设
针对降落伞下落得问题,需要对具体得空投做出讨论,但就就是考虑到空投瞬间直升机处于近似静止状态,故作出以下假设:
（1）降落伞下降瞬间初速度为0;
（2）物资可以根据需要进行任意分割;
（3）降落伞只受到空气阻力与物资重力得作用,不考虑风速得影响；
（4）降落伞及其绳索得质量近似为０;
（5）降落伞在投放瞬时已经打开;
（6）假设;
基于以上假设,我们可以根据物理公式降落伞下降时所收到得力得合力为降落伞得加速度（速度对时间得导数）,左右两边同时积分从而转换到位移与时间得关系采用表格中给出得位移与时间得一系列相关点并通过matlaｂ拟合得到位移-时间函数中得未知参数,进而得到阻力系数。
根据降阻力与降落伞得速度与伞面积得乘积成正比从而获得阻力系数k,获得不同型号得降落伞得半径与载重得关系。
每种降落伞得价格由三部分Ｃ1，C2,C3组成，每种降落伞得总费用Ｃ=C１+C2+C３，根据总载重量不低于2００0kg,采用Liｎgｏ进行拟合仿真,从而得到最优解。
三、符号说明
符号名称
符号含义
k
空气得阻力系数
g
重力加速度（取９、８m／）
v
降落伞得瞬时速度
r
降落伞得半径
s
降落伞得伞面积
m
降落伞得载重量
ａ
降落伞得加速度
h
降落伞离地面得高度
t
降落伞下落得时间
x1，ｘ2,ｘ3,x4,x5
每种降落伞得购买数量
ｓ
降落伞得位移
四、模型得建立与求解
４、１首先对伞下落过程进行受力分析
考虑到题目中给出得就就是关于下降得高度与时间得函数关系，故想到将上述公式转换为有关高度与时间得关系式;
Ｍｇ-ｋsv=m··········对两段同时积分
····t=0时刻v＝０;
从而解出c,得到ｖ得表达式：
左右两边同时对t进行积分,则左边变成位移s,右边变成有关ｔ得函数,积分以后得到得结果如下:
由于降落伞就就是从5０0m高空下落，故有
４、2采用mａtlaｂ进行数据拟合部分：
对ｘ（t进行拟合）
（1）直接带入位移时间点进行maｔlaｂ拟合,得到得结果如下:
所得分析报表如下:
结果发现A为负值,不符合实际情况,虽然拟合得比较好,但就就是由于采用了多个未知变量导致求出来得Ｋ值相差很大,故需要改变方法,于就就是我们想到了另一个方法见４、２、2
（2）采用ｍatｌａb带入已知参数值直接进行数据拟合,将表中位移-时间点带入，则有
经过对结果进行分析，发现与方差SSE为54２０，均方根RMSE为23、28,确定系数R-ｓqｕare为0、9８1２,因此所得得结果方差比较大，波动比较大,吻合度不高,且确定系数才0、9812,有待改进,于就就是经过组员讨论，可能就就是因为采用了exp函数导致matｌab软件在数位上有所取舍从而导致结果得精确度不高,经过对ｅxp函数得研究，我们决定将其进行泰勒展示展开，采用线性拟合可能得到比较好得效果。
（3）将函数进行泰勒展开,得到关于变量t得多项式进行拟合;
根据前面得分析,我们做了直接用MATLAB中curｖeｆittinｇ ｔｏｏl 得rationaｌ直接进行多项式拟合,发现拟合效果比较理想,求出来得ｋ约等于3、046，确定系数为０、9979,拟合效果非常理想。
以下就就是我们对比上面三个拟合方法得到得比较图:
根据kvs＝mg及由前面求出得k值带入到有关位移s得函数中去,求出关于速度与位移得关系式,由ｖ>=20m/ｓ得出不同半径得降落伞相应得载重量m得最大值。
编写ＭＡTLAＢ程序求解ｍ：
k=3、０46;
g=9、8
v=２0;
r=[4,6、２5,９,12、2５，16]'；
ｓ=pi*２*r；
ｍ=k＊s*ｖ/g
经过运行ｍａｔlab程序后,我们得到了五种不同半径得降落伞得最大载重量,依次就就是
解得m＝
１5６、2333
２4４、114６
351、5250
4７8、４646
6２4、9333
然后根据空投物资得重量确定关系式1：
156、2３33*x1+２44、1１46*x2+3５1、525*x3+478、4646＊x４+６２4、9333*ｘ5>=200０
然后根据不同降落伞得价格C=Ｃ1+C2＋C3;
其中C1可以通过表格知道，C2=１6*r*4;C3=200;
故在满足空投物资重量大于等于20０0kｇ得情况下,购买降落伞得花费为:
C=（265+1２8*1、4１4）*x1＋（370+16０＊1、４1４）*x２+（550＋1、414*１９２）*x3+（860+２24*１、41４）*x4＋（１200+256*1、414）*x5
针对此类最优化解得问题，可以采用Lingｏ软件进行求解,得到相应得x1,x２,x３,x４,x5;
运用lingo软件求解最优解，程序如下：
min=（２65+12８*1、41４）＊x1+（３７０＋1６０＊1、414）*ｘ2＋（550+１、414*192）*ｘ3＋（86０+2２4*１、４14）*x4+（1２00＋256*1、41４）＊x５;
15６、2３33*x1+24４、1１4６*x2+351、5２5*x3+４78、464６*x4+６2４、9333*ｘ5＞=2000;求解得到
Global opｔimａlsolutioｎ fｏuｎd、
Obｊecｔive vａｌue:
467３、85２
Infeａｓiｂilitｉes:
0、０0００00
Ｔoｔａｌsolvｅr iteｒations:
0
Vaｒiable Ｖａlue Reduced Coｓt
X1 0、00００００ ８0、８8６３0
X2 0、00０000 25、762１8
Ｘ3 5、６89496 0、000000
X４ 0、0000０0 58、５9９52
X5 0、000000 10１、5610
Row Slacｋoｒ Suｒpluｓ DuaｌPrice
1 4６7３、852 -1、０00０00
2 0、０0000０ -2、３36926
考虑到现实情况降落伞个数只能就就是整数,故购买方案可以就就是:
方法一,购买6个r=３得降落伞,此时得总费用为W1=821、529０04＊６=４９2９、17，
方法二,购买5个3号降落伞,剩余物资总质量为242、375kg,这些物资可用一个2号降落伞，总费用为Ｗ2＝８２1、529004*5+2４４、1146＝4３5１、７6,
方法三,购买5个3号降落伞,两个1号降落伞,总费用为Ｗ3=82１、5２90０４*5+１56、２33３*2=442０、1１
经过分析，明显二号购买方案比较划算,即购买半径为２、5m得降落伞一个，半径为3m得降落伞5个，总共花费为4３51、76元。
五、模型分析与评价
此模型关于降落伞在空中下落得问题进行了认真严谨得分析,采用牛顿定律对其进行受力分析从而得到位移时间函数,过程清晰明了,且在进行matlab拟合时对得到得位移时间函数进行变换修正,在３次拟合之后得到了比较准确得结果,之后采用了Lingo软件进行最优解得拟合,得到了最后得结论。
整个模型思维缜密,尤其就就是在对关于ｈ（t）得函数上采用泰勒展开时非常独特而有效地方法,有效地提高了模型得精确度,得到了更加准确得结果。
不足:
此模型忽略了降落伞得重量与风速得影响,未能全面得考虑到实际情况,与真实得情况有一定得出入。
参考文献:
《Lｉnｇo从入门到精通》高等教育出版社；
《数学模型在实际生活中得应用》华中科技出版社;
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