高中三角函数知识点及其经典例题1Word文件下载.docx
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sinatgA=tanA=cosa
万能公式
a2tan2sina=a21，（tan）2
a21,（tan）2cosa=a21，（tan）2
a2tan2tana=a21,（tan）2
其它公式
b22a•sina+b•cosa=?
sin（a+c）[其中tanc=]（a，b）a
a22a•sin（a）-b•cos（a）=?
cos（a-c）[其中tan（c）=]（a，b）b
aa21+sin（a）=（sin+cos）22
aa21-sin（a）=（sin-cos）22
其他非重点三角函数
1csc（a）=sina
1sec（a）=cosa
双曲函数
a-ae-esinh（a）=2
a-ae，ecosh（a）=2
sinh（a）tgh（a）=cosh（a）
公式一:
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin（2kπ，α）=sinα
cos（2kπ，α）=cosα
tan（2kπ，α）=tanα
cot（2kπ，α）=cotα
公式二:
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin（π，α）=-sinα
cos（π，α）=-cosα
tan（π，α）=tanα
cot（π，α）=cotα
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
=sinαsin（π-α）
cos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα公式五:
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα公式六:
,3?
α及?
α与α的三角函数值之间的关系:
22
sin（+α）=cosα2
cos（+α）=-sinα2
tan（+α）=-cotα2
cot（+α）=-tanα2
sin（-α）=cosα2
cos（-α）=sinα2
tan（-α）=cotα2
cot（-α）=tanα2
3sin（+α）=-cosα2
3cos（+α）=sinα2
3tan（+α）=-cotα2
3cot（+α）=-tanα2
3sin（-α）=-cosα2
3cos（-α）=-sinα2
3tan（-α）=cotα2
3cot（-α）=tanα2
（以上k?
Z）
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用
22A•sin（ωt+θ）+B•sin（ωt+φ）=?
A，B，2ABcos（,,,）,,,t，arcsin[（Asin，Bsin）sin22A，B，2ABcos（,,,）
三角函数公式证明（全部）
2009-07-0816:
13
公式表达式
乘法与因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
三角不等式|a+b|?
|a|+|b||a-b|?
|a|+|b||a|?
b<
=>
-b?
a?
b|a-b|?
|a|-|b|-|a|?
|a|
一元二次方程的解-b+?
（b2-4ac）/2a-b-b+?
（b2-4ac）/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注:
韦达定理判别式b2-4a=0注:
方程有相等的两实根
b2-4ac>
0注:
方程有一个实根
b2-4ac<
方程有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）倍角公式tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式sin（A/2）=?
（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-?
（（1-cosA）/2）
cos（A/2）=?
（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-?
（（1+cosA）/2）
tan（A/2）=?
（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-?
（（1-cosA）/（（1+cosA））ctg（A/2）=?
（（1+cosA）/（（1-cosA））ctg（A/2）=-?
（（1+cosA）/（（1-cosA））和差化积2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosBctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:
其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注:
角B是边a和边c的夹角正切定理:
[（a+b）/（a-b）]={[Tan（a+b）/2]/[Tan（a-b）/2]}
圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2注:
（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注:
D2+E2-4F>
0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'
*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'
正棱台侧面积S=1/2（c+c'
）h'
圆台侧面积S=1/2（c+c'
）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>
0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'
L注:
其中,S'
是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h
-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦:
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加:
cosAcosB=[cos（A+B）+cos（A-B）]/2
相减:
sinAsinB=-[cos（A+B）-cos（A-B）]/2
sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA
sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA
sinAcosB=[sin（A+B）+sin（A-B）]/2
sinBcosA=[sin（A+B）-sin（A-B）]/2
这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下
正加正正在前
正减正余在前
余加余都是余
余减余没有余还负
正余正加余正正减
余余余加正正余减还负
.
3.三角形中的一些结论:
（不要求记忆）
（1）anA+tanB+tanC=tanA?
tanB?
tanC
（2）sinA+tsinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）（3）cosA+cosB+cosC=4sin（A/2）?
sin（B/2）?
sin（C/2）+1（4）sin2A+sin2B+sin2C=4sinA?
sinB?
sinC
（5）cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1
...........................
已知sinα=msin（α+2β）,|m|<
1,求证tan（α+β）=（1+m）/（1-m）tanβ解:
sinα=msin（α+2β）
sin（a+β-β）=msin（a+β+β）
sin（a+β）cosβ-cos（a+β）sinβ=msin（a+β）cosβ+mcos（a+β）sinβ
sin（a+β）cosβ（1-m）=cos（a+β）sinβ（m+1）
tan（α+β）=（1+m）/（1-m）tanβ
三角函数题解
1.（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y,1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向
2下平移1个单位，得到的曲线方程是（）
A.（1,y）sinx+2y,3=0B.（y,1）sinx+2y,3=0
C.（y+1）sinx+2y+1=0D.,（y+1）sinx+2y+1=0
1.答案:
C
1,解析:
将原方程整理为:
y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单
2，cosx2
1位和1个单位，因此可得y=,1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.,2，cos（x,）
2
11x,17.（1997全国，3）函数y=tan（π）在一个周期内的图象是（）
23
17.答案:
A
1122,,1x,解析:
y,tan（π）,tan（x,），显然函数周期为T,2π，且x,23332
时，y=0，故选A.
sinx4.（2002京皖春文，9）函数y=2的单调增区间是（）
,A.,2kπ,，2kπ，,（k?
22
3,B.,2kπ，，2kπ，,（k?
C.,2kπ,π，2kπ,（k?
D.,2kπ，2kπ，π,（k?
4.答案:
xsinx解析:
函数y=2为增函数，因此求函数y=2的单调增区间即求函数y=sinx的单调增
区间.
6.（2002北京，11）已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图4—1所示，那么不等式f（x）cosx,0的解集是（）
A.（0，1）?
（2，3）
,B.（1，）?
（，3）
C.（0，1）?
（，3）图4—1
D.（0，1）?
（1，3）
6.答案:
f（x）,0f（x）,0,,
,,cosx,0或cosx,0解析:
解不等式f（x）cosx,0,,
,0,x,30,x,3,,
1,x,3,0,x,1,,,?
?
0,x,1或,x,3或,,,0,x,12,,x,,,,2
7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为
2减函数的是（）
2A.y=cosxB.y,2|sinx|
1cosxC.y,（）D.y=,cotx
3
7.答案:
B
1，cos2x,2解析:
A项:
y=cosx=，x=π，但在区间（，π）
上为增函数.图4—8
B项:
作其图象4—8，由图象可得T=π且在区间（，π）上
为减函数.
1,1xcosxC项:
函数y=cosx在（，π）区间上为减函数,数y=（）为减函数.因此y=（）
332
在（，π）区间上为增函数.
D项:
函数y,,cotx在区间（，π）上为增函数.
8.（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x?
,π，π,的大致图象是（）
8.答案:
解析:
由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x?
,π，π,为非奇非偶函数.选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数.
13.（1999全国，4）函数f（x）=Msin（ωx，）（ω,0），在区间,a，b,上是增函
数，且f（a）=,M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx，）在,a，b,上（）A.是增函数B.是减函数
C.可以取得最大值,D.可以取得最小值,m
13.答案:
,,解法一:
由已知得M,0，,，2kπ?
ωx，?
，2kπ（k?
Z），故有g（x）在
,a，b,上不是增函数，也不是减函数，且当ωx，,2kπ时g（x）可取到最大值M，答
案为C.
,,解法二:
由题意知，可令ω,1，,0，区间,a，b,为,,，,，M,1，则
g（x）为cosx，由基本余弦函数的性质得答案为C.
评述:
本题主要考查函数y=Asin（ωx，）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函
数的性质能熟练运用（正用逆用）;
解法二取特殊值可降低难度，简化命题.
,）14.（1999全国，11）若sinα,tanα,cotα（,,α,，则α?
（）
,,A.（,，,）B.（,，0）
244
,,C.（0，）D.（，）
442
14.答案:
取α,?
，?
代入求出sinα、tanα、cotα之值，易知α,,适合，
366
,又只有,?
（,，0），故答案为B.
64
,解法二:
先由sinα,tanα得:
α?
（,，0），再由tanα,cotα得:
（,，0）
24
,20.（1995全国，3）函数y,4sin（3x，），3cos（3x，）的最小正周期是（）
44
2,,A.6πB.2πC.D.
33
20.答案:
43,,,,解析:
y,4sin（3x，），3cos（3x，）,5,sin（3x，），cos（3x，）,
554444
3,,,,5sin（3x，，）（其中tan,）
2,,,所以函数y,sin（3x，），3cos（3x，）的最小正周期是T,.
344
故应选C.
b22,,评述:
本题考查了asinα，bcosα,sin（α，），其中sin,，a，b22a，ba,cos,，及正弦函数的周期性.22a，b
54421.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sinθ，cosθ,，那么sin2θ等于（）
9
222222A.B.,C.D.,3333
21.答案:
522222解法一:
将原式配方得（sinθ，cosθ）,2sinθcosθ,
15822于是1,sin2θ,，sin2θ,，由已知，θ在第三象限，
299
3故2kπ，π,θ,2kπ，
从而4kπ，2π,2θ,4kπ，3π
22故2θ在第一、二象限，所以sin2θ,，故应选A.3
3解法二:
由2kπ，π,θ,2kπ，，有4kπ，2π,4kπ，3π（k?
Z），知sin2θ
224224,0，应排除B、D，验证A、C，由sin2θ,，得2sinθcosθ,，并与sinθ，39
54222cosθ,相加得（sinθ，cosθ）,1成立，故选A.
评述:
本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号
的判别.
22.（1994全国文，14）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=,对称，那么a
8
等于（）
A.2B.,2C.1D.,122.答案:
D
,解析:
函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=,对称，表明:
当x=,时，函数
88
,2222取得最大值，或取得最小值,,所以有,sin（,）+a?
cos（,）,=a+1，a，1a，144
解得a=,1.
327.（1996全国，18）tan20?
+tan40?
+tan20?
?
tan40?
的值是_____.
327.答案:
tan20:
，tan40:
33解析:
tan60?
=，?
tan20?
=,tan20?
，
1,tan20:
tan40:
33?
=.
xx29.（1995上海，17）函数y,sin，cos在（,2π，2π）内的递增区间是.
3,,,29.答案:
,,
x,,,,xxx解析:
y,sin，cos,sin（，），当2kπ,?
2kπ，（k2
24422222
,33,,?
Z）时，函数递增，此时4kπ,?
x?
4kπ，（k?
Z），只有k,0时，,,，,
2222
（,2π，2π）.
1（1994全国，18）已知sinθ，cosθ,，θ?
（0，π），则cotθ的值是.30.
5
330.答案:
4
解法一:
设法求出sinθ和cosθ，cotθ便可求了，为此先求出sinθ,cosθ的值.
1将已知等式两边平方得1，2sinθcosθ,
25
1变形得1,2sinθcosθ,2,，
492即（sinθ,cosθ）,
1又sinθ，cosθ,，θ?
（0，π）
图4—14,,3则,θ,，如图4—14
7所以sinθ,cosθ,，于是
343sinθ,，cosθ,,，cotθ,,.554
12解法二:
将已知等式平方变形得sinθ?
cosθ,,，又θ?
（0，π），有cosθ,0
13122,sinθ，且cosθ、sinθ是二次方程x,x,,0的两个根，故有cosθ,,，5525
43sinθ,，得cotθ,,.
54
332.（2000全国文，17）已知函数y,sinx，cosx，x?
R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合;
（2）该函数的图象可由y,sinx（x?
R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
,,332.解:
（1）y,sinx，cosx,2（sinxcos，cosxsin）,2sin（x，），x?
R
666
,y取得最大值必须且只需x，,，2kπ，k?
Z
62
即x,，2kπ，k?
Z.
所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为,x|x,，2kπ，k?
Z,
（2）变换的步骤是:
,?
把函数y,sinx的图象向左平移，得到函数y,sin（x，）的图象;
66?
令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数
y,2sin（x，）的图象;
6
3经过这样的变换就得到函数y,sinx，cosx的图象.
2233.（1995全国理，22）求sin20?
，cos50?
，sin20?
cos50?
的值.
11133.解:
原式,（1,cos40?
），（1，cos100?
），（sin70?
sin30?
）
222
111,1，（cos100?
cos40?
），sin70?
422
31,,sin70?
sin30?
，sin70?
42
3311,,sin70?
.
4422
本题考查三角恒等式和运算能力.
3134.（1994上海，21）已知sinα,，α?
（，π），tan（π,β）,，522
求tan（α,2β）的值.
334.解:
由题设sinα,，α?
（，π），
52
34可知cosα,,，tanα,,
2tan411又因tan（π,β）,，tanβ,,，所以tan2β,,,21,tan,322
34,，,,tan,tan2743tan（α,2β）
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