函数及其表示知识点大全、经典例题及解析、今年高考题带答案.doc

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函数及其表示

【考纲说明】

1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

3、了解简单的分段函数，并能简单应用。

4、本部分内容在高考中约占10分。

【趣味链接】

教室里有40个人（看成集合A），刚好有40张椅子（看成集合B）。

如果你们很听话，每人坐一张椅子，就是一对一映射。

但是如果你喜欢那个女生，你跑去和她共用一张椅子，也就是两个人都对应着同一张椅子，这就是多对一映射。

但是你不可以一个人坐两张椅子，这样很霸道。

也就是说你多少个人坐一张椅子都没关系，但是一个人不能坐多张椅子。

也就是集合A中的很多元素都可以对应着集合B中的同一个元素，但是集合A中的一个元素不能同时对应着集合B中的多个元素。

于是，总的一句话，映射就是集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。

这句话有两个词很重要，一个是任意，另一个是唯一。

而函数呢，只要映射当中的集合A和集合B里面的元素都是数就叫做函数了。

【知识梳理】

一、函数的概念

1、设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f表示对应法则。

给定一个集合到集合的映射，且。

如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．

注意：

（1）A中元素必须都有象且唯一；

（2）B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2、函数的定义：

设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为。

3、函数的定义域、值域

在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。

显然，值域是集合B的子集。

4、函数的三要素：

定义域、值域和对应关系。

5、区间的概念及表示法

设是两个实数，且，

满足的实数的集合叫做闭区间，记做；

满足的实数的集合叫做开区间，记做；

满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；

满足的实数的集合分别记做。

注意：

对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须。

6、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

　①是整式时，定义域是全体实数。

　②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。

　③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。

　⑤中，。

　⑥零（负）指数幂的底数不能为零。

　⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。

　⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：

若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出。

　⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。

　⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。

二、函数的表示方法

函数的三种表示法：

图象法、列表法、解析法

1、图象法：

就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

2、列表法：

就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

3、解析法：

就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

三、分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。

四、求函数解析式常用的方法

1、待定系数法

待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。

其方法：

已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

2、换元法

换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

3、配凑法

已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

4、消元法，此方法的实质是解函数方程组

消元法适用的范围是：

题高条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

5、赋值法

赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。

其方法：

将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。

【经典例题】

【例1】（2009山东理）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2009）的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【解析】由已知得,,,

,

,,

所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）=f（5）=1，故选答案C.

【例2】（2009山东文）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）

A.-1B.-2C.1D.2

【解析】由已知得,,,

,故选B.

【例3】（2009江西理）函数的定义域为（）

A．　　　B．　　　C．　　　　D．

【解析】由.故选C.

【例4】（2009四川）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有

，则的值是 （）

A.0B.C.1D.

【解析】若≠0，则有，取，则有：

（∵是偶函数，则

）由此得于是

故选答案A.

【例5】（2010福建）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）

A.B.C.D.

【解析】由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。

故选答案A。

【例6】（2010浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：

且，有．下列结论中正确的是（）

A．若，，则

B．若，，且，则

C．若，，则

D．若，，且，则

【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有.故选答案C.

【例7】（2011福建）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是（）

A．B.

C.D．

【解析】根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。

而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0（x<0）,故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y’=-<0（x<0）,故其在（上单调递减，不符合题意，综上选答案C。

【例8】（2009北京）已知函数若，则.

【解析】由，无解，故应填.

【例9】（2008北京）若函数则不等式的解集为____________.

【解析】

（1）由.

（2）由.

∴不等式的解集为，∴应填

【例10】（2008浙江）已知函数，，其中．

（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；

（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？

若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得

，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；

（II）当时有；

当时有，因为当时不合题意，因此，

下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；

当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意.

【课堂练习】

1、（2009山东）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则（）

A.B.

C.D.

2、（2009全国Ⅱ）函数y=（x0）的反函数是 （）

A.（x0）B.（x0）C.（x0）D.（x0）

3、（2009江西）函数的定义域为（）

A.　　　B.　　　C.　　　　D.

4、（2008全国Ⅱ）设则 （）

A.B.C.D.

5、（2009天津）设函数则不等式的解集是（）

A.B.C.D.

6、（2010天津）设函数f（x）在R上的导函数为f’（x）,且2f（x）+xf’（x）>x,x下面的不等式在R内恒成立的是（）

A. B.C.D.

7、（2009湖南）设函数在（，+）内有定义，对于给定的正数K，定义函数

取函数=。

若对任意的，恒有=，则（）

A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1

2.（2009天津理）已知函数若则实数的取值范围（）

A.B.C.D.

9、（2008年山东）设函数则的值为（）

A. B. C. D.

10、（2007福建）已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）

A.B. C. D.

11、（2007安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为（）

A. （0≤x≤2）B.（0≤x≤2）

C. （0≤x≤2）D. （0≤x≤2）

12、（2007上海）函数的定义域是．

13、（2006安徽）函数对于任意实数满足条件，若________.

14、（2006上海）已知函数是定义在上的偶函数.当时，

，则当时，.

15、（2008安徽）已知函数，则不等式的解集为.

16、（2009北京）函数，则，若，则实数的取值范围是　　　　　　　.

17、（2009江苏）已知集合，若则实数的取值范围是，其中=.

18、（2009广东）已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1（m）.设函数.

（1）若曲线上的点P到点Q（0,2）的距离的最小值为,求m的值.

（2）如何取值时,函数存在零点,并求出零点.

19、（2008江苏）设为实数，函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）求的最小值；

（3）设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集.

20、（2008上海）已知函数的反函数。

定义：

若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”.

（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3）设函数对任何，满足“积性质”。

求的表达式.

【课后作业】

1、若函数是函数的反函数，且，则（）

A.B.C.D.2

2、函数的反函数是（）

A.B.

C.D.

3、设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数

取函数。

当=时，函数的单调递增区间为（）

A.B.C.D.

4、下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是（）

A.= B.=C.= D..

5、已知函数满足：

x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝（）

A.B..C..D.

6、已知函数的反函数为，则（）

A.0B.1C.2D.4

7、已知函数连续，则常数的值是（）

A.2　　B.3　　　C.4　　　D.5

8、若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）

A.B.

C.D.

9、设，则的定义域为（）

A.B.C. D.

10、函数的反函数是（）

A.B..

C.D.

11、函数的反函数为（）

A.B.

C.D.科

12、定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（）

　 A.　　 　　　 B. 

C.　　 　　　 D.

13、已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为.

14、函数的定义域为.

15、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f（x）=m（m>0）在区间上有四个不同的根,则

16、已知函数为上的奇函数，当时，.若，则实数.

17、若对于任意a[-1,1],函数f（x）=x+（a－4）x+4－2a的值恒大于零,　则x的取值范围是.

18、设函数.

（1）求的单调区间；

（2）若当时,（其中）不等式恒成立,求实数的取值范围；

（3）试讨论关于的方程:

在区间上的根的个数.

19、两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：

垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数；

A

B

C

x

（2）讨论

（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？

若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由.

1、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,

CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），

且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，

设排污管道的总长为km．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=（rad），将表示成的函数关系式；

②设OP（km），将表示成的函数关系式.

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.

【参考答案】

【课堂练习】

1、D2、B3、D4、B5、A6、A7、D8、A9、A10、C11、B

12、

13、-

14、

15、

16、

17、4

18、

（1）设，则；又的图像与直线平行又在取极小值，，，；

，设

则

；

（2）由，得

当时，方程有一解，函数有一零点；

当时，方程有二解，若，，

函数有两个零点；若，

，函数有两个零点；

当时，方程有一解,,函数有一零点

19、

（1）若，则

（2）当时，

当时，

综上

（3）时，得，

当时，；

当时，△>0,得：

讨论得：

当时，解集为;

当时，解集为;

当时，解集为.

20、

（1）函数的反函数是

而其反函数为故函数不满足“1和性质”

（2）设函数满足“2和性质”，

而得反函数由“2和性质”定义可知=对恒成立即所求一次函数为

（3）设，，且点在图像上，则在函数图象上，

故，可得，　

令，则。

，即。

综上所述，，此时，其反函数就是，

而，故与互为反函数。

【课后作业】

1、A2、C3、C4、A5、A6、C7、B8、A9、B10、D11、D12、A

13、m315、-816、17、（

18、

（1）函数的定义域为.由得;

由得,则增区间为,减区间为.

（2）令得,由

（1）知在上递减,在上递增,

由,且,

时,的最大值为,故时,不等式恒成立.

（3）方程即.记,则.由得;由得.所以g（x）在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.而g（0）=1，g

（1）=2-2ln2，g

（2）=3-2ln3，∴g（0）＞g

（2）＞g

（1）所以，当a＞1时，方程无解；

当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2ln2时，方程有一个解；

当a＜2-2ln2时，方程无解.综上所述，a时，方程无解；或a=2-2ln2时，方程有唯一解；时，方程有两个不等的解.

19、

（1）如图,由题意知AC⊥BC,,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为

（2）,,令得,所以,即,当时,,即所以函数为单调减函数,当时,,即所以函数为单调增函数.所以当时,即当C点到城A的距离为时,函数有最小值.

20、（Ⅰ）①设AB中点为Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=（rad），则,故，又OP＝，所以，所求函数关系式为

②若OP=（km），则OQ＝10－，所以OA=OB=所求函数关系式为

（Ⅱ）选择函数模型①，令得sin，因为，所以=.当时，，是的减函数；当时，，y是的增函数.所以当=时，（km）。

这时点0位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处.

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