初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案.docx

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初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

一、二次函数概念：

1.二次函数的概念：

一般地，形如yax红+bx光（a,b,c是常数，a丸）的函数，叫做

二次函数。

这里需要强调：

和一元二次方程类似，二次项系数a…0，而b，c可

以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2.二次函数yax2bxC的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.

⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

二、二次函数的基本形式

2

1.二次函数基本形式：

yax的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a>0

向上

6,o）

y轴

x》0时，y随x的增大而增大；x咬0时，y随

x的增大而减小；xP时，y有最小值0.

a*0

向下

（\

b,o丿

y轴

x>0时，y随x的增大而减小；xv0时，y随

x的增大而增大；x=0时，y有最大值0.

2.yax2c的性质：

上

加下减。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a”0

向上

b，c）

y轴

x步0时，y随x的增大而增大；x噴0时，y随x的增大而减小；xP时，y有最小值c.

a0

向下

（°,°）

y轴

x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；xP时，y有最大值c.

2

3.y_axh的性质:

左加右减。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a；#0

向上

』h,0）

X=h

x^h时，y随x的增大而增大；h时，y随

x的增大而减小；x=h时，y有最小值0.

aV0

向下

比,0）

X=h

x券h时，y随x的增大而减小；x嗥h时，y随

x的增大而增大；x二h时，y有最大值0.

2

4.y~ax-hk的性质:

=

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

aA0

向上

（h,k）

X=h

x>h时，y随x的增大而增大；x丈h时，y随

x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.

a.<0

向下

（h，k』

X=h

x》h时，y随x的增大而减小；x

x的增大而增大；x=h时，y有最大值k.

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

2

⑴将抛物线解析式转化成顶点式y_axhk，确定其顶点坐标feh,k;

⑵保持抛物线y—ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:

2.平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移

概括成八个字“左加右减，上加下减”

四、二次函数--2与-2厝冷的比较

yaxhkyaxbxc

从解析式上看，

yEax

2

hk与y-ax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配

方可以得到前者，即

2

J*%.

y_ax=一b4acb

2，其中

4a

b.

h一,k4acb

2a

4a

六、二次函数y_ax2.bx.c的性质

1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为

x,=_..b，顶点坐标为

2a

.A，

2a

4ac_工2'•

4a

当X丄时，

2a

y随x的增大而减小;

当x_b时，

2a

y随x的增大而增大;

x-时,

2a

4acb

y有最小值

4a

2.当a/：

0时，抛物线开口向下，对称轴为

一时，y随x的增大而增大；当x

2a

2

有最大值4ac•

4a

x一_b，顶点坐标为

2a

b时,

2a

b,

2a

y随x的增大而减小；当

4ac—b2［当

4a

x-_b时，y

2a

七、二次函数解析式的表示方法

2

1.一般式：

y-axbxc（a,b,

2.顶点式：

y二a（x—h）2k（a,h,

c为常数，k为常数，

3.两根式（交点式）：

y-a（xxi）（xx2）（a0,

标）.

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-

点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化

a=0）;

0）;

xi,X2是抛物线与x轴两交点的横坐

4ac0时，

但并非所有的二次函数都可以写抛物线的解析式才可以用交

八、

1.

二次函数的图象与各项系数之间的关系

二次项系数a

当a0时，抛物线开口向上，

当a0时，抛物线开口向下，

a的值越大，开口越小，反之

a的值越小，开口越小，反之

a的值越小，开口越大;a的值越大，开口越大.

2.一次项系数

在二次项系数

b

a确定的前提下，

b决定了抛物线的对称轴.

（同左异右b为0对称轴为

y轴）

3.常数项c

⑴当c

⑵当c"0

⑶当c：

0

时，抛物线与

时，抛物线与

时，抛物线与

轴的交点在x轴上方，即抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴的交点在x轴下方，即抛物线与

y轴交点的纵坐标为正；

y轴交点的纵坐标为0;y轴交点的纵坐标为负.

十、二次函数与一元二次方程:

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

0时的特殊情况.

庐X2），其中的xi,X2

一元二次方程ax2bxcP是二次函数y-ax2bx盘c当函数值y图象与x轴的交点个数：

1当总—b2l4ac0时，图象与x轴交于两点Axi，0，Bx2，0（x1

2

是一兀二次方程axbx0a0的两根..

2当©—0时，图象与x轴只有一个交点；

3当:

.0时，图象与x轴没有交点.

1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有

2'当a；0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有

2.抛物线y-ax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）；

•、选择题

九矿新概念辅导班

二次函数对应练习试题

确的个数是（）

二、填空题

9.二次函数y=x?

+bxh-3的对称轴是x-2，贝Ub=。

10.已知抛物线y=-2（x+3）2+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是

11.一个函数具有下列性质：

①图象过点（一1,2）,②当xv0时，函数值y随自变量x的

增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。

12•抛物线y2（x2）26的顶点为C,已知直线y-kx3过点C,贝V这条直线与两坐

标轴所围成的三角形面积为。

、2

13.二次函数y2x4x1的图象是由y一2x2'bx•c的图象向左平移1个单位，再向

下平移2个单位得到的,则b=,c=。

14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心

M处5米的地方，桥的高度是（n取3.14）.

三、解答题:

当x为何值时，这个函数的函数值为0?

当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的增大而增大？

12

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式h=V0t'gt（0

2

其中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以vo=2O米/秒的初速度上升，

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明

理由

17.如图，抛物线y=x?

*bx-c经过直线yx3—与坐标轴的两个交

点A、B，此抛物线与X轴的另一个交点为

C,抛物线顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式;

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使的坐标。

S:

S5

-APCACD

:

4的点P

18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物

售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该

建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：

当每吨售价每下

降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支

付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）.

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：

“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？

请说明理由.

二次函数应用题训练

1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x

（分）之间满足函数关系：

y=-0.1x2<<30）

+2.6x+43（0x30）.

（1）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？

当x在什么

范围内时，学生的接受能力逐步减弱？

（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少?

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强?

2、如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在厶ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上，点D、G分别在边AB、AC上.

问矩形DEFG的最大面积是多少？

3、如图,△ABC中,/B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q同时出发，问经过几秒钟△PBQ的面积最大?

最大面积是多少？

4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，

当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知

篮圈中心到地面的距离为3.05米.

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；

（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：

球出手时，他跳离地面的高度是多少

0,3.5）

4m

5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆

围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为xm.

（1）要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m?

（2）如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m?

比较⑴

（2）的结果，你能得到什么结论？

x

6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售

量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：

m=140-2x.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系

式；

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？

最大销售利润为多少？

九矿新概念辅导班二次函数专项训练（专题一）

二次函数专题复习图像特征与a、b、c、△符号的关系

1、已知二次函数y.max2bxc，如图所示，若a:

0，c0，那么它的图象大

致是（

）

2、

已知二次函数

A•第一象限

y

y

y

V

x

x

x

x

C

B

D

ax2bxC的图象如图所示，

B•第二象限

C•第三象限

D•第四象限

（）

3、已知二次函数的图象如下,

则下列结论正确的是（）

4、二次函数y=ax2+bx+c（a工0）的图象如图所示

?

③b2-4ac>0，其中正确的个数是

①a>0:

②c>0;

5、

二次函数y=ax

+bx+c的图像如图1，则点M（

A•第一象限

B•第二象限

D.

C•第三象限

D.第四象限

6、二次函数y

ax2bx

->_<

2

A、a0,b4ac0

啲图象如图所示，贝U

-a0,b24ac0

Aab<0

1

b2-4ac>0；

2abc>0;

38a+c>0;

49a+3b+cv0

其中，正确结论的个数是（）

A、1B、2C、3D、4

二次函数对应练习试题参考答案

选择题、

1

.A2.C3.A4.B5.D6.B7.C8.C

二、填空题、

1.5秒至108秒这段时间

知顶点的横坐标t厂2，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的

内，爆竹在上升.

93b-c=0b--2

17.

（1）直线yx—3与坐标轴的交点A（3,0）,B（0,-3）.贝V解得

1飞=一3lc=3

所以此抛物线解析式为y>22x3.

（2）抛物线的顶点D（1,-4），与x轴的另

一个交点C（-1,0）.设p（a,a2—2a—3），贝V（仆4刊a2—2a—乜）:

（予44）=54

22

化简得冃2-2a_3=5

当a22a3>0时，a22a''3-5得a-4,a一一2二P（4,5）或P（-2,5）

当a22a3v0时，a22a3一5即a2'2a"2一0，此方程无解.综上所述，

满足条件的点的坐标为（4,5）或（一2,5）.

静说的不对.

二次函数应用题训练参考答案

1、

（1）0

（2）59;（3）13.

2、过A作AM丄BC于M,交DG于N,则AM=202-122=16cm.

设DE=xcm,S矩形=ycm2,则由△ADGABC,

DG丄仃3

故AL=DG^即16,故DG=_（16-x）.

AMBC16242

33232

•y=DG•DE=（16-x）x=-（x2-16x）=-（x-8）2+96,

222

从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.3、设第t秒时,△PBQ的面积为ycm2.则tAP=tcm,•PB=（6-t）cm;

1122

又BQ=2t.•y=PB•BQ=（6-t）•2t=（6-t）t=-t2+6t=-（t-3）2+9,

22

当t=3时,y有最大值9.

故第3秒钟时△PBQ的面积最大,最大值是9cm2.

2

4、解：

（1）设抛物线的表达式为y=ax+bx+c.

由图知图象过以下点：

（0,3.5）,（1.5,3.05）.

-■

b

-0，__

2aa0.2,

二3.5,得vb=0,

ItI

2亠亠二

3.051.52a1.5bc,c3.5.

■

•抛物线的表达式为y=—0.2x2+3.5.

（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm,贝吐求出手时，球的高度为

h+1.8+0.25=（h+2.05）m,

•h+2.05=—0.2X（—2.5）2+3.5,

•h=0.2（m）.

5、解：

（1）依题意得

鸡场面积y=—-1x250x.

33

Ty=—_x2+50x=_1（X2—50x）

333

12625

=—（X—25）2+,

33

625

•••当x=25时，y最大=,

3

即鸡场的长度为25m时，其面积最大为

⑵如中间有几道隔墙，则隔墙长为

625m2.

3

50Xm.

n

_12

Xx+

n

1

_50一X…y-

n

12.

=——（x—50x）=—_（x—25）

n625

当x=25时，y最大=,

n

50

X

n

2625

+

n

即鸡场的长度为25m时，鸡场面积为

结论：

无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，

2

6、解:

（1）y=-2x2+180x-2800.

（2）y=-2x+180x-2800

=—2（x—90x）—2800

=—2（x—45）+1250.

当x=45时，y最大=1250.

6252

m.

n

要使鸡场面积最大，

其长都是25m.

•每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为

1250元.