答案：
（－2,1）
10．已知k∈R，则直线kx＋（1－k）y＋3＝0经过的定点坐标是________．
解析：
令k＝0，得y＋3＝0，令k＝1，得x＋3＝0.
解方程组得
所以定点坐标为（－3，－3）．
答案：
（－3，－3）
三、解答题
11．已知两直线l1：
x＋ysinα－1＝0和l2：
2xsinα＋y＋1＝0，试求α的值，使
（1）l1∥l2；
（2）l1⊥l2.
解：
（1）法一 当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，
l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.
当sinα≠0时，k1＝－，k2＝－2sinα.
要使l1∥l2，需－＝－2sinα，
即sinα＝±，∴α＝kπ±，k∈Z.
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
法二 由l1∥l2，得∴sinα＝±，
∴α＝kπ±，k∈Z.
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
（2）∵l1⊥l2，∴2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0.
∴α＝kπ，k∈Z.
故当α＝kπ，k∈Z时，
l1⊥l2.
12．设直线l1：
y＝k1x＋1，l2：
y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
（1）证明l1与l2相交；
（2）证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
证明：
（1）假设l1与l2不相交，则l1∥l2即k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0，这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．
（2）法一 由方程组解得交点P的坐标为，
而2x2＋y2＝22＋2
＝
＝
＝1.
即P（x，y）在椭圆2x2＋y2＝1上．
即l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
法二 交点P的坐标（x，y）满足故知x≠0.
从而
代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0，
整理后，得2x2＋y2＝1.
所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．
第八篇 第2节
一、选择题
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程为（ ）
A．x2＋（y－2）2＝1 B．x2＋（y＋2）2＝1
C．（x－1）2＋（y－3）2＝1 D．x2＋（y－3）2＝1
解析：
由题意，设圆心（0，t），
则＝1，得t＝2，
所以圆的方程为x2＋（y－2）2＝1，故选A.
答案：
A
2．（2014郑州模拟）动点P到点A（8,0）的距离是到点B（2,0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．（x－1）2＋y2＝16 D．x2＋（y－1）2＝16
解析：
设P（x，y），
则由题意可得2＝，
化简整理得x2＋y2＝16，故选B.
答案：
B
3．（2012年高考陕西卷）已知圆C：
x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3,0）的直线，则（ ）
A．l与C相交B．l与C相切
C．l与C相离D．以上三个选项均有可能
解析：
x2＋y2－4x＝0是以（2,0）为圆心，以2为半径的圆，而点P（3,0）到圆心的距离为d＝＝1<2，
点P（3,0）恒在圆内，过点P（3,0）不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.
答案：
A
4．（2012年高考辽宁卷）将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是（ ）
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
解析：
由题知圆心在直线上，因为圆心是（1,2），
所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C符合，故选C.
答案：
C
5．（2013年高考广东卷）垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是（ ）
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
解析：
与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2＋y2＝1相切，可得＝1，故b＝±.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b＝－，则直线方程为x＋y－＝0.故选A.
答案：
A
6．（2012年高考福建卷）直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于（ ）
A．2 B．2
C. D．1
解析：
因为圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝1，半径r＝2，
所以弦长|AB|＝2＝2.
故选B.
答案：
B
二、填空题
7．（2013年高考浙江卷）直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
解析：
圆的方程可化为（x－3）2＋（y－4）2＝25，
故圆心为（3,4），半径r＝5.
又直线方程为2x－y＋3＝0，
∴圆心到直线的距离为d＝＝，
∴弦长为2×＝2＝4.
答案：
4
8．已知直线l：
x－y＋4＝0与圆C：
（x－1）2＋（y－1）2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．
解析：
因为圆C的圆心（1,1）到直线l的距离为
d＝＝2，
又圆半径r＝.
所以圆C上各点到直线l的距离的最小值为d－r＝.
答案：
9．已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程是________．
解析：
∵圆C的圆心在直线3x－y＝0上，
∴设圆心C（m,）．
又圆C的半径为1，且与4x－3y＝0相切，
∴＝1，
∴m＝±1，
∴圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝1或（x＋1）2＋（y＋3）2＝1.
答案：
（x－1）2＋（y－3）2＝1或（x＋1）2＋（y＋3）2＝1
10．圆（x－2）2＋（y－3）2＝1关于直线l：
x＋y－3＝0对称的圆的方程为________．
解析：
已知圆的圆心为（2,3），半径为1.
则对称圆的圆心与（2,3）关于直线l对称，由数形结合得，对称圆的圆心为（0,1），半径为1，故方程为x2＋（y－1）2＝1.
答案：
x2＋（y－1）2＝1
三、解答题
11．已知圆C：
x2＋（y－2）2＝5，直线l：
mx－y＋1＝0.
（1）求证：
对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．
（1）证明：
法一 直线方程与圆的方程联立，消去y得（m2＋1）x2－2mx－4＝0，
∵Δ＝＋16（m2＋1）＝＋16>0，
∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．
法二 直线l：
mx－y＋1恒过定点（0,1），且点（0,1）在圆C：
x2＋（y－2）2＝5内部，
∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．
（2）解：
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），
由方程（m2＋1）x2－2mx－4＝0，
得x1＋x2＝，
∴x＝.
当x＝0时m＝0，点M（0,1），
当x≠0时，由mx－y＋1＝0，得m＝，
代入x＝，得x＝，
化简得x2＋2＝.
经验证（0,1）也符合，
∴弦AB的中点M的轨迹方程为x2＋2＝.
12．已知圆C：
x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：
ax＋y＋＝0.
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解：
将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋（y－4）2＝4，则此圆的圆心为（0,4），半径为2.
（1）若直线l与圆C相切，
则有＝2.解得a＝－.
（2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得解得a＝－7，或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
第八篇 第3节
一、选择题
1．设P是椭圆＋＝1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于（ ）
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：
由方程知a＝5，根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝＝10.故选D.
答案：
D
2．（2014唐山二模）P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则·等于（ ）
A．3 B．
C．2 D．2
解析：
由椭圆方程知a＝2，b＝，c＝1，
∴
∴|PF1||PF2|＝4.
∴·＝||||cos60°＝4×＝2.
答案：
D
3．（2012年高考江西卷）椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B．
C. D．－2
解析：
本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．
由椭圆的性质可知|AF1|＝a－c，|F2|＝，
|F1B|＝a＋c，
又|AF1|，|F2|，|F1B|成等比数列，
故（a－c）（a＋c）＝（）2，
可得e＝＝.故应选B.
答案：
B
4．（2013年高考辽宁卷）已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为（ ）
A. B．
C. D．
解析：
|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos∠ABF＝100＋64－2×10×8×＝36，
则|AF|＝6，∠AFB＝90°，
半焦距c＝|FO|＝|AB|
＝5，
设椭圆右焦点F2，
连结AF2，
由对称性知|AF2|＝|FB|＝8，
＝|AF2|＋|AF|＝6＋8＝14，
即a＝7，
则e＝＝.
故选B.
答案：
B
5．已知椭圆E：
＋＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：
y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（ ）
A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0
C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0
解析：
取k＝1时，l：
y＝x＋1.
选项A中直线：
y＝－x－1与l关于x轴对称，截得弦长相等．
选项B中直线：
y＝x－1与l关于原点对称，所截弦长相等．
选项C中直线：
y＝－x＋1与l关于y轴对称，截得弦长相等．
排除选项A、B、C，故选D.
答案：
D
6．（2014山东省实验中学第二次诊断）已知椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（－c,0），F2（c,0），若椭圆上存在点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．（0，－1） B．
C. D．（－1,1）
解析：
由题意知点P不在x轴上，
在△PF2中，由正弦定理得
＝，
所以由＝
可得＝，
即＝＝e，
所以|PF1|＝e|PF2|.
由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝，
所以e|PF2|＋|PF2|＝，
解得|PF2|＝.
由于a－c<|PF2|所以有a－c<即1－e<<1＋e，
也就是
解得－1又0∴－1答案：
D
二、填空题
7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点距离为________．
解析：
∵|OM|＝3，∴|PF2|＝6，
又|PF1|＋|PF2|＝10，
∴|PF1|＝4.
答案：
4
8．椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为________．
解析：
不妨设|F2|＝1，
∵直线MF2的倾斜角为120°，
∴∠MF1＝60°.
∴|MF2|＝2，|MF1|＝，＝|MF1|＋|MF2|＝2＋，
＝|F2|＝1.
∴e＝＝2－.
答案：
2－
9．（2014西安模拟）过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．
解析：
由题意可设椭圆方程为＋＝1（m<9），
代入点（，－），
得＋＝1，
解得m＝5或m＝21（舍去），
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：
＋＝1
10．已知F1，F2是椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF2的面积为9，则b＝________.
解析：
由题意得
∴（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1||PF2|＝2，
即2－2|PF1||PF2|＝2，
∴|PF1||PF2|＝2b2，
∴S△PF2＝|PF1||PF2|＝b2＝9，
∴b＝3.
答案：
3
三、解答题
11．（2012年高考广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
＋＝1（a>b>0）的左焦点为F1（－1,0），且点P（0，1）在C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：
y2＝4x相切，求直线l的方程．
解：
（1）由椭圆C1的左焦点为F1（－1,0），且点P（0,1）在C1上，可得
∴
故椭圆C1的方程为＋y2＝1.
（2）由题意分析，直线l斜率存在且不为0，
设其方程为y＝kx＋b，
由直线l与抛物线C2相切得
消y得k2x2＋（2bk－4）x＋b2＝0，
Δ1＝（2bk－4）2－4k2b2＝0，化简得kb＝1.①
由直线l与椭圆C1相切得
消y得（2k2＋1）x2＋4bkx＋2b2－2＝0，
Δ2＝（4bk）2－4（2k2＋1）（2b2－2）＝0，
化简得2k2＝b2－1.②
①②联立得
解得b4－b2－2＝0，
∴b2＝2或b2＝－1（舍去），
∴b＝时，k＝，b＝－时，k＝－.
即直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
12．（2014海淀三模）已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝kx交椭圆C于A，B两点，在直线l：
x＋y－3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求k的值．
解：
（1）因为椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．
所以a＝，b＝1，
椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）设A（x1，y1），则B（－x1，－y1），
当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，
y轴与直线l：
x＋y－3＝0的交点为P（0,3），
又因为|AB|＝2，|PO|＝3，
所以∠PAO＝60°，
所以△PAB是等边三角形，
所以直线AB的方程为y＝0，
当直线AB的斜率存在且不为0时，
则直线AB的方程为y＝kx，
所以
化简得（3k2＋1）x2＝3，
所以|x1|＝，
则|AO|＝＝.
设AB的垂直平分线为y＝－x，
它与直线l：
x＋y－3＝0的交点记为P（x0，y0），
所以
解得
则|PO|＝，
因为△PAB为等边三角形，
所以应有|PO|＝|AO|，
代入得＝，
解得k＝0（舍去），k＝－1.
综上，k＝0或k＝－1.
第八篇 第4节
一、选择题
1．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于（ ）
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
解析：
由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，
又|PF1|＝9，
∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，
∴|PF2|＝17.
故选B.
答案：
B
2．（2013年高考湖北卷）已知0<θ<，则双曲线C1：
－＝1与C2：
－＝1的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：
双曲线C1的半焦距c1＝＝1，双曲线C2的半焦距c2＝＝1，故选D.
答案：
D
3．（2012年高考湖南卷）已知双曲线C：
－＝1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：
由焦距为10，知＝10，c＝5.
将P（2,1）代入y＝x得a＝2b.
a2＋b2＝c2,5b2＝25，b2＝5，a2＝4b2＝20，
所以方程为－＝1.故选A.
答案：
A
4．已知F1、F2为双曲线C：
x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于（ ）
A. B．
C. D．
解析：
∵c2＝2＋2＝4，
∴c＝2,＝|F2|＝4，
由题可知|PF1|－|PF2|＝＝2，
|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，
由余弦定理可知cos∠F1PF2＝＝.故选C.
答案：
C
5．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：
在椭圆C1中，因为e＝，＝26，
即a＝13，所以椭圆的焦距＝10，
则椭圆两焦点为（－5,0），（5,0），
根据题意，可知曲线C2为双曲线，
根据双曲线的定义可知，
双曲线C2中的2＝8，
焦距与椭圆的焦距相同，
即2＝10，
可知b2＝3，
所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.
答案：
A
6．（2014福州八中模拟）若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P总在平面区域（x－m）2＋y2≥16内，则实数m的取值范围是（ ）
A．[－3,3] B．（－∞，－3]∪[3，＋∞）
C．[－5,5] D．（－∞，－5]∪[5，＋∞）
解析：
因为双曲线－＝1渐近线4x±3y＝0上的一个动点P总在平面区域（x－m）2＋y2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d＝≥4，解得m≥5或m≤－5，故实数m的取值范围是（－∞，－5]∪[5，＋∞）．选D.
答案：
D
二、填空题
7．（2013年高考辽宁卷）已知F为双曲线C：
－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
解析：
由题知，双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，
则|PQ|＝16，
又因为|PF|－|PA|＝6，
|QF|－|QA|＝6，
所以|PF|＋|QF|－|PQ|＝12，
|PF|＋|QF|＝28，
则△PQF的周长为44.
答案：
44
8．已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．
解析：
双曲线中，顶点与较近焦点距离为c－a＝1，
又e＝＝2，两式联立得a＝1，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴方程为x2－＝1.
答案：
x2－＝1
9．（2014合肥市第三次质检）已知点P是双曲线－＝1（a>0，b>0）和圆x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，∠PF1＝2∠PF2，则该双曲线的离心率为________．
解析：
依题意得，线段F2是圆x2＋y2＝a2＋b2的一条直径，
故∠F1PF2＝90°，∠PF2＝30°，
设|PF2|＝m，
则有|F2|＝，|PF1|＝m，
该双曲线的离心率等于
＝＝＋1.
答案：
＋1
10．（2013年高考湖南卷）设F1，F2是双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF2＝30°，则C的离心率为________．
解析：
设点P在双曲线右支上，
由题意，在Rt△F1PF2中，
|F2|＝，∠PF2＝30°，
得|PF2|＝c，|PF1|＝c，
根据双曲线的定义：
|PF1|－|PF2|＝，（－1）c＝，
e＝＝＝＋1.
答案：
＋1
三、解答题
11．已知双曲线x2－＝1，过点P（1,1）能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
解：
法一 设点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，
且线段AB的中点为（x0，y0），
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k（x－1），
即y＝kx＋1－k.
由
得（2－k2）x2－2k（1－k）x－（1－k）2－2
＝0（2－k2≠0）．①
∴x0＝＝.
由题意，得＝1，
解得k＝2.
当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P（1,1）是线段AB的中点．
法二 设A（x1，y1），B（x2，y2），
若直线l的斜率不存在，
即x1＝x2不符合题意，
升级会员 