《成才之路》高一数学人教A版必修2能力强化提升231 直线与平面垂直的判定Word文件下载.docx

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②梯形的两边；

③圆的两条直径；

④正六边形的两条边．

则能保证该直线与平面垂直（　　）

A．①③B．①②

C．②④D．①④

[答案]　A

[解析]　三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.

3．下面条件中，能判定直线l⊥α的是（　　）

A．l与平面α内的两条直线垂直

B．l与平面α内的无数条直线垂直

C．l与平面α内的某一条直线垂直

D．l与平面α内的任意一条直线垂直

[答案]　D

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．6

[答案]　B

[解析]　仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．

5．直线a与平面α所成的角为50°

，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于（　　）

A．40°

B．50°

C．90°

D．150°

[解析]　根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°

.

6．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β

B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n

C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α

D．n∥m，n⊥α⇒m⊥α

[解析]　B中，m，n可能异面，C中n可能在α内，A中，m，n可能不相交．

7．（2012－2013·

武安中学高二检测）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

[解析]　取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，

又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，

∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，

在Rt△BOC1中，C1O＝

，BC1＝

＝

，

∴sin∠OBC1＝

8．（09·

四川文）如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是（　　）

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

[解析]　设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，

又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，

又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，

所以△PAD为直角三角形．

∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°

∴PD与平面ABC所成的角为45°

，故选D.

二、填空题

9．空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为________．

[答案]　垂直

[解析]　取AC中点E，连BE、DE.

由AB＝BC得AC⊥BE.

同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED.

因此，AC⊥BD.

10．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．

[答案]　菱形

[解析]　由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD.

又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.

又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.

又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．

11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5

，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．

[答案]　45°

[解析]　由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC为PM与平面ABC所成的角．

又∵M是AB的中点，∴CM＝

AB＝5.

又PC＝5，∴∠PMC＝45°

12．如右图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是________．

①BD∥平面CB1D1；

②AC1⊥BD；

③AC1⊥平面CB1D1；

④异面直线AD与CB1所成的角为60°

[答案]　④

[解析]　由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；

由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，

所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.

所以②正确；

可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，

所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；

由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°

是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．

三、解答题

13．如图，从直线CD出发的两个半平面α、β，EA⊥α于A，EB⊥β于B，求证：

CD⊥AB.

[证明]　∵EA⊥α，CD⊂α，

∴EA⊥CD，同理EB⊥CD，

∴CD⊥平面EAB，

又AB⊂平面EAB，∴CD⊥AB.

14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．

[分析]　找到PC在平面ABCD上的射影AC，则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角．

[解析]　如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，

所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．

在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝

＝5.

则∠PCA＝45°

即直线PC与平面ABCD所成的角为45°

15．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：

AE⊥平面PBC.

[分析]　只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，则可证AE垂直于平面PBC.

[证明]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.

而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.

又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.

[点评]　利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：

①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；

②确定这个平面内的两条直线是相交直线；

③根据判定定理得出结论．

16．S为直角△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.D为斜边AC的中点，

（1）求证：

SD⊥平面ABC；

（2）若直角边BA＝BC，求证：

BD⊥平面SAC.

[证明]　

（1）D是Rt△ABC斜边AC的中点

⇒SD⊥平面ABC.

⇒BD⊥平面SAC.