《成才之路》高一数学人教A版必修2能力强化提升232 平面与平面垂直的判定.docx

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《成才之路》高一数学人教A版必修2能力强化提升232平面与平面垂直的判定

一、选择题

1．下列命题中：

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是（　　）

A．①③B．②④

C．③④D．①②

[答案]　B

[解析]　对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角（或直角），所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.

[点评]　根据二面角的相关概念进行分析判定．

2．以下三个命题中，正确的命题有（　　）

①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小

A．0个B．1个

C．2个D．3个

[答案]　B

[解析]　仅②正确．

3．正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面BC1垂直的面的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[答案]　D

[解析]　与平面BC1垂直的面有：

平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面CD1.

4．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是（　　）

A．相等B．互补

C．互余D．无法确定

[答案]　B

[解析]　如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.

5．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：

①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.

其中表述正确的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[答案]　B

[解析]　①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．

6．正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于（　　）

A.

B.

C.

D.

[答案]　C

[解析]　设AC、BD交于O，连A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，

∴∠A1OA为二面角的平面角．

tan∠A1OA＝

＝

，∴选C.

7．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为（　　）

A．30°B．60°

C．30°或150°D．60°或120°

[答案]　D

[解析]　如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，

设平面ABC∩l＝D，

则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，

∵AB＝6，BC＝3，

∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，

∴二面角大小为60°或120°.

8．四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为（　　）

A．45°B．30°

C．60°D．90°

[答案]　D

[解析]　设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD.

∵E、F分别为CD、BD的中点，

∴EF∥BC，

∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，

又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.

二、填空题

9．下列四个命题中，正确的命题为________（填序号）．

①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ

②α∥β，β∥γ，则α∥γ

③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ

④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ

[答案]　①②

10．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．

[答案]　3

[解析]　∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，

∴PA⊥平面PBC，

∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，

∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：

平面PAB⊥平面PAC.

11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.

[答案]　1

[解析]　∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，

∴C1F⊥EF，CF⊥EF，

∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，

∴∠C1FC＝45°，

∴△FCC1是等腰直角三角形，

∴CF＝CC1＝AA1＝1.

又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.

12．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.

（1）二面角A－PD－C的度数为________；

（2）二面角B－PA－D的度数为________；

（3）二面角B－PA－C的度数为________；

（4）二面角B－PC－D的度数为________．

[答案]　90°；90°；45°；120°

[解析]　

（1）PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，

∴二面角A－PD－C为90°.

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA，

∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角．

又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°.

（3）PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，

∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，

又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，

即二面角B－PA－C为45°.

（4）作BE⊥PC于E，连DE，

则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE，

从而△PBE≌△PDE，

∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE，

∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，

∴BE＝

＝

a，BD＝

a，

∴取BD中点O，则sin∠BEO＝

＝

，

∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°

∴二面角B－PC－D的度数为120°.

三、解答题

13．（2012·江西卷）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4

，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.

（1）求证：

平面DEG⊥平面CFG；

（2）求多面体CDEFG的体积．

[解析]　

（1）由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF，又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.

（2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G－EFCD的高，所以所求体积为

S矩DECF·GO＝

×5×4×

＝16.

14．在如下图所示的四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD.

（1）求证：

平面ACD⊥平面ABC；

（2）求二面角C－AB－D的大小．

[分析]　

（1）转化为证明CD⊥平面ABC；

（2）∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．

[解析]　

（1）证明：

∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，

∴CD⊥平面ABC.

又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.

（2）∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C，

∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD.

∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．

∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°.

∴二面角C－AB－D的大小为45°.

15．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：

（1）MN∥平面PAD；

（2）平面PMC⊥平面PDC.

[解析]　

（1）取PD的中点Q，连接AQ、QN，

∵PN＝NC，∴QN綊

DC.

∵四边形ABCD为矩形，

∴QN綊AM，

∴MN∥AQ，

又∵AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD＝90°，

∴△PAD为等腰直角三角形，

∵Q为PD中点，∴AQ⊥PD，

∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，

∵AQ⊂平面PAD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC

由

（1）MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC，

又∵MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC.

16．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝

.

（1）证明：

平面PBE⊥平面PAB；

（2）求二面角A－BE－P的大小．

[解析]　

（1）证明：

如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．

因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，

又AB∥CD，所以BE⊥AB，

又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.

而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.

又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（2）由

（1）知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．

在Rt△PAB中，tan∠PBA＝

＝

，∠PBA＝60°.

故二面角A－BE－P的大小是60°.