届上海市嘉定区长宁金山区高三上学期期末数学试题解析版.docx
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届上海市嘉定区长宁金山区高三上学期期末数学试题解析版
2020届上海市嘉定区、长宁、金山区
高三上学期期末数学试题
一、单选题
1•已知xR，则“x0”是“x1”的（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】
解：
由题意可知，xR,
x|x0?
x|x1
•••“x0”是“x1”的必要不充分条件.故选：
B.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题.
A.y2x
By
1
x2
C.ylnx
【答案】A
【解析】由指数函数，
幕函数，
对数函数及余弦函数的性质直接得解
【详解】
2.下列函数中，值域为0,的是（）
D.ycosx
解：
选项A.y2x的值域为0,
1
，选项B.yx2的值域为0,
，选项C.
yInx的值域为r,选项D.ycosx的值域为1,1.
故选：
A.
【点睛】
本题考查常见函数的值域，属于简单题.
3.已知正方体ABCDABC1D1，点P是棱CG的中点，设直线AB为a，直线AD1
为b.对于下列两个命题：
①过点P有且只有一条直线I与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线I与a、b都成45角.以下判断正确的是（）
A.①为真命题，②为真命题
C.①为假命题，②为真命题
B.①为真命题，②为假命题
D.①为假命题，②为假命题
【答案】B
【解析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a,b,结合异面直线所成角的概念判断②.
【详解】
解：
直线AB与AD是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条
上，如图所示：
取BB的中点Q,贝UPQ/AD,且PQ=AD,设AQ与AB交于E,则点Ai、D、QE、P共面，
直线EP必与AiD相交于某点F,则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；
分别平移a,b,使a与b均经过P,则有两条互相垂直的直线与a,b都成45°角，故②为假命题.
①为真命题，②为假命题.
故选：
B.
【点睛】
本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题.
4.某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数
模型y0.5sin
3.24（
0）.若该港口在该天0时至24时内，有且
只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）
A.16时B.17时C.18时D.19时
【答案】D
【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可.
【详解】
如果当X19时，函数取得最小值可得：
19
，可得
此时函数y0.5sin57x
63・24，函数的周期为:
2
匸
57
7
57，
114
7，
x24时，y0.5sin57
24—3.243，如图:
6
该港口在该天0时至24时内,
有且只有3个时刻水深为3米,
不满足,
解：
由题意可知，
x0时，
y0.5sin0—
6
3.24
3.49,
由五点法作图可知:
如果当x
16时，函数取得最小值可得：
16
—，可得
6
2
7
48，
2
96
7
T
14
此时函数y0.5sinx
3.24，函数的周期为:
7
7
48
6
48
该港口在该天0时至24时内，
有且只有3个时刻水深为
3米，
满足，
故选：
D.
【点睛】
本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题.
二、填空题
5.已知集合A1,2,3,4,5,B2,4,6,8，则AIB
【答案】2,4
【解析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集.
【详解】
解：
•••A1,2,3,4,5,B2,4,6,8,
•••AIB2,4.
故答案为：
2,4
【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
6•方程2x3的解为
【答案】xIog3
【解析】把指数式化为对数式即可求出方程的解.
【详解】
解：
Q2x3，•指数式化为对数式得：
Xlog23,
故答案为：
Xlog23•
【点睛】
本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题.
21
7.行列式的值为
12
【答案】5
【解析】直接利用行列式公式可求.
【详解】
21
解：
22115
12
故答案为：
5
【点睛】
本题考查二阶行列式计算•属于基础题.
8.计算lim
n
2n
n1
【答案】2
【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.
【详解】
解:
lim
2n
\im—
n
故答案为：
2.
【点睛】本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题.
9•若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的母线长为
【答案】2
【解析】根据圆面积公式算出底面半径
r=1,再由圆锥侧面积公式建立关于母线
方程，解之即可得到该圆锥的母线长.
【详解】
解：
•••圆锥的底面积为
•••圆锥的底面半径为
r，满足
，解得r1
又•••圆锥的侧面积为
•设圆锥的母线长为
l，可得
rl
，解之得I2
故答案为：
2
【点睛】
本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积,
求它的母线长,
着重考查了圆的面积公式和圆锥
侧面积公式等知识，属于基础题.
uur1J3uuur
10•已知向量AB—,,AC
22
，则
BAC
【答案】6
【解析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得BAC的值.
【详解】
uuu
解：
向量AB
LUJLT
AC
cosBAC
uuuuuur1^31V3
ABACpppp
uuur
AB
uuuAC
11
BAC-
故答案为：
—•
6
【点睛】
本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题.
11.2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有种•
【答案】72
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
解：
根据题意，分2步进行分析：
1、将3位男生排成一排，有A6种情况，
2、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有A12种情况，
则2位女生不相邻的排法有61272种；
故答案为：
72
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.
12.已知点2,y在角终边上，且tan2^2，则sin.
【答案】
3
【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y,然后即可求解.
【详解】
解：
由题意可得，tan,
2
Qtantan2、2
tan2・2—
2
解得y4,2
4血2^2
sin
4^223
故答案为：
乙2.
3
【点睛】
本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考
查.
13.近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人
的消费习惯•某企业为了解该企业员工A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况•发现样本中A,B两种
支付方式都没有使用过的有5人；使用了A、B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：
支付金额（元）
支付方式
0,1000
1000,2000
大于2000
使用A
18人
29人
23人
使用B
10人
24人
21人
依据以上数据估算：
若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A、B两种支付
方式都使用过的概率为.
3
【答案】
10
【解析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月
B两种支付方式都使用过的概率.
【详解】解：
依题意，使用过A种支付方式的人数为：
18292370,
使用过B种支付方式的人数为：
10242155,
又两种支付方式都没用过的有5人,
所以两种支付方式都用过的有
7055100530,
30
100
3
10
所以该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率
3
故答案为：
一.
10
【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题.
「「「iiiiiirrr
14.已知非零向量a、b、c两两不平行，且allbc,b//ac，设cxayb,
x,yR，则x2y
【答案】—3
rrr
【解析】先根据向量共线把c用a和b表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解.
【详解】
rrr'
解：
因为非零向量a、b、c两两不平行，且allbc,bllac,
r
r
r
a
mb
c
m0,
r
1r
r
c
a
b
m
r
r
r
b
na
c
n0
r
1r
r
c
-b
a
n
1
，解得
1n
n
Qcxayb
xy1
x2y3
故答案为：
3.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用•解题时要认真审题，属于基础
题•
15•已知数列an满足：
a11,aman印耳，,annN*，记数列an的
前n项和为Sn，若对所有满足条件的an,S10的最大值为M、最小值为m，则
Mm.
【答案】1078
【解析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，
何时和最小，进而求得结论.
【详解】
解：
因为数列｛an｝满足：
a11,a*1ana「a2,,annN*,
a1即a2
a1a1解得a22；
a3
a2
a1,a2
a3
a2
1或a3a2
2
a3
3或a34；
a4
a3
ai,a2,a3
a4
a3
1或a4a3
2，a4a33，a°a?
4
所以a4最小为4,a4最大为8；
所以，数列Sio的最大值为M时，是首项为1,公比为2的等比数列的前10项和:
io
1023；
112M-
12
So取最小值m时，是首项为
1,公差为1的等差数列的前10项和:
10101m101155;
2
二Mm1078•
故答案为：
1078.
【点睛】
本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n项和公式，考
查了推理能力与计算能力，属于中档题•本题的关键在于观察出数列的规律.
1
16•已知函数fxx—a，若对任意实数a，关于x的不等式fxm在区间
x
1
-,3上总有解，则实数m的取值范围为.
2
【答案】，2
3
1
【解析】本题要根据数形结合法将函数yx的图象向下平移到一定的程度，使得
x
1
函数fxx—a的最大值最小•再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m
x
的取值范围.
11
解：
由题意，yx—在区间,3上的图象如下图所示:
x2
3
710352
1-2
3
根据题意，对任意实数a,关于x的不等式
xm在区间一，3上总有解,
2
则只要找到其中一个实数a，使得函数fx
1
如图，函数yx向下平移到一定才程度时,
x
此时只有当f1f3时，才能保证函数
1
设函数yx图象向下平移了t个单位,
x
10
”口8
t
2t,解得t-.
3
3
此时函数
10
fx的最大值为—
8
2
3
3
3
根据绝对值函数的特点，可知
1
x—a的最大值最小即可，
x
1
函数fxx—a的最大值最小
x
fx的最大值最小.
（t0）.
实数m的取值范围为:
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算
能力.本题属中档题.
三、解答题
17.如图，底面为矩形的直棱柱ABCDA1B1C1D1满足：
AA,4,AD3,CD2.
Aix
（1）求直线AC与平面AADiD所成的角的大小;
（2）设M、N分别为棱BB!
、CD上的动点，求证：
三棱锥NA1AM的体积V为定值，并求出该值•
2
【答案】
（1）arctan—；
（2）证明详见解析，V4.
5
【解析】
（1）说明CA1D即直线AC与平面AAiDiD的所成角，通过求解三角形，
推出结果即可.
（2）记点N到平面AAM的距离为d，由于底面积和高都不变，故体积不变
【详解】
解：
（1）由直棱柱知AA平面ABCD，所以AACD,
又因为ADCD，所以直线CD平面A1ADD1,所以CAD即直线AC与平面AADQ的所成角
由题意AD5,CD2，所以tan
所以直线AC与平面AADD的所成角
2
5
2arctan.
5
（2）记点N到平面AAM的距离为d，三角形AAM的面积为SA1AM，则
VVNA,AM
3d
Sa,AM,
1
由已知d3,Sa,mm244,
2
1所以V344为定值.
3
【点睛】
本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题.
18.在复平面内复数z1、z2所对应的点为乙、Z2,O为坐标原点，i是虚数单位
uuunujuir
（1）Z112i,Z234i,计算Z1Z2与O乙OZ2;
uuuruuLur
（2）设乙abi,z2cdi（a,b,c,dR），求证：
OZjOZ?
4z2，并指
UJULUULU
出向量OZj、OZ2满足什么条件时该不等式取等号•
uuuruuuu
【答案】
（1）z,z2112i，OZ1OZ25；
（2）证明详见解析，当abcd时•
iuuu
【解析】
（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出ziZ2，可知OZi1,2，
uuuu
OZ23,4，然后进行数量积的坐标运算即可；
（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出
Z1Z2，以及复数的几何意义表示出
uuuuuuuu
O乙、OZ2计算其数量积，利用作差法比较
2uuuruuuu„
z1z2」OZ1OZ2|的大小，并得出何时
取等号
【详解】
解：
（1）z勺12i34i112iuuuuuiuu
OZ11,2，OZ23,4
iuuuiuuu
所以O乙OZ25
iuuuuuuu
，此时O乙POZ2•
证明
（2）Qzabi，z2cdi
Z1Z2
ujuu
2
ac
2bd
uuuu
ad
2
bc
QOZ
a,b,
OZ2
c,d
uuuruiuu
uuu
uuuu
2
2
OZ1OZ2ac
bd,
OZ1
OZ2
ac
bd
2uuuu
uuuu
2
22
Z1Z2
|OZ1
OZ212
ac
bd
ad
bcacbd
2
2
ad
bc4acbd
ad
cb
0
Zz2acbdadbci
uuuuuu
所以OZ1OZ2NZ2，当且仅当
ad
cb时取
【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.
19•如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图•其中AB4百米，BC3百米•
现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在
AB边上，要求MDN
（1）若ANCM2百米，判断DMN是否符合要求，并说明理由；
（2）设CDM，写出DMN面积的S关于的表达式，并求S的最小值.
S3忑
【答案】
（1）不符合要求，理由详见解析；
（2）S，最小值为
COScos—
4
12.21.
【解析】
（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解MDN，判断MDN是否
符合要求，即可.
（2）CDM
ADN，求出
1
，利用两角和与差的三角函数求解最值即
3、2-DNDMsin—
24
coscos—
4
可.
【详解】
解：
（1）由题意MN.5,DN,DN2,5,
所以cosMDN
132057-J.
22.513.652
S1DNDMsin—
24
3、2
coscos—
4
所以
MDN-,
4
DMN不符合要求
（2）
QCDM
ADN
4
3
4
DN
所以
DM
cos'
cos
—
4
Qcoscoscoscossin
42
2sin2cos21
4
121.2sin2
24424
所以S12.21,S的最小值为12辽1
【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题.
n*
20.已知数列4各项均为正数，Sn为其前n项的和，且3n,Sn,annN成等差数列.
（1）写出a1、a2、a3的值，并猜想数列an的通项公式an；
（2）证明
（1）中的猜想；
（3）设bn
tan
1（t0）,Tn为数列
bn
的前n项和.若对于任意n
N*，都有
Tnbm|m
*
N
，求实数t的值•
【答案】
（1）
a1
1,a22,a33,
an
n；
（2）详见解析；（3）
1
1.
2
【解析】
（1）
代入
2
Snanan，求出
a1,
a2,a3，猜想出即可;
2
（2）禾U用等差数列的定义证明即可;
（3）由
（2）知bmmt1,Tn
*n1
意nn,〒都是整数，进而
n（n1）tn,因为m,n都是整数，所以对于任
2
11
-是整数，所以t-,kZ,此时
tk
1，因为
的任意性，不妨设bmT2，求出即可.
【详解】
（1）
解:
由已知Sn
2
anan
所以
1,a22,a33,
猜想
an
证明
（2）当
2
n2时，Sn王旦,Sn
2
2
an1an1
2
所以an
Sn
Sn1
22
ananan1an1
22
得an
an1
anan110,
因为
an
0nN，所以anan1
数列
an为等差数列,
又由（
1）ai
32
所以
（3）
解由
（2）知bm
mt
1,Tn
n（n
Utn.
若bmTn，则m
因为m,n都是整数，所以对于任意
n1
D都是整数,
t
1
进而-是整数
t
所以t
设bm
T2，则m3k
所以k
①当k
1时，对于任意
②当k
2时，对于任意
所以实数
t取值的集合为
【点睛】
考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前
n项和公式的应用，中
档题.
21.已知函数fXxxa，其中a为常数•
（1）
1时，解不等式fX2；
（2）
已知
gx是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有
5
一，求函数ygxx1,2的反函数;
4
Xn，使得
（3）若在0,2上存在n个不同的点务i1,2,,n.n3,人x
fXifX2fX2fX3fXn1fXn8,求实数a的取值范围
【答案】
（1）,2；
（2）y3•，厂x0,3；（3）,2U6,.
【解析】
（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果.
（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数.
（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结
果.
【详解】解：
（1）解不等式XX
1时，x2x2
0，所以1X2
1时，X2x2
0，所以X1,
综上,
该不等式的解集为
2
（2）
X1时，g
xxxa,
因为
是以2为周期的偶函数,
所以
所以当0
所以当1
4，且a
X1时,
X2时,
0,得
0,3,
所以函数ygx
1,2
的反函数为
0,3
（3）①当a0时,
在0,2
a，是0,2上的增函数，所以
fX-1fX2
fX2fX3
Xn1fXn
fXnfX1
所以f222
a8，得a2；
②当a4时，在0,2上fxxax，是0,2上的增函数，所以
fx-i
fX2
fX2fX3
Xn1fXn
fXn
fX1f2
所以f
28，得a
③当0
a4时,
fx在0,2
上不单调,
所以
fx1
fx2
fx2fX3
Xn1fXn
2fXmax
f222a4，
在0,2
上，fx
max
ra£cmaxf,f22
4.
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