东北大学高数试题上Word文档下载推荐.docx
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-,拐点2,乡，面积
ee
5
4e2
13
4。
e
五、y
2x
2x21
六、a=2,b=1,（x）
3x~3
二、高等数学试题2008/1/14
二、填空题（本题共4小题，每小题4分,
共计16分）
32x
1.yesin（xy）0在x0处的切线方程是.
2.一个圆锥形容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m，则灌入水时水的体积V对水面高度h的变化率
为
3.曲线y
x6x12x4的拐点为
4.f（x）
—展开成
1x
x2的幕级数为
-,0
1；
三、（7分）
设f（x）
试研究函数f（x）在［0,2］上是否满足拉格朗日中值定理的条件
四、计算下列各题（本题共
ln（12sinx）
1.lim
x0-..1x、,1
2.
6小题，每小题
6分，共计36分）.
sinxx
2.lim
x0
5x
3.设
In.1t2
arctant
4.计算积分
ln（x
一1x2）dx.
5.计算积分
V1x2d
2dx.
6.
求幕级数x
x3
x5
x2n1
五、
2n
在收敛域上的和函数.
（7分）由曲线y
8,yx2围成曲边三角形OAB，其中A为y0与x8的交点，B为y
8的交点.在曲边
OB上求一点，过此点作yx的切线，使该切线与直线段OA,AB所围成的三角形
面积为最大.
六、（7分）求心形线
ra（1cos）与圆r3acos所围图形公共部分.
七、（7分）设f（x）是（
Word资料
+）的可微函数，且满足:
（1）f（X）>
0x（,+）,
⑵存在0<
<
1,使得|f（x）|<
f（x）,x（,+）.
任取a0（,+
（anan1）绝对收敛.
）,定义an=lnf（an1）,（n=1,2,）,证明
八、
（4分）设
f（x）在［a,b］上二阶可导,
且f（x）0,证明
b
f（x）dx（b
a）f斗
答案:
1.B.
2.A.
3.A.
4.C.
二、1.
1.
4
25
h2.
3.（2,12）.
4.
3（X
03
2）n.
四、1.2
2.1,
dx2
t2
4.xln（x
、1x2）..1x2C
5.」ln—
21x
1<
x<
1）,
Gcos2x
C2sin2xxcosx
2.sinx.
9
七。
16
5
256T）.
提示：
两边求导解微分方程。
ab
处的一阶
八.提示：
f（x）在x
Taylor公式为
三、高等数学试题
2009/1/16
填空题（本题共5小题,
每小题3分，共计
15分）
1.已知f（x）（cosx）xx0在x0处连续，则a=.
ax0
2.设函数f（x）可导，y=f（sin2x），贝Udy=.
3•函数f（x）=ex的3阶麦克劳林公式为.
4•质点以速度tsint2（米秒）做直线运动，则从时刻匕£
（秒）到t2广（秒）质点所经过的路程等于
（米）•
5.以y1=cos2x,y2=sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为.
三、（8分）设函数f（x）
2.1
xsinx
，求f（x）.
xsinxx
6分，共计36分）
1.limx（—arctanx）.x2
3.设函数y=y（x）由y=1+xey确定，求
x31
4.设函数f（x）连续，且0f（x）dxx，求f⑺.
5.判断级数口2n的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
nin100
五、（8分）设f（x）anxn在［1,1］上收敛，试证：
当ao=a1=0时，级数f（）收敛。
n0
n1n
xe,x
0「込
六、（8分）设函数f（x）
，计算
f（x1）dx.
x,x
七、（8分）在抛物线y=
-x2
+1（x>
0）上求一点
P,过P点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标
轴所围成的面积最小.
八、（8分）求幕级数（x1）
（x
1）2
（x1）3
（1）n（x1）n
在其收敛域上的和函数。
九、（6分）设函数y=f（x）在（1,1）具有二阶连续导数且f（x）0,
（1）证明对于（1,1）任一x0,存在惟一的（x）（0,1）,使
f（x）=f（0）+xf[（x）x]
成立；
⑵求x叫（x）.
答案：
一、1.B.2.A.3.B.4.C.5.D
、1.a
2.dysin2xf（sinx）dx.
23
xx3\
3.f（x）1xo（x）.
26
4..
5.y+4y=0.
11
2xsincos—,
xx
f（x）
sinxxcosx,
xx2
四、1.1.2.2arcsin4xC,
d2ye2y（3y）
dx（2y）
4.f（7）112,5.条件收敛
五.y=x3+3x+1.
七.P（22）
33
八.lnx（0<
x2）
四、高等数学试题2010/01/16
若函数f（X）
（1
x）x
x0在x0处连续，则a=
函数f（x）
sinx
¥
在（0,2）
的极小值为
函数f（x）在（
）是可导的偶函数，且
limf（3x）f⑶
x02x
1,则y=f（x）在点（3,f（3））处的切线斜率
4.右
x14
of（t）dtx，则f
（1）=
5•若
f（x）在[—]上连续，则2[f（x）
222
f（x）]sin2xdx
6•设f（x）是以2为周期的函数，其表达式为
f（x）x；
0,则f（x）的Fourier级数在x=1处收敛
1,
于。
三、计算下列各题（本题共
6分，共计36
分）.
a.xarcsin（a>
0）,
2a
求dx
2.求极限lim（x
x3sin1）.
3•计算不定积分
（arcsinx）dx.
4.计算定积分
x、2coft,
5•若_
y2sin3t,
6.如果y=f（x）满足
_1_x_
■-2xx2
xo（
x）,
且f⑴=1,
求f（x）.
四、（8分）摆线xa（t
ya（1
sint）,（a>
0）的第一拱
cost）,
（0
t2）,求
（1）该摆线的弧长；
（2）该摆线与x轴围成的
平面图形绕x轴旋转一周所得立体的体积.
五、（8分）设f（x）=x+x2,x[,）,将f（x）展开成
Fourier级数,并求级数丄的和。
a
六、（4分）若f（x）在［0,a］上连续，且0f（x）dx0,证明至少存在一点（0,a），使得f（）°
f（x）dx0.
1.A.
2.B.
5.D
二、1.e.
4.2.5.0
2xx
1.\a2x2
x（arcsinx）2
2Fx2arcsinx2xC,4.6,5.-6.
五、高等数学试题
2011/01/14
、填空题
1.设y=lnx,y（n）
（1）=
xe
dx
3.1（xcosx2）xdx.
4.位于y轴右侧，x轴上方，曲线y2下方的平面图形的面积为.
5.水坝中有一直立矩形闸门，宽为3米，高为4米，闸门的上边平行于水面，顶部与水面相齐，则闸门所受
到的水压力为.
三、计算下列各题
求极限
xm0
.1xsinx
'
2
求函数.
f（x）
ln（1x）,
sinx,
x0,的导数.
x0,
xln（1yt
确定曲线
t2），求2
arctant,dx
x2
o（t1）（t2）2dt的凹凸区间与拐点.
四、求下列积分
1.x2cosxdx
2.X4.1x2dx.
五、级数
1.求幕级数斗xn在收敛域的和函数。
n13
2.设级数（anan1）收敛，bn（bn0）收敛，证明级数anbn绝对收敛。
n1n1n1
六、求单位球的接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高
七、设f（X）在［0,1］上可微，且f⑴2je1“f（x）dx，证明至少存在一点（0,1），使得f（）2f（）.
1.B.
2.C.
3.A.4.D.
5.C
n1i
1）（n
1）!
.
2.arcsine
C.
4.—
5.24g（KN）.
、1.
.2.f（x）x1,cosx,
0,
4.拐点（4,
四、
x2sinx2xcosx
2sin
（3
3x
诗.
六、
32,4
max
h
813
六、高数2013/01/08
二、填空题
已知
1.sinx
.1
xsin
0在x0处连续,
则b=
曲线
y=lnx在点
处的切线平行于y=2x
F（x）是sinx2的一个原函数，则d（F（x2））=
的收敛半径为
4•幕级数A_
n1n3n
5.设f（x）limt
xtnt
，则
xt
f（0）=。
二、计算题
1.求limMl笃。
（2x）2
2•设％
3.
acost亠
3，求
asint
dxy
3.已知方程
£
dt
costdt确定函数y=y（x），求史
四、计算积分
1.求xcosxdx。
dx。
~2x
五、求曲线y
六、一密度为底面与水面相切,
的凹凸区间、拐点及渐近线。
103（单位：
kg/m3），底半径为r（单位：
m），高为h（单位：
m）的金属圆柱体放入水中，上
2.5
求将这个圆柱体捞出水面所做的功。
七、求幕级数
xn的和函数，并求
0n!
02nn!
的和。
八、设函数f（x）在［0,1］上非负连续，证明:
（1）存在X。
（0,1），使在［0,x0］上以f（X0）为高的矩形面积S等于在［X0,1］上以y=f（x）为曲边的曲边梯形面
⑵若函数f（x）在（0,1）可导，且f（x）
MN，则
（1）中的X。
是唯一的。
，则f（x）在［0
2］上满足的Lagrange中值定理的=（
答案
若函数f（x）满足
f'
（x）
fe
，且
f（0）
1,则f（n）（0）（
A：
（n1）!
en,
B：
n!
e,
C:
（n
en1,D：
en1
sinx、.
I（）.
对于积分1o
（2
）dx,
则
A:
=2
B:
D:
0.
）.
3x
七、高数2014/01/13
单项选择题（每小题4分，共24分）
i
xln（1x）
sinx
Xmo限极
1-3
c
1-6
1-6
A
oxf（x）dx0,则（
5若f（x）连续，且/f（x）dx0,
当x（1,1）时，f（x）0,
当x（1,1）时，f（x）0,
C:
f（X）在（1,1）至少有一个零点•
D：
f（x）在（1,1）必无零点.
6
7
8
10
11
12
14
15
X
若函数F（x）°
（2tx）f（t）dt,其中f（x）在（1,1）二阶可导,
并且f'
（x）0，当x（1,1）时，则（）
A:
F（x）在x0取极大值；
B:
F（x）在x0取极小值；
F（x）在x0不取极值，点（0,0）也不是曲线yF（x）的拐点;
F（x）在x0不取极值,但是点（0,0）是曲线yF（x）的拐点.
填空题（每小题4分，共24分）
32
函数f（x）x6x1在x（1,1）的极大值是（）.
反常积分
dx
2x、x1
曲线yk（x23）2在拐点处的法线经过原点，则常数k2（）
曲线ytantdt位于0x的弧长是（）.
04
若f（x）,g（x）在（，）连续，且g（x）0f（x）dx10x,
则0g（x）dx0f（x）dx（）
dex1dxx
展开成关于x的幕级数为（
解答下列各题，应有必要的步骤或说明（共52分）
（8分）求f（x）
x21
sin（x）
的间断点，并指出其类型
sin4x,求f（）的值.
（8分）若f（x）非负连续，且f（x）0f（xt）dt
（8分）确定a,b,的值，使得f（x）
4.
xa3b2
432
2x在x
（8分）
设函数f（x）在［a,b］上满足a
f（x）b，|f（x）|q1，令山
f（Un1），
17
18
19
1,2,3丄，u0
（8分）设f（X）
［a,b］，证明：
级数（un1un）绝对收敛。
1t2
edt,x0
e1x0
计算
02
2（x1）2f（x1）dx.
（8分）求在上半平面由曲线
xy，y2x2和y
x所围成
的平面图形,
（1）面积，
（2）围绕
y轴旋转一周的立体体积
（4分）若x［0，1］时,
f"
（x）0，证明：
对任意正常数
f（x）dx
参考答案
ABABCD;
7:
1,8:
—,9:
—,10:
ln（.21）,11:
5,
232
间断点是xk,（k是整数）
f（—）
..6分
（1）
Vy
⑵
八、高数2015/01/19
计算题（每小题5分，共50分）
求极限lim0
sinx五
求a、b，使得f（x）在x1处连续。
arccosx
设f（x）
f（0）
求由参数方程
t3所确定函数的二阶导数
y3tt3
x2t
求lxm1x
求lim
lnx
n.1
na
2n
2x
——dx
求积分
O
（a0）
111nx|dx。
1（0x2），将f（x）展成余弦级数，并计算
L和2。
n1（2n1）n1n
求幕级数
02n
（2x3）n的收敛域，并判断x在收敛域端点处对应的级数是条件收敛还是绝对收敛。
（xa）
（x），（x）在x=a处有连续的一阶导数，求
f（a）,f（a）
设D是由曲线y
Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周
x3，直线xa（a0）及x轴围成的平面图形,
所得旋转体的体积，若
Vy10Vx,求a的值.
x22
0（x2t2）f（t）dt的驻点，证明存在
收敛。
设函数f（x）有连续的一阶导数，又a（a0）为函数F（x）
（0,a），使得f（c）0.
已知正项级数an收敛，证明：
当常数p丄时，级数a
n12n1n
给出近似计算sin31o的方法，并说明该方法能使sin31o得近似值精确到四位小数的理由。
设函数f（x）在［代B］上连续，（a,b）（A,B），
h0a-
据资料记载，某地某年间隔30天的日出日落时间如下
5月1日
5月31日
6月30日
日出
4点51分
4点17分
4点16分
日落
19点04分
19点38分
19点50分
试建立一数学模型，说明该地区从5月1日到6月30日哪一天白天最长。
312xxJ4x2
一、1:
e;
2：
a=-,b=0;
3：
1;
4：
;
5：
6：
max1,a；
7：
2arcsinC；
8：
4（1t）222
212a5
2;
9:
；
10:
（1,2］，条件收敛。
e5
二、f（a）（a）；
f（a）lim（x）（xa）（x）（a）（a）
xaxa
三、3一49;
八、6月22日
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