空间图形的位置关系.docx

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空间图形的位置关系

空间图形的位置关系

一、选择题

1．若点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（　　）

A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

答案：

B　命题立意：

本题考查异面直线的几何性质，难度较小．

解题思路：

因为点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，故选B.

2．如图，P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是（　　）

A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

B．它们两两垂直

C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直

D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

答案：

A　解题思路：

∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，

∴DA⊥平面PAB，又DA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.同理可证平面PAB⊥平面PBC.把四棱锥P－ABCD放在长方体中，并把平面PBC补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知∠CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，∠CD1D＝∠APB，

∴∠CD1D＜90°，故平面PAD与平面PBC不垂直．

3．设α，β分别为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：

A　命题立意：

本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．

解题思路：

依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.

4．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　）

A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线

B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线

C．已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β

D．m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直

答案：

B　解题思路：

本题考查了空间中线面的平行及垂直关系．在A中：

因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故A为假命题；在B中：

因为垂直于同一平面的两直线平行，故B为真命题；在C中：

n可以平行于β，也可以在β内，也可以与β相交，故C为假命题；在D中：

m，n也可以不互相垂直，故D为假命题．故选B.

5．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（　　）

A．4πB．2π

C．πD.

答案：

D　解题思路：

本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系．如图可知，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为NM的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论△MDN如何变化，点P到点D的距离始终等于1.故点P的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的

球面，其面积为

.

技巧点拨：

探求以空间图形为背景的轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡．

6．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF是异面直线；②直线BE与直线AF是异面直线；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确结论的序号是（　　）

A．①②B．②③

C．①④D．②④

答案：

B　解题思路：

本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系．画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE与直线CF是异面直线，不正确，因为E，F分别是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；②直线BE与直线AF是异面直线，满足异面直线的定义，正确；③直线EF∥平面PBC，由E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的；④由题中条件不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．故选B.

技巧点拨：

翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：

垂直、角度、距离、应用等问题．此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力．解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的．

二、填空题

7．如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD⊥平面CEFB，CE＝1，∠AED＝30°，则异面直线BC与AE所成角的大小为________．

答案：

45°　解题思路：

因为BC∥AD，所以∠EAD就是异面直线BC与AE所成的角．

因为平面ABCD⊥平面CEFB，且EC⊥CB，

所以EC⊥平面ABCD.

在Rt△ECD中，EC＝1，CD＝1，故ED＝

＝

.

在△AED中，∠AED＝30°，AD＝1，由正弦定理可得

＝

，即sin∠EAD＝

＝

＝

.

又因为∠EAD∈（0°，90°），所以∠EAD＝45°.

故异面直线BC与AE所成的角为45°.

8．给出命题：

①异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线；

②两异面直线a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α；

③两异面直线a，b，如果a⊥平面α，那么b不垂直于平面α；

④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线．

上述命题中，真命题的序号是________．

答案：

①③　解题思路：

本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系．根据异面直线的定义知：

异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题①为真命题；两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题②为假命题；若b⊥α，则a∥b，即a，b共面，这与a，b为异面直线矛盾，故命题③为真命题；④两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：

两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题④为假命题．

9．如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为________．

答案：

16

　命题立意：

本题以球的内接组合体问题引出，综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法，同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力．

解题思路：

设球心到底面的距离为x，则底面边长为

，高为x＋3，正六棱锥的体积V＝

×

（9－x2）×6（x＋3）＝

（－x3－3x2＋9x＋27），其中0≤x＜3，则V′＝

（－3x2－6x＋9）＝0，令x2＋2x－3＝0，解得x＝1或x＝－3（舍），故Vmax＝V

（1）＝

（－1－3＋9＋27）＝16

.

10．已知三棱锥P－ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO⊥平面ABC，

＝

，则三棱锥与球的体积之比为________．

答案：

　命题立意：

本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法，意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力．

解题思路：

依题意，AB＝2R，又

＝

，∠ACB＝90°，因此AC＝

R，BC＝R，三棱锥P－ABC的体积VP－ABC＝

PO·S△ABC＝

×R×

×

R×R＝

R3.而球的体积V球＝

R3，因此VP－ABC∶V球＝

R3∶

R3＝

.

三、解答题

11.

如图，四边形ABCD与A′ABB′都是正方形，点E是A′A的中点，A′A⊥平面ABCD.

（1）求证：

A′C∥平面BDE；

（2）求证：

平面A′AC⊥平面BDE.

解题探究：

第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行；第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直，从而得到平面与平面垂直．

解析：

（1）设AC交BD于M，连接ME.

∵四边形ABCD是正方形，

∴M为AC的中点．

又∵E为A′A的中点，

∴ME为△A′AC的中位线，

∴ME∥A′C.

又∵ME⊂平面BDE，

A′C⊄平面BDE，

∴A′C∥平面BDE.

（2）∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.

∵A′A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴A′A⊥BD.

又AC∩A′A＝A，∴BD⊥平面A′AC.

∵BD⊂平面BDE，

∴平面A′AC⊥平面BDE.

12.

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

（1）求证：

D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

命题立意：

本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定，考查考生的空间想象能力和推理论证能力．通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直，从而证明线线的垂直关系．并通过线段的长度关系，借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行，证明出线面的平行关系．解决本题的关键是学会作图、转化、构造．

解析：

（1）在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，

∴四边形DCC1D1是正方形，

∴DC1⊥D1C.

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，

∴AD⊥平面DCC1D1，

又D1C⊂平面DCC1D1，

∴AD⊥D1C.

∵AD⊂平面ADC1，DC1⊂平面ADC1，

且AD∩DC1＝D，

∴D1C⊥平面ADC1，

又AC1⊂平面ADC1，

∴D1C⊥AC1.

（1）题图

（2）题图

（2）连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.

∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，

要使D1E∥平面A1BD，

可使MN∥D1E，又M是AD1的中点，

则N是AE的中点．

又易知△ABN≌△EDN，

∴AB＝DE.

即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.

13.

已知直三棱柱ABC－A′B′C′满足∠BAC＝90°，AB＝AC＝

AA′＝2，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（1）证明：

MN∥平面A′ACC′；

（2）求三棱锥C－MNB的体积．

命题立意：

本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识．意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．

解析：

（1）证明：

如图，连接AB′，AC′，

∵四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，

∴AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点．

∴MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′且AC′⊂平面A′ACC′，

∴MN∥平面A′ACC′.

（2）由图可知VC－MNB＝VM－BCN，

∵∠BAC＝90°，∴BC＝

＝2

，

又三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，且AA′＝4，

∴S△BCN＝

×2

×4＝4

.

∵A′B′＝A′C′＝2，∠BAC＝90°，点N为B′C′的中点，

∴A′N⊥B′C′，A′N＝

.

又BB′⊥平面A′B′C′，

∴A′N⊥BB′，

∴A′N⊥平面BCN.

又M为A′B的中点，

∴M到平面BCN的距离为

，

∴VC－MNB＝VM－BCN＝

×4

×

＝

.

14.

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4

.

（1）设M是PC上的一点，证明：

平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积．

命题立意：

本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想．

解析：

（1）证明：

在△ABD中，因为AD＝4，BD＝8，AB＝4

，所以AD2＋BD2＝AB2.

故AD⊥BD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，

又BD⊂平面MBD，

所以平面MBD⊥平面PAD.

（2）过点P作OP⊥AD交AD于点O，

因为平面PAD⊥平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD.

因此PO为四棱锥P－ABCD的高．

又△PAD是边长为4的等边三角形，

所以PO＝

×4＝2

.

在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，

所以四边形ABCD是梯形．

在Rt△ADB中，斜边AB上的高为

＝

，此即为梯形ABCD的高．

所以四边形ABCD的面积S＝

×

＝24.

故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝

×24×2

＝16

.