函数思想在等差数列中的应用.docx

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函数思想在等差数列中的应用

函数思想在等差数列中的应用

教学目标

1．对等差数列的概念、通项公式、前n项和公式的认识进一步深化，提高学生解决问题的能力．

2．帮助引导学生用函数的观点看待数列，借助函数的研究方法研究数列．

教学重点和难点

用函数的思想研究等差数列．

教学过程设计

（一）复习引入

师：

我们已学习了数列的基本知识，等差数列的定义、通项公式与前n项和的公式，今天，我们一起应用这些知识来解决一些问题．请看题目．

练习：

已知｛an｝是等差数列，其中a1=31，公差d=-8．求数列前n项和的最大值，并求出对应n的取值．

师：

拿到这个题目，大家有什么想法？

生：

我一下子得不出Sn的最大值．不过……

师：

那你能得出些什么？

生：

我可以得出a2=a1+d=31-8=23，a3=a1+2d=31-8×2=15，a4=a1+3d=31-8×3=7，a5=a1+4d=31-8×4=-1，a6=a1+5d=31-8×5=-9，……

（学生口述，老师板书）

师：

既然得出了这些，不就可以得到对应的Sn的值了吗？

生：

可以．S1=31，S2=S1+a2=54，S3=S2+a3=69，S4=S3+S4=76，S5=S4+a5=75，S6=S5+a6=66，……（老师板书）

师：

从这之中，你又能发现什么呢？

生：

可以看出当n=4时，Sn取得取大值，最大值为S4=76．在前4项中，Sn越来越大，从第4项开始，Sn又越来越小．

师：

从前几项中，确实可以看出S4最大，可是，当n再大一些的时候，Sn会不会又变大呢？

生：

不会的．由于a5＜0，d＜0，则ak＜0（k≥5，k∈N+），进而Sk＜S4（k≥5，k∈N+）．因此当n=4时，Sn有最大值，S4=31+23+15+7=76．

（学生口述，老师板书）

师：

他根据数列前n项和的定义，解决了这道题．但是把数列各项分别求出来，未免有些麻烦．请同学们思考他的解题过程是否存在规律？

我们能否寻求到更好的解题方法？

（二）新课

师：

在刚才的练习中，我们求出了一个数列前n项和的最大值．现在大家想这样一个问题，是不是所有的等差数列都有前n项和的最大值呢？

生：

不是的，比如自然数组成的等差数列1，2，3，4，…，n，…，就没有最大值．

师：

那到底什么样的等差数列前n项和有最大值呢？

生：

首项大于0，公差小于0的等差数列就有前n项和的最大值，即an=a1+（n-1）d中，a1＞0，d＜0的时候？

师：

这时的数列有什么特点？

生：

数列中的各项分布在一条横截距为正，斜率为负的直线上，也就是说可以把等差数列当作一个一次函数来看待．

师：

同学们已经知道，数列是一种特殊的函数，它是定义在自然数集（或它的子集｛1，2，3，…，n｝）上的函数．当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值就是数列．那么等差数列会是什么样的函数？

这个问题我们又该如何下手研究呢？

生甲：

首先研究等差数列的通项公式．因为它体现了数列的项与项数的对应关系．

在等差数列｛an｝中，公差为d（d是常数）．当d≠0时，其通项公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）．f（n）=dn+（a1-d），是关于自变量n的一次函数．

反之，若an可写成an=an+b的形式，则an+1-an=[a（n+1）+b]-（an+b）=a，即｛an｝是以a为公差的等差数列．

所以，通项an可以写在关于n的一次函数形式是｛an｝成等差数列的充要条件．

师：

想得好，推得也好．那么，等差数列的通项an一定是项数n（n∈N+）的一次函数吗？

生乙：

不一定．当d=0时，an=a1，而一次函数要求一次项的系数一定不为0，所以当d=0时，an不是关于n的一次函数．只有在d≠0时，才可以进行刚才的研究．但不管公差d是否等于0，我们都可以认为｛an｝分布在一条直线上，d相当于该直线的斜率．

师：

完全正确．这样就得到d≠0时，an是关于n的一次函数，我们实际是在用函数思想来研究数列．这正是我们今天要研究的课题．（板书课题）比如，我们可以研究数列的单调性、前n项和最大（小）值等问题．首先来考虑，数列的大小变化受谁影响？

生：

等差数列｛an｝中．当d＞0时，数列｛an｝各项一个比一个大；当d＜0时，数列｛an）各项一个比一个小；当d=0时，数列｛an｝为常数列．

师：

请试着分析等差数列｛an｝的前n项和的最值问题．

生：

对于首项为a1，公差为d的等差数列｛an｝，其各项可表示为a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，…，a1+（n-1）d，…．研究前n项和Sn的最值首先应对a1，d的符号进行分类．

（1）当a1＞0时，

①若d＞0，则数列｛an｝是一个各项均为正数且递增的数列，随项数n的增大，前n项和Sn的值也不断增大，所以此时，Sn没有最大值，当n=1时，Sn有最小值S1=a1；

②若d＜0，则数列｛an｝是一个首项为正数的递减数列，且从某一项开始，其后面的各项均为负数，所以数列的所有正项的和最大．因

所以Sn没有最小值．

师：

不错．这正是我们课前练习所涉及的情况，但是，这里有一点值得注意，如果恰有一项为0呢？

比如把我们课前练习改为a1=32，其余不变，那么a4=8，a5=0，a6=-8，Sn会受什么影响？

请完善你的结论．

生：

此时S4=S5=80均为最大值．刚才的结论可改进为：

当

师：

这样结论才比较完善．请接着分析首项小于0的情况．

生：

（2）当a1＜0时，

①若d＞0，则数列｛an｝是一个首项为负数的递增数列．数列的

小值．由于an随n的不断增大而增大，所以Sn没有最大值；

②若d＜0，则数列｛an｝是一个各项均为负数的递减数列，随n的增大，前n项和Sn不断减小．所以Sn没有最小值，S1=a1是它的最大值．

师：

有了以上的结论，我们课前练习的改进方法也就有了吧．请大家按照a1=32，d=-8将此题重新做一遍．（学生板书）

生：

解法如下：

由于a1=32＞0，d=-8＜0，则｛an｝是一个首项为正数的递减数列．

因a1=32，d=-8，则an=（n-1）d+a1=32+（-8）（n-1）=40-8n．

时，Sn有最大值．

因此当n=4或n=5时，Sn有最大值．S4=S5=80是最大值．

师：

在刚才的讨论中，我们抓住了等差数列与一次函数之间的关系，运用一次函数的性质解决了等差数列前n项和的最值问题．同学们可以从中体会函数思想在解决数列问题时所起的作用．

下面我们来看例1．

例1 一个首项为正数的等差数列｛an｝，满足S5=S11，请问：

这个数列的前多少项和为最大？

生甲：

由等差数列的前n项和公式，S5和S11都可以用a1和d表示，从而可以得到a1与d的一个关系式．由刚才得到的结论，就可求出Sn何时最大．

解法如下：

解法1：

设等差数列｛an｝的公差为d．

因S5=S11，则S11-S5=a6+a7+a8+a9+a10+a11=0，即（a1+5d）+（a1+6d）

又a1＞0，则d＜0，所以｛an｝是一个首项为正数的递减数列．因此

的前8项和最大．

师：

学生甲的解法直接使用了我们刚才的结论，先求出a1与d的关系，再利用两个不等式挤出n的取值．大家还有没有别的解法？

生乙：

题目给出了S5与S11的关系，我就直接运用等差数列前n项

关系，又可从中发现Sn的取值只随着n的不同取值而变化，而与其他因素无关．这样，就可以把Sn看作是关于n的函数，进而可求得其取得最值时n的取值．

解法如下：

（学生口述，老师板书）

解法2：

设等差数列｛an｝的公差为d．

列的前8项和最大．

师：

可以看出，学生乙是用二次函数求最值的方法来研究数列的．这种想法很好，但理论依据并不充足．我们有必要用函数的观点对等差数列的前n项和Sn进行再认识．

生：

等差数列｛an｝中，首项为a1，公差为d，

当d≠0时，Sn可以表示成关于n的二次函数的形式，且常数项为0．

反之，若一个数列前n项和Sn=an2+bn，（其中a，b均为常数），则Sn-1=a（n-1）2+b（n-1），可求得an=Sn-Sn-1=2an+b-a，得an-1=2a（n-1）+b-a，从而得出an-an-1=2a（n≥2，n∈N+），又因为a1=S1=a+b，所以｛an｝是以a+b为首项，2a为公差的等差数列．

所以，｛an｝成等差数列是其前n项和Sn可以写成关于n的常数项为0的二次函数形式的充要条件．这样就可以把对Sn的讨论转化为对关于n的二次函数的讨论了．

当d=0时，Sn=na1，当n=1时，Sn有最值．

师：

解法2的确可行．这样，我们在解决关于等差数列前n项和的问题时就有了两种不同的解法．比较这两种解法，我们可以发现解法1将Sn的最值问题转化成了an的符号问题，虽然要求对数列的认识要比较深刻，但是实际操作却还是较容易的．因为研究一次函数毕竟要比研究二次函数简单．但是例1中所给的条件是S5=S11，所求的是Sn，应该说，直接用Sn与n的关系解题是有优越性的．但既然Sn可看成是关于n的二次函数，我们能否用二次函数的性质将解法进一步简化呢？

生：

能，因为Sn是关于n的二次函数，从二次函数的对称性出发就

师：

这种想法轻松自然．它正是抓住了二次函数的性质：

在对称轴上达到最值．可是数列不同于函数，其项数n是定义在自然数集（或其子集｛1，2，…，n｝）上的，所以有两个问题要加以考虑．首先，若对称轴在直线n=1的左侧，应如何处理？

生：

如果Sn图象的对称轴在直线n=1的左侧，那么Sn的值一定是单调递增或单调递减的，这样，当n=1时，Sn就取得它的最大（小）值，为a1．

师：

很好．还有第二个问题，若对称轴不是整数呢？

生：

取离对称轴最近的整数．

师：

如果题目改为：

S5=S10，n该如何取值呢？

n=7或8时，Sn最小．

师：

显然，这种利用函数性质的做法最简单，应体会函数思想在其中的作用．下面我们看例2．

例2 数列｛an｝是等差数列，且a3+a9=50，a5a7=616，试求数列｛an｝前n项和Sn的最大值，并指出对应n的取值．

请同学们用两种方法求解，边解边比较两种方法的优劣．

生：

要求出Sn的最大值．应首先求出a1和d，这需要有两个关系式，根据题目所给的两个条件，可以很容易把它们求出．进而，就可得到Sn的最大值．

解法如下：

（学生甲板书解题过程）

解法1：

设等差数列公差为d，因a3+a9=50，a5a7=616，则

将

（1）式两边平方后，再减去

（2）式．得d2=9，即d=3或-3．所以

当a1=10，d=3时，又a1＞0，d＞0，则｛an｝是一个首项为正数，公差大于0的递增数列，故｛an｝没有Sn最大值．

当a1=40，d=-3时，a1＞0，d＜0，则｛an｝是一个首项为正

因此当n=14时，Sn有最大值287．

第二种解法用二次函数求最值的方法求出Sn的最大值的．

解法如下：

（请学生乙和学生甲同时板书）

解法2：

设等差数列｛an｝公差为d．

又n是自然数，距13.8最近的自然数为14，则当n=14时，Sn有

师：

总体上看，这两种方法都是运用函数思想来研究数列，具体到某一个问题，还要具体分析，选用恰当的解法．就此题而言，解法1更简捷．

（三）课堂练习

师：

在解题时，请同学们选择最简捷的方法．

1．等差数列｛an｝中，a2+a3=-38，a12=0，求Sn最小值，以及相对应n的取值．

（巡视学生解题状况，请一位同学板书解题过程）

所以｛an｝为首项为负数的递增数列．

故当n=11或12时，Sn有最小值，最小值为S11=S12=-132．

2．等差数列｛an｝中，a1＜0，前n项和为Sn，且S7＞0，S6＜0，请问：

n为何值时，Sn最小？

（请同学讨论解法，不写出解题过程）

生：

此题从图象入手是最简捷的．从题目来看：

等差数列｛an｝中，a1＜0，S7＞0，S6＜0，所以可得出d＞0，Sn关于n的图象就应是过原点的一条开口向上的的抛物线上的点，又由S6＜0，S7＞0可知：

抛物线与横轴的另一交点在（6，7）内．根据二次函数的对称性，抛物线的对称轴x=m中的m∈（3，3.5），（如图6-1）．离m最近的自然数是3．所以，当n=3时，Sn最小．

师：

用函数思想解数列问题时，不仅要用到函数的形式，更重要的是运用函数的思想方法．在函数的研究中，数形结合的作用举足轻重．从第二题中，同学们可体会其作用．

（四）布置作业

1．已知：

数列｛an｝的通项公式为an=3n-26（n∈N+）．求：

n为何值时，数列前n项和Sn最小，并求出这个最小值．

（n=8时，Sn最小，S8=-100）

2．已知：

数列｛an｝是等差数列，公差为d，d＜0，且|a3|=|a7|，设数列前n项和为Sn·请问：

n为何值时Sn最大？

（提示：

先由已知条件判断出值为0的一项，再用一次函数方法求解．注意公差d的符号对数列｛an｝各项大小关系的影响）

课堂教学设计说明

函数思想是中学阶段学生所接触到的最重要的数学思想方法之一．数列作为一种特殊的函数，更是与函数思想密不可分，而现行教材中对于函数思想在数列中的应用涉及较少，但这一点对于加深学生对数列的认识，提高学生分析问题、解决问题的能力是十分重要的．所以，我们选择了《函数思想在等差数列中的应用》做为课题，进行专题研究．

由于数列可以看作是一种函数这种天然的联系并不是所有学生都很熟悉的，于是我们设计了一道课前练习题，引导学生从最基本最原始的角度认识数列，让学生自己发现等差数列的通项an与一次函数之间的联系．因此，课前练习题难度很低，这更有利于学生发现规律，从认识上得到提高．对于能力较强的学生，也可以调整难度，将问题变得复杂一些．

这一节课中，主要是在函数思想的指导下研究等差数列前n和的最值问题，因为在解决这类题目的过程中集中体现了函数思想的重要作用．在解决这些问题时主要有两种方法：

一是用一次函数求解，即利用an的单调性；二是用二次函数求解，即利用Sn关于n的二次函数关系．本节课首先是由课前练习题引出一次函数的解法，再通过对例1的研究讨论得出二次函数的解法．例2的作用主要是巩固学生对所得结论的认识，并使学生能够对两种方法的优缺点做出比较，从而帮助学生形成自己的一点的看法．在遇到不同的问题时，能有所选择地使用，使问题以最简捷的方法得以解决．

关于一次函数解法中n的取值的确定，我们认为本节课中的这种说法是清楚易懂的．就以课前练习题为例，仅由an≥0是不能确定n=4的，还要说明当n=1，2，3，4时，an＞0，当n=5，6，7，…时，an＜0，显然比较繁琐，不如直接确定n所在的区间，得到n的取值．另外，若存在有一项为0，用两个条件也可直接判断．