三角函数的诱导公式六公式.docx
《三角函数的诱导公式六公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数的诱导公式六公式.docx（8页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
三角函数的诱导公式六公式
文档编制序号：
[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
三角函数的诱导公式六公式
用公式
诱导公式
三角函数的诱导公式（六公式）
公式一：
sin（α+k*2π）=sinα（k为整数）
cos（α+k*2π）=cosα（k为整数）
tan（α+k*2π）=tanα（k为整数）
公式二：
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
tan（π+α）=tanα
公式三：
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
公式四：
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
tan（π-α）=-tanα
公式五：
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
由于π/2+α=π-（π/2-α），由公式四和公式五可得
公式六：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
诱导公式记背诀窍：
奇变偶不变，符号看象限。
或者也可以这样记：
分变整不变，符号看象限。
和（差）角公式
三角和公式
sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ）
（α+β+γ≠π/2+2kπ，α、β、γ≠π/2+2kπ）
积化和差的四个公式
sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2
cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2
sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
和差化积的四个公式：
sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
倍角公式
sin（3a）→3sina-4sin^3a
=sin（a+2a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a）+（1-2sin^2a）sina
=3sina-4sin^3a
cos3a→（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a）cosa
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a）cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a→4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
=3sina-4sin^3a
=4sina（3/4-sin^2a）
=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina]
=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°+a）/2]
=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
cos3a→4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
=4cos^3a-3cosa
=4cosa（cos^2a-3/4）
=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]
=4cosa（cosa-cos30°）（cosa+cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}
=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]
=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]
=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
tan3a→tanatan（60°-a）tan（60°+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
三倍角
sin3α=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）
cos3α=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）
tan3α=tan（α）*（-3+tan（α）^2）/（-1+3*tan（α）^2）=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）
其他多倍角
四倍角
sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
cos4A=1+（-8*cosA^2+8*cosA^4）
tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）
五倍角
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）
六倍角
sin6A=2*（cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*（-3+4*sinA^2））
cos6A=（-1+2*cosA）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1）
tan6A=（-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/（-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）
七倍角
sin7A=-（sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））
cos7A=（cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））
tan7A=tanA*（-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/（-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）
八倍角
sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*（-8*sinA^2+8*sinA^4+1））
cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）
tan8A=-8*tanA*（-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）
九倍角
sin9A=（sinA*（-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））
cos9A=（cosA*（-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））
tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）
十倍角
sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*（-20*sinA^2+5+16*sinA^4））
cos10A=（（-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））
tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/（-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）
N倍角
根据棣莫弗定理，（cosθ+isinθ）^n=cos（nθ）+isin（nθ）
为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c
考虑n为正整数的情形：
cos（nθ）+isin（nθ）=（c+is）^n=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...…+C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...…=>；比较两边的实部与虚部
实部：
cos（nθ）=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...…i*
虚部：
i*sin（nθ）=C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...…
对所有的自然数n：
⒈cos（nθ）：
公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。
⒉sin（nθ）：
⑴当n是奇数时：
公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也就是sinθ）表示。
⑵当n是偶数时：
公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是cosθ）的一次方无法消掉。
例.c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*（c^2）^2=c*（1-s^2）^2）
特殊公式
（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）
证明：
（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2sin[（θ+a）/2]cos[（a-θ）/2]*2cos[（θ+a）/2]sin[（a-θ）/2]
=sin（a+θ）*sin（a-θ）
坡度公式
我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，
即i=h/l,坡度的一般形式写成l:
m形式，如i=1:
5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a（叫做坡角），那么i=h/l=tana.
万能公式6辅助角公式
注：
该公式又称收缩公式/强提公式/化一公式等
asinα+bcosα=√（a^2+b^2）sin（α+φ），其中tanφ=b/a
asinA+bcosB=根号下a方+b方×（根号下a方+b方分之a×sinA+根号下a方+b方分之b×cosB）令根号下a方+b方分之a=cosC则根号下a方+b方分之b=sinCasinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC）=根号下a方+b方×sin（A+C）
双曲函数
ha=[e^a-e^（-a）]/2
cha=[e^a+e^（-a）]/2
tha=sinh（a）/cosh（a）
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
cot（-α）=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
tan（π-α）=-tanα
cot（π-α）=-cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）=-sinα
cos（2π-α）=cosα
tan（2π-α）=-tanα
cot（2π-α）=-cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
tan（π/2+α）=-cotα
cot（π/2+α）=-tanα
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
tan（π/2-α）=cotα
cot（π/2-α）=tanα
sin（3π/2+α）=-cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=-cotα
cot（3π/2+α）=-tanα
sin（3π/2-α）=-cosα
cos（3π/2-α）=-sinα
tan（3π/2-α）=cotα
cot（3π/2-α）=tanα
（以上k∈Z）
A·sin（ωt+θ）+B·sin（ωt+φ）=
√{（A+2ABcos（θ-φ）}·sin{ωt+arcsin[（A·sinθ+B·sinφ）/√{A^2+B^2+2ABcos（θ-φ）}}
√表示根号，包括{……}中的内容
反三角函数公式
arcsin（-x）=-arcsinx
arccos（-x）=π-arccosx
arctan（-x）=-arctanx
arccot（-x）=π-arccotx
arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2
?
函数应用
在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角为30的B处。
到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处。
（1）该船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，此时船距岛A有多远？
解
（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°PA=1，∴AB=√3（千米）在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=√3/3（千米）在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°则BC=√（AB）^2+（AC）^2=√（√3/3）^2+（√3）^2=√30/3（√30/3）/（1/6）=2√30（千米/时）
（2）∠DAC=90°－60°=30°sinDCA=sin（180°－∠ACB）=sinACB=AB/BC=√3/√30/3=3√10/10sinCDA=sin（∠ACB－30°）=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°=（3√3-1）√10/20在△ACD中，据得，AD/sinDCA=AC/sinCDA∴AD=ACsinCDA
升级会员 