人教版高一数学必修1各章知识点总结Word文档格式.docx
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（2）无限集含有无限个元素的集合
（3）空集不含任何元素的集合例：
{x|x2=—5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系一子集
注意：
AB有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合。
反之：
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系：
A=B（5>
5,且5<
5,则5=5）实例：
设A={x|x2-仁0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即：
①任何一个集合是它本身的子集。
AA
2真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的
真子集，记作AB（或B°
A）
3如果AB,BC,那么AC
4如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①
规定：
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合
的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算
类型
交集
并集
补集
疋
义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.记作AB（读作‘A交B'
，即AB=
由所有属于集合A或属于集合B的兀素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：
AB（读作‘A并B'
，即
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集
（或余集）
{x|xA，且xB}.
AB={x|xxB}）.
A,或
记作CsA，即
CA={x|xS且x丹
韦
恩
CA工
图i
图2
图
示
性
AA=A
（CuA）（CuB）
A①二①
A①=A
=Cu（AB）
AB=BA
（CcA）（CuB）
ABA
ABA
=Cu（AB）
质
ABB
A（CuA）=U
A（CuA）=①.
例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是（）
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自
身的实数
2.集合{a，b，c}的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x>
0}，贝UM与N的关系是
4.设集合A=x1x2，B=xxa,若AB,则a的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得単
正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，二
2I
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有卜
人。
1"
6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合
M=.
7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+nT-19=0},若Bncm①，Anc=o,求m的值
二、函数的有关概念
1•函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:
A—B为从集合A到集合B的一个函数.记作：
y=f（x）,x€A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）|x€A｝叫做函数的值域.
1.定义域：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函
数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；
（3）对数式的真数必须大于零；
（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成
的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
（6）指数为零底不可以等于零，
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：
①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）:
②定义域一致（两点必须同时具备）
（见课本21页相关例2）
2．值域:
先考虑其定义域
（1）观察法
（2）配方法
（3）代换法
3.函数图象知识归纳
（1）定义：
在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x
€A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x,y）的集合C,叫做函数y=f（x）,（x€A）的图象.C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.
（2）画法
A、描点法：
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1）平移变换
2）伸缩变换
3）对称变换
4.区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示.
5.映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f（对应关系）：
A（原象）B（象）”
对于映射f:
A-B来说，则应满足：
（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象
是唯一的;
（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同
（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象c
6.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况.
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.
补充：
复合函数
如果y=f（u）（u€M）,u=g（x）（x€A）,则
y=f[g（x）]=F（x）（x€A）称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性（局部性质）
（1）增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xi,X2,当xi<
X2时,都有f（xi）<
f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数.区间D称为y=f（x）的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值xi，X2，当xi<
x2时，都有f（x1）>
f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.
函数的单调性是函数的局部性质；
（2）图象的特点
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）.函数单调区间与单调性的判定方法
（A）定义法：
1任取xi,X2€D,且xi<
X2；
2作差f（xi）—f（x2）；
◎变形（通常是因式分解和配方）；
违定号（即判断差f（x1）—f（x2）的正负）；
◎下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）.
（B）图象法（从图象上看升降）
（C）复合函数的单调性
复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：
“同增异减”
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（—x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（—x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
◎1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
◎确定f（—x）与f（x）的关系；
◎3作出相应结论：
若f（—x）=f（x）或f（—x）—f（x）=0，则f（x）是偶函数；
若f（—x）=—f（x）或f（—x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，
若不对称则函数是非奇非偶函数•若对称，
（1）再根据定
义判定；
（2）由f（-x）±
f（x）=0或f（x）/f（-x）=±
1来
判定；
（3）利用定理，或借助函数的图象判定•
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1）凑配法
2）待定系数法
3）换元法
4）消参法
10•函数最大（小）值（定义见课本p36页）
1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）
值
2利用图象求函数的最大（小）值
3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间［a，b］上单调递增，在区间［b，
c］上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）;
如果函数y=f（x）在区间［a，b］上单调递减，在区间［b，
c］上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）;
1.求下列函数的定义域：
⑴y丄X_2X15⑵y1（x1）2
|x33¥
x1
2.设函数f（x）的定义域为［0，1］，则函数f（x2）的定义域为
3.若函数f（x1）的定义域为［2，3］，则函数f（2x1）的定义域是
x2（x1）
4.函数f（x）x2（1x2），若f（x）3,贝Ux=
2x（x2）
5.求下列函数的值域：
⑴yx22x3（xR）⑵yx22x3x[1,2]
（3）yx,1~2x（4）y.x24x5
6.已知函数f（x1）x24x，求函数f（x）,f（2x1）的解析式
7.已知函数f（X）满足2f（x）f（x）3x4，贝Uf（x）=。
8.设钢是R上的奇函数，且当x[0,）时，f（x）x（13x）,则当x（,0）时
f（x>
=
f（x）在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
（1）yx22x3⑵y■■x22x3⑶
yx26x1
10.判断函数yx31的单调性并证明你的结论.
2
11.设函数f（x）判断它的奇偶性并且求证：
f（丄）f（x）•
1xx
第二章基本初等函数
一、指数函数
（1）指数与指数幕的运算
1•根式的概念：
一般地，如果xna，那么x叫做a的
n次方根，其中n>
1，且n€N*.
负数没有偶次方根；
0的任何次方根都是0,记作
n00。
当n是奇数
—a
nan|a|
2•分数指数幕
正数的分数指数幕的意义，规定:
rrrs
（1）
a•a
a
（a
0,r,s
R）；
⑵
（ar）s
rsa
（3）
（ab）r
rsaa
R）.
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：
一般地，函数yax（a0,且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R
指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
值域y>
0
值域y>
在R上单调
递增
递减
非奇非偶函
数
函数图象都
过定点（0，
1）
禾I」用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在［a，b］上，f（x）ax（a0且a1）值域是［f（a）,f（b）］或［f（b）,f（a）］；
（2）若x0，则f（x）1；
f（x）取遍所有正数当且仅当
xR；
（3）对于指数函数f（x）ax（a0且a1），总有f（l）a；
二、对数函数
（一）对数
1.对数的概念：
一般地，如果axN（a0,a1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：
xlogaN（a—底数，N—真数，logaN—对数式）
说明：
0注意底数的限制a0,且a1;
」oga_N_
©
axNlogaNx；
0注意对数的书写格式.
两个重要对数:
0常用对数：
以10为底的对数igN；
0自然对数：
以无理数e2.71828为底的对数的对数InN.
指数式与对数式的互化
幕值
真数
ab=NlogaN=b
底数
对数
指数
（二）对数的运算性质
换底公式
利用换底公式推导下面的结论
（二）对数函数
②对数函数对底数的限制：
（a0，且a1）.
2、对数函数的性质:
（3）幕函数
1、幕函数定义：
一般地，形如yx（aR）的函数称为幕函数，其中为常数.
2、幕函数性质归纳.
（1）所有的幕函数在（0,+x）都有定义并且图象都过点（1,1）；
（2）0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间
[0,）上是增函数.特别地，当1时，幕函数的图象
下凸；
当01时，幕函数的图象上凸；
（3）0时，幂函数的图象在区间（0,）上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
例题:
1.已知a>
0，a~0，函数y=ax与y=loga（-x）的图象只能是
（A）（B）（C）（D）
2.计算：
①Qg32
log2764
②24log2
7
1
253
log527
2log52
0.064
741
（）°
[
（2）3]*160.750.012=
8
3.函数y=log1（2x2-3x+1）的递减区间为
4.若函数f（x）logax（0a1）在区间［a,2a］上的最大值是最小值的3倍,
则a=
5.已知f（x）log^（a0且a1），
（1）求f（x）的定义域
（2）求使f（x）0a1x
的x的取值
范围
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：
对于函数yf（x）（xD），把使
f（x）0成立的实数x叫做函数yf（x）（xD）的零点。
2、函数零点的意义：
函数yf（x）的零点就是方程
f（x）0实数根，亦即函数yf（x）的图象与X轴交点的
横坐标。
方程f（x）0有实数根函数y
f（x）的图象与X
轴有交点函数yf（x）有零点.
3、函数零点的求法：
③（代数法）求方程f（x）0的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数yaxbxc（a0）.
（〔）△>
0,方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.
（2）4=0,方程ax2bxc0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
（3）^<
0,方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.
5.函数的模型
不符合实
符合实际
用函数模型解释实际问
检验
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