例1解不等式:
(1)x-7<8
(2)3x<2x-3
解
(1)不等式的两边都加上7,不等式的方向不变,所以
x-7+7<8+7,
得x<15
(2)不等式的两边都减去2x(即加上-2x),不等号的方向不变,所以
3x-2x<2x-3-2x
得x<-3
这里的变形,与方程变形中的移项相类似,你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗?
例2解不等式:
(1)
x>-3;
(2)-2x<6。
解
(1)不等式的两边都乘以2,不等号的方向不变,所以
x×2>(-3)×2,
得x>-6。
(2)不等式的两边都除以-2(即乘以-
),不等式的方向改变,所以
-2x×(-
)>6×(-
),
得x>-3。
这里的变形,与方程变形中的“将未知数的系数化为1”相类似,它依据的是不等式的性质2或3,要注意不等式两边乘以(或除以)的数是正数还是负数,确定变形时不等号的方向是否需要改变。
练习
解下列不等式,并在数轴上表示出来:
1.X-2>02.X+1>0
3.-2x<44.3x≤0
3.解一元一次不等式
前面遇到的不等式有一个共同的特点:
它们都只含有一个未知数,且含未知
数的式子是整式,未知数的次数是1。
像这样的不等式叫做一元一次不等式(linearinequalitywithoneunknown)。
我们再来解一些一元一次不等式。
例3解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来:
(1)2x-1<4x+13;
(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x).
解
(1)2x-1<4x+13,
2x-4x<13+1,
-2x<14,
x>-7.
它在数轴上的表示如图8.2.4.
(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x),
10x+6≤x-3+6x,
3x≤-9,
x≤-3.
它在数轴上的表示如图8.2.5
例4当x取何值时,代数式
与与
的值的差大于1?
解根据题意,得
-
>1,
2(x+4)-3(3x-1)>6,
2x+8-9x+3>6,
-7x+11>6,
-7x>-5,
得x<
所以,当x取小于
的任何数时,代数式
与与
的值的差大于1。
讨论
试从例4的解答中总结一下解一元一次不等式的步骤,与你的同伴讨论和交流。
练习
1.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)2x+1>3;
(2)2-x<1;
(3)2(x+1)<3x;(4)3(x+2)≥4(x-1)+7.
2.解不等式:
>
3.一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3,在前两天一共完成了120m3,由于整个工程调整工期,要求提前两天完成挖土任务。
问以后几天内,平均每天至少要挖土多少m3?
问题2
在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分,总得分不少于80分者通过预选赛。
育才中学25名学生通过了预选赛,它们分别可能答对了多少道题?
实践与探索
试解决这个问题(不限定方法)。
你是用什么方法解决的?
有没有其他方法?
与你的同伴讨论和交流一下。
如果你是利用不等式的知识解决这个问题的,在得到不等式的解集以后,如何给出原问题的答案?
应该如何表述?
练习
1.求下列不等式的正整数解:
(1)-4x≥-12;
(2)3x-11<0.
2.学校图书馆搬迁,有15万册图书,原准备每天在一个班级的劳动课上,安排一个小组同学帮助搬运图书,两天共搬了1.8万册。
如果要求在一周内搬完,设每个小组搬运图书数相同,则在以后五天内,每天至少安排几个小组搬书?
习题8.2
1.解不等式:
(1)x-5<0
(2)3x≥2x-6
(3)2x<-3(4)-2x>
2.写出下图所表示的不等式的解集
3.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来。
(1)3x≥-3;
(2)-3x+3<0
(3)2x+2≤3x+3(4)5x-1>8x+3
4.a取什么值时,代数式4a+2的值:
(1)大于1?
(2)等于1?
(3)小于1?
5.解下列不等式:
(1)
+1>x;
(2)3(x+2)<4(x-1)+7;
(3)
(x-3)<
-2x;(4)
-
>-2.
6.求不等式1-2x<6的负整数解。
7.某高速公路工地需要实施爆破,操作人员点燃导火线后,要在炸药爆炸前跑到400M以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度是1.2厘M/秒,人跑步的速度是5M/秒。
问导火线必须超过多长,才能保证操作人员的安全?
8.3一元一次不等式组
问题3
用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水不少于1200吨且不超过1500吨,那么大约需要多少时间才能将污水抽完?
分析
设需要x分钟才能将污水抽完,那么总的抽水量为30x吨。
由题意,积存的污水在1200吨到1500吨之间,应有
1200≤30x≤1500
上式实际上包括了两个不等式
30≥1200
和30x≤1500
它说明了在这个实际问题中,未知量x应同时满足这两个条件。
我们把这两个一元一次不等式合在一起,就得到一个一元一次不等式组:
①②
分别求这两个不等式的解集,得
①
②
同时满足不等式①、②的未知数x应是这两个不等式解集的公共部分。
在数轴上表示这两个不等式的解集(图8.3.1),可知其公共部分是40和50之间的数(包括40和50),记作40≤x≤50。
这就是所列不等式组的解集。
所提问题的答案为:
大约需要40到50分钟才能将污水抽完。
概括
几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集。
解一元一次不等式组,通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分。
利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。
①
②
例1解不等式组:
解解不等式①,得x>2
解不等式②,得x>4
在数轴上表示不等式①、②的解集,如图8.3.2,可知所求不等式组的解集是
x>4
练习
1.解下列不等式组,并把它们的解集在数轴上表示出来。
(1)
(2)
(3)
(4)
2.一木工有两根长分别为40厘M和60厘M的木条,要另找一根木条,钉成一个三角形木驾。
问第三根木条的长度应在什么范围内?
例2解不等式组:
①
②
解解不等式①,得x<-1
解不等式②,得x≥2
在数轴上表示不等式①、②的解集,如图8.3.3
可见,这令不等式的解集没有公共部分,这时,我们说这个不等式组无解。
问题4
小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一般的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的一端。
这时,爸爸的一端仍然着地。
后来,小宝借来一副质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果,爸爸被高高地跷起。
猜猜看,小宝的体重约多少千克(精确到1千克)?
探索与讨论
问题的已知条件有哪些?
从跷跷板的状况可以概括出怎样的不等关系?
用什么方法可以解决这个问题?
试一试,并与你的同伴讨论和交流。
练习
1.填表:
不等式组
数轴表示
解集
2.结下列不等式组,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)
(2)
(3)
(4)
3.试求不等式组
的解集。
4.把一堆苹果分给几个孩子,如果每人分3个,那么多8个;如果前面每人分5个,那么最后一人得到的苹果少于3个,问有几个孩子?
有多少只苹果?
习题8.3
1.解下列不等式组:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)2x+1<3x-1
2x-1>x+2
x-4≤0
2.求不等式组2≤3x-7<8的整数解。
3.课外阅读课上,老师将43本书分给各个小组,每组8本,还有剩余;每组9本,却又不够。
问有几个小组。
小结
一、知识结构
二、注意事项
1.不等式的只是源于生活实际。
要学会分析现实世界中量与量的不等关系,并抽象出不等式。
2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,不等式的变形要注意与方程的变形相对照,特别是注意不等式的性质3:
当不等式两边都乘以同一个负数时,不等号要改变方向。
3.将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来,可以加深对一元一次不等式和一元一次不等式组的解集的理解,也便于直观地得到一元一次不等式组的解集。
复习题
A组
1.下面方程或不等式的解法对不对?
为什么?
a)由-x=5,得x=-5;
b)由-x>5,得x>-5;
c)由2x>4,得x<-2;
d)由-
≤3,得x≥-6。
2.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)-3x<0;
(2)8x+1≤5x-3;
(3)3(x+2)-1≥5-2(x-2);(4)
(1-2x)>
3.X取什么值时,代数式5-3x的值:
(1)是负数?
(2)是0?
(3)是正数?
4.解下列不等式组:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5.求不等式组
的自然数解。
6.一次智力测验,有20道选择题。
评分标准为:
对1题给5分,错1题扣2分,不答题不给分也不扣分。
小明有2道题未答。
问至少答对几道题,总分不低于60分?
B组
7.判断下列不等式的变形是否正确:
(1)由a
(2)由x>y,且m
0,得-
<
;
(3)由x>y,得xz2>yz2;
(4)由xz2>yz2,得x>y
8.三个连续自然数的和小于15,这样的自然数组共有几组?
把它们分别写出来。
9.有一个两位数,如果把它的个位和十位上的数字对调,发现得到的两位数比原来的两位数小,请问原来的两位数中,个位上的数字与十位上的数字,哪个大一些?
10.某城市的出租汽车起步价为10元(即行驶距离在5千M以内都需付10元车费),达到或超过5千M后,每行驶1千M加1.2元(不足1千M也按1千M计)。
现某人乘车从甲地到乙地,支付车费17.2元,问从甲地到乙地的路程大约是多少?
11.初二年级秋游,若租用48座客车若干辆,则正好坐满;若租用64座客车,则能少租1辆,且有一辆车没有坐满,但超过一半。
已知租用48座客车每辆250元,租用64座客车每辆300元,问应租用哪种客车较合算?
C组
12.已知关于x的方程3k-5x=-9的解是非负数,求k的取值范围。
13.已知∣5x-3∣=3-5x,求x的取值范围。
14.
(1)A、B、C三人去公园玩跷跷板,从下面的示意图,你能判断三人的
轻重吗?
(2)P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板,从下面的示意图,你该如何判
断这四人的轻重呢?